基于數學核心素養培養的概念教學研究*

趙天璽

(安徽省界首第一中學 236500)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(下稱《標準(2017)》)提出培養學生數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析六大數學核心素養的目標[1].數學是思維的科學，概念是思維的細胞，概念教學是培養學生數學核心素養的重要載體.筆者結合課題組的實踐，就概念教學中如何培養學生數學核心素養給出一些思考，以期拋磚引玉.

1 從數學角度發現和提出問題以引入概念

概念教學中，概念引入作為“排頭兵”，是概念課教學不可缺少的重要一環.教師在引入概念時要重視學生的認知需求和困惑，從學生的認知角度出發，設計合適的情境和問題，引導學生用數學的眼光觀察現象、發現和提出問題，培養學生的創新能力，提升學生的數學核心素養.

案例1函數概念的引入

閱讀北師大版教材《數學(必修1)》[2]第二章第一節“生活中的變量關系”的練習3：“在一定量的水中加入蔗糖，在未達到飽和之前，糖水的質量濃度與所加蔗糖的質量之間存在怎樣的依賴關系？如果是函數關系，指出自變量和因變量.”

師：注意到“在未達到飽和之前”這個條件，你能據此提出新的數學問題嗎？

生1：在達到飽和后，糖水的質量濃度與所加蔗糖的質量之間是函數關系嗎？(問題1)

生2：在達到飽和前與飽和后的整個過程中，糖水的質量濃度與所加蔗糖的質量之間是函數關系嗎？(問題2)

師：很好的問題！問題1、2該怎么解答？

生：都不是函數關系.因為問題1中飽和后糖水的質量濃度是常量，不是變量；問題2中飽和前與飽和后有兩個變化過程.

師：但我要說的是按照高中的函數概念，這兩個問題中糖水的質量濃度與所加蔗糖的質量之間是函數關系.要想明白它們之間為什么是函數關系，我們需要學習高中函數概念.

評注概念教學要注重揭示概念學習的必要性.函數的概念學生初中時已經學過，高中為什么又要學習，這是學生最大的困惑.初中函數的“變量說”定義：在一個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一個x的值，相應地就能確定一個y的值，那么我們稱y是x的函數.按初中教材說法，數值發生變化的量叫變量，數值始終不變的量叫常量.另外，“一個變化過程”含義也不夠準確、嚴謹，這說明初中函數的概念有待進一步發展.教師引導學生從數學角度發現和提出問題，通過引發認知沖突來激發學習興趣，培養創新能力，提升核心素養.

2 站在學會數學抽象的高度來建立概念

“數學抽象”素養是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養.建立概念主要是“抽象”過程.在這一過程中，學生對典型、豐富的具體事例進行觀察、比較、歸納，抽象出一般規律和結構，即共同且本質的數學特征，并用數學的語言(文字、圖形、符號)予以表征.教師要力爭讓學生在概念建立過程中學會“數學抽象”.

案例2函數單調性概念的建立

思考并完成下列問題：

問題1 觀察函數f(x)=x+1的圖象 (圖1)和函數g(x)=x2的圖象(圖2)，從左到右它們是怎樣變化的？

圖1 圖2

問題2 怎樣從自變量和函數值變化的角度刻畫圖象的變化?

問題3 怎樣用數學符號語言表達函數f(x)在R上、函數g(x)在區間[0,+∞)上隨著自變量x的增大，對應函數值也跟著增大？

問題4 請用數學符號語言給出函數單調遞增(遞減)的定義.

評注學生在問題解決中體驗了概念從圖形語言的“上升、下降”到自然語言的“增大、減少”，再到數學符號語言“單調性”的定義過程，經歷從具體的直觀描述到形式化的符號表達的抽象過程，學生的數學抽象素養得到了培養和提升.

3 運用邏輯推理來理解概念

概念的理解離不開邏輯推理素養.概念的理解包括探究概念變式和重建概念系統.概念變式包括圖形變式、式子變式、符號表示、等價說法及反面實例等.數學概念的本質是一類事物的共同本質屬性，在變式中進行思維有利于學生掌握概念的本質.重建概念系統的過程就是新概念同原有認知結構相互作用而形成新的認知結構的過程.

案例3函數單調性概念的理解

變式加深了對概念的理解深度，體現了概念的本質.特別地，最后一個變式有利于以后斜率和導數概念的學習，非常有必要.

評注這是個演繹推理的過程，學生的邏輯推理素養得到了培養和提升.

案例4數列和等比數列概念的理解

按一定次序排列的一列數a1，a2，a3，…，an，…稱作數列，簡記為數列{an}.記號{an}并不能深刻反映數列的本質和內涵.實際上，數列{an}每一項的序號與該項有唯一的對應關系，因此數列也可以看作定義域為正整數集N(或它的有限子集)的函數.在等比數列概念的教學中，可以類比等差數列的概念和性質來理解等比數列，從而更加快速有效地理解等比數列的概念和性質.

評注數列是特殊的函數，數列和函數是特殊和一般的關系，數列概念可以納入到函數概念的知識體系.類比等差數列的概念和性質來理解等比數列，這是一個類比推理的過程，學生的邏輯推理素養得到培養和提升.

4 在概念應用中發展理性思維與科學精神，全面提升數學核心素養

理性思維和科學精神是數學學科核心素養要素的靈魂，數學教學聚焦點應放在理性思維和科學精神發展上[3].概念是理性思維的基本形式，概念應用要讓學生養成“不斷回到概念中去，從基本概念出發思考問題、解決問題”的習慣，注重發展學生的理性思維、科學精神.概念應用也是全面提升數學核心素養的重要過程.

案例5“導數及其應用”教學片斷

題目：求過點(1,0)與曲線y=x3相切的直線方程.

師：方程y=0為什么要舍去？

生：因為直線y=0(x軸)，在原點處穿過了曲線y=x3.切線與曲線只有唯一公共點，且曲線在切線的同側，如直線與圓相切.

師：我們不是靠經驗感覺判斷直線y=0是否為切線，而是按照概念嚴格地進行驗證.

教師利用幾何畫板作函數y=x3的圖象.在曲線y=x3上取一動點Pn，作過原點O和Pn的割線OPn.當Pn沿著曲線趨近于點O時，割線OPn趨近于x軸.當Pn和點O重合時，割線OPn與x軸重合.

生：按照切線定義x軸的確是y=x3在原點處的切線.

師：對的.曲線的切線與曲線是否只有唯一公共點？

生：是的，有兩個公共點就不是相切而是相交了.

圖3

師：我們仍用幾何畫板來驗證.如圖3，可以看到切線27x-4y-27=0和曲線除了切點外還有一個交點A(-3, -27).

生：(驚詫不已)曲線的切線和曲線真的可以不止一個公共點！

評注經歷了利用幾何畫板來驗證直線y=0為曲線切線的過程，學生認識到嚴格按數學概念來判斷和思考問題的重要性，逐步形成實事求是的科學態度，發展了理性思維.通過觀察圖3，學生糾正了“切線與曲線只有唯一公共點”的錯誤認識，發展了敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神.[4]

案例6橢圓概念的應用

A.{Sn}為遞減數列

B.{Sn}為遞增數列

C.{S2n-1}為遞增數列，{S2n}為遞減數列

D.{S2n-1}為遞減數列，{S2n}為遞增數列

分析若構造函數求解，運算量極大，很多學生只能望而卻步，或中途退卻.

解析(師生共同)在數軸上把各邊長度對應的點表示如下：

圖4

圖5

評注學生先通過直觀的數軸圖形和數學運算得到cn+bn=2a1為定值這個結論，然后利用橢圓概念建立橢圓模型，接著通過數學運算推得|bn-cn|在逐漸減少，最后利用△AnBnCn的圖形直觀地解釋{Sn}為遞增數列.通過概念的應用，數學運算、數學建模、直觀想象等素養得到了全面培養和提升.

5 把“認識數學對象的基本套路”落實在核心概念主題教學中

《標準(2017)》倡導主題(單元)教學，以核心概念為主題的教學是一個很好的做法，教師要努力把“認識數學對象的基本套路”落實在核心概念主題教學中.

案例7函數主題教學

“函數”是高中數學中一個極其重要的核心概念，它的思想方法貫穿了高中數學課程的始終.回顧“函數”主題的學習，我們是按照“實際背景—函數的定義、表示—圖象和性質—應用—基本初等函數(函數的特例)”展開的.推而廣之，從研究數學對象的一般套路出發，認識一個數學對象可以從“背景—定義、表示—劃分(以要素為標準)—性質(要素、相關要素的相互關系)—特例(性質和判定)—聯系(應用)”[5]展開研究.在認識數學對象的一般規律指導下，當面對一個新對象時,學生也能夠發現和提出數學問題、形成研究思路、找到研究方法，最終成為有較高數學素養的人才.

6 結束語

章建躍博士指出，“教好數學就是落實數學學科核心素養”[3].數學教學的核心是概念教學，做好數學概念教學是落實數學核心素養的關鍵所在.廣大數學教師應積極引領學生在概念的學習中掌握“四基”，發展“四能”，培養和提升學生的數學核心素養.