談“模型”教學的幾個注意點：以“鉛錘高”法為例

顧彩梅

(浙江省杭州外國語學校 310023)

在數學學習的過程中，我們常從已解決的問題中提煉模型用以解決更復雜的綜合問題.模型可以給解題者提供展開聯想的原型，明晰解題的方向，縮短思維的推理過程，因此“模型”教學為廣大教師所青睞.對于數學模型的教學，許多文獻都從學生“學”的角度闡述了“套模”解題中識模的重要性[1-3]，筆者讀后深受啟發.恰巧，筆者所在學校的一位教師也開設了一節以模型教學為主題的專題課“‘鉛錘高’法的應用：與二次函數有關的面積問題”.筆者結合本節課的教學過程和教師們的研討反思，從學生識模、套模之前，教師如何“教”數學模型的角度，談一些看法.

1 教學簡錄

問題1如圖1，拋物線y=-x2+2x+3的頂點為D，與x軸交于點A，B，與y軸交于點C.請分別求出△ABD，△COD，△BCD的面積.

圖1

預設：學生將△BCD沿著過點D的豎直方向進行分割，引出“鉛錘高”法.

實施：學生給出△BCD面積的另三種解法，后在教師提示下完成預設方法.

問題2在問題1的條件下，點E是拋物線上第一象限內的動點(如圖2).求(1)△BCE面積的最大值及對應的點E坐標；(2)四邊形ABED面積的最大值.

圖2

預設：教師板書演示第(1)問后，預設學生能將四邊形ABED沿著DB劃分解決問題.

圖3

實施：學生首先給出將四邊形面積劃分成三角形和梯形面積之和的完整解法(如圖3)；接著提出問題“沿對角線AE劃分如何完成”，教師未給予解答；最后教師引導學生連結對角線DB，提示模仿第(1)問求出△BDE的面積再解決問題.

問題3在問題1的條件下，E是拋物線上在第四象限的點(如圖4)，求使S△BCE=6的點E坐標.

預設：學生經歷過點B作鉛錘高失敗之后，調整到過點E作鉛錘高求面積.

實施：學生直接利用先補再割的方法解決問題(如圖5)，S△CBE=S△OBE+S△OBC-S△EOC，后經教師引導完成過點E的“鉛錘高”法求面積.

圖4 圖5 圖6

問題4如圖6，求作△BCE中經過三個不同頂點的“鉛錘高”和“水平寬”.

預設：分別過點B，C，E作三角形的鉛錘高及對應水平寬，學生能獨立完成.

實施：學生1通過參考前面例圖完成，學生2在教師提示下完成，學生3未能完成.

分析 教學預設是教師在課前對某些重要教學環節的預想和設計，預設不可能完美，應該是具有彈性和留白的，但教師所做的大部分預設都要符合學情和學生認知結構，要為數學模型的教學服務.本節課的教學未能達到執教者課前預設的效果，這引起了教師們的反思.首先，模型引入環節沒有考慮模型提出的必要性，如果學生現有的知識和方法能方便快捷地解決問題，那么提出“鉛錘高”法就顯得多余和牽強；其次，在模型的應用和辨析過程中，教師如果能夠對課堂生成性問題加以重點講解，多多辨析，那么學生對模型的本質會理解得更深刻；最后，模型本身有一定的難度，教師要把控好這個度.在大家交流建議的基礎上，筆者嘗試對本節課進行了二次設計.

2 教學改進

2.1 學情分析

九年級學生已經學習了一次函數、反比例函數、二次函數、三角形、四邊形等章節的知識，根據前面學習經驗的積累，能夠比較熟練地利用割補法解決三角形(多邊形)面積問題，這些為引入“鉛錘高”法求解面積問題奠定了良好的基礎.“鉛錘高”屬于物理學概念，鑒于學科差異，概念理解和辨析存在難度，因此在教授模型的過程中，教師要幫助學生完成深刻認識模型本質的過程.

2.2 教學目標

理解“鉛錘高”和“水平寬”的基本概念，會用“鉛錘高”法解決線段長度、三角形面積等最值問題.體會不同割補法在求解面積問題過程中的共性，感悟“鉛錘高”法在解決一類動態三角形(頂點在拋物線上)面積最值問題中的優越性.經歷模型提出、建立、應用的過程，積累運用模型解決問題的經驗，增強解決綜合問題過程中克服困難的勇氣，激發學習數學的興趣.

2.3 教學設計

問題1拋物y=-x2+2x+3與x軸交于點A，B，與y軸交于點C(如圖7).(1)E是拋物線上第一象限內的點，過E作EF⊥x軸交直線CB于點F，求線段EF長度的最大值；(2)連結EC，EB，求△BCE面積的最大值.

圖7

追問 這兩問之間有關聯嗎？(當EF取最大值時，△BCE面積最大)

圖8

問題2在問題1的條件下，當點E在直線CB下方的拋物線上運動時，求使得S△BCE=6時點E的坐標.

圖9

問題3在問題1條件下，已知直線y=-3x+3分別與x軸、y軸交于點H，C(如圖10)，點M是拋物線上第一象限內的動點，設點M的橫坐標為m，△CHM的面積為S.求S關于m的函數表達式，并求出S的最大值.

圖10 圖11 圖12

圖13

設計說明進一步體會“鉛錘高”法在求解“一類以二次函數為背景的三角形面積問題”中發揮著重要作用，而且該模型所蘊含的“化斜為直”的思想是解決許多平面幾何綜合問題的關鍵.

3 關于模型教學的思考

3.1 讓學生感悟模型提出的必要性和合理性

改進前，縱觀整節課，問題1～3無需“鉛錘高”法也可解決，所有解法自然生成，不同的解題思路還充分展示了學生良好的基本功和敏銳的觀察力.這樣，模型的提出還有何意義？必要性體驗的缺失，使得整節課的教學意義懸空，學生缺少學習的動力.改進后，教師通過對例題條件和設問的再次整合, 有效避免了坐標系中其他求解面積方法的干擾，讓學生切身體會到模型在解決問題中的優勢及廣泛的應用性.從合理性角度出發，數學模型具有快捷解決問題的優勢，但模型不是解決問題的唯一途徑，例如，問題1中的三角形面積最值問題就有先補再割法、鉛錘高法、切線法、三角函數法等多種解題思路，模型的提出只是從策略上幫助學生更好地把握幾何圖形的結構，快速找到解題的突破口，進而提升解決問題的能力，增強解決問題的信心.

3.2 讓學生感知模型的深刻本質

“鉛錘高”是一個物理學概念，延伸到數學學科，也并非我們教科書中定義的“高”(由三角形的一個頂點向對邊或者對邊所在的直線所作的垂線段)， 此“高”非彼“高”.學生對三角形中高的定義接觸在先，先入為主，如果不從本質上加以區分和理解，學生容易混淆基本概念，影響模型的接受.

“鉛錘高”和“水平寬”是該模型提出的兩個基本概念.筆者發現，與本節課的執教者一樣，大多數教師都認為“鉛錘高”是模型的主角而忽略了“水平寬”，這樣的理念局限了解題思路，不利于學生一般性和發散性思維的發展.不同于物理學中的“鉛錘”意義，坐標系中豎直和水平方向地位平等，這點筆者在改進后的教學設計中有所體現，如問題3中的方法3.改進前，學生的解法始終跳不出“割補法”，也是因為“鉛錘高”模型法的本質其實只是在求三角形面積過程中的一種特殊的割補方法；特殊法可以解決的，一般法肯定也適用.模型的特殊性并不在于這條同名于物理學中的“鉛錘高”的作用，而是分割后的兩個三角形所共用的這條底邊，底邊的方向既可以豎直也可以水平，豎直或水平方向的底邊可求化是利用模型快速解題的精髓所在.

3.3 讓學生感受模型建立的過程

《義務教育數學課程標準(2011年版)》指出：教學課程目標的整體實現，是通過教學過程展開的.教學活動要重視過程，突出重點.雖然本文的“數題模型”與數學建模不是一回事，但可以借鑒數學建模的教學過程來開展此類數題模型教學.學生學習“鉛錘高”法解決問題的過程是整體性的，包括觀察、猜測、歸納、推理和建模的過程，也包括學生在學習過程中的情感體驗.比如改進前，課堂上學生提出和遇到了一些困難，教師如果能夠利用這些生成性資源，讓學生充分感受和經歷“鉛錘高”法求解面積的探索過程，那么學生對該模型的認識會更加深刻.只有這樣，學生才能在學習知識技能的過程中學會如何思考、如何解決問題，保持對數學學習的興趣，提高數學素養.

3.4 讓學生感觸模型學習的樂趣

心理學家克魯切斯基在對中小學生數學能力研究的過程中發現，數學能力強的學生“一眼就看出了問題的結構，就能把已知的條件聯系起來”，這種條件反射式的應激性反應是數學模型所期望的，但是這種單一的思維模式卻屏蔽了其他信息，它往往只對解決一類問題很奏效.因此，教師在教授模型的同時，更要加強對基礎知識、技能和基本思想方法的重視，“通性通法”具有更普遍的基礎性、生長性和應用價值，也有利于增強學生解題的自信心.九年級學生雖然具備一定的認知基礎和探究問題的能力，但是本節課提出的“鉛錘高”模型法具有一定的難度.改進前的問題4抽象性強、混淆度大，不利于學生順利解決問題，因此教師還要恰當把握新模型教學的難易程度，使得學生在學習模型的過程中保持興趣和樂趣.