例析與文化事物關聯的數學文化題

童廣鵬

(河南省民權縣高級中學 476800)

按照數學文化題的取材進行分類，美術、音樂、電影、舞蹈、建筑、工藝品、符號、玩具等都與文化事物相關聯.這些試題將數學文化與數學知識相結合，頗具匠心，與高考文化立意的理念吻合，茲舉例說明.

1 與建筑關聯的文化題

例1某濕地公園內有一條河，現打算建一座橋將河兩岸的路連接起來，剖面設計圖紙如 圖1所示．

圖1

(1)求曲線段AB在圖紙上對應函數的解析式，并寫出定義域；

(2)車輛從A經B到C爬坡，定義車輛上橋過程中某點P所需要的爬坡能力為：MP=(該 點P與橋頂間的水平距離)×(設計圖紙上該點處的切線的斜率)，其中MP的單位：m．若該景區可提供三種類型的觀光車：①游客踏乘；②蓄電池動力；③內燃機動力．它們的爬坡能力分別為 0.8 m，1.5 m，2.0 m，又已知圖紙上一個單位長度表示實際長度1 m，試問三種類型的觀光車是否都可以順利過橋？

點評借助數學文化理念，在丈量和設計建筑時選擇數學這種科學方法，更是改進建筑規劃的手段．從本題可以看出，建筑師們利用數學知識，創造性地改變著建筑風格，改變著世界．

2 與玩具關聯的文化題

例2魯班鎖是中國傳統的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創的榫卯結構，這種三維的拼插器具內部的凹凸部分(即榫卯結構)嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經90°榫卯起來(圖2)．若正四棱柱體的高為6，底面正方形的邊長為1，現將該魯班鎖放進一個球形容器內，則該球形容器的表面積的最小值為．(容器壁的厚度忽略不計)

圖2 圖3

點評魯班鎖的原理表現出了中國古代百姓的智慧，是榫與卯的有機結合結構，實際的魯班鎖6根方柱其實是這樣的：它們的維度都是1×1×4，如圖3所示．

3 與文化符號關聯的高考題

例3(2019·全國Ⅰ)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成(圖4)，爻分為陽爻“——”和陰爻“— —”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是( )．

圖4

點評《周易》是一部被歷代圣賢稱為天人之學的文化經典，是古代漢民族思想、智慧的結晶，是“六經之首”、“三玄之冠”、中華民族傳統文化及一切學術之源泉，被譽為“大道之源”，其探賾索隱、玄思宇宙的深奧哲學和象數圖式，在世界文化史上也獨樹一幟．它貫通數理、闡發玄遠，包羅萬象，是民族的傳統文化之一.從《周易》中，哲學家看到辯證思維，史學家看到歷史興衰，政治家看到治世方略，軍事家可參悟兵法，企業家可歸納經營策略．尤其是《周易》古經所蘊含的人文精神，將會繼續指導中華民族的發展，譜寫新的輝章．本題將周易的“卦”這個符號引入高考題，其中的人文氣息滲透不言而喻．

4 與美術關聯的文化題

圖5

A.165 cm B.175 cm

C.185 cm D.190 cm

點評維納斯雕像創作于公元前100年左右，表現的是希臘神話中愛與美的女神阿佛洛狄忒(羅馬神話中與之對應的女神是維納斯)．1820年，該雕像被發現于希臘米洛斯島(現代希臘語稱作米洛)，故也被稱作米洛的維納斯．這座維納斯雕像是舉世公認的女性人體美的典范，這是因為她完全符合黃金分割的人體美比例關系．本題是計算維納斯本人的身高，而不是雕像高度.根據“斷臂維納斯”所在盧浮宮官網上的數據，斷臂維納斯的身高為202 cm，要比答案高出近30 cm．

5 與工藝品關聯的文化題

例5(2019·全國Ⅱ)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖6)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現了數學的對稱美．圖7是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有個面，其棱長為．

圖6 圖7

圖8

點評獨孤信的多面體煤精印是一個半正多面體，這枚印章高4.5 cm，寬4.3 cm，印面邊長均為2 cm，重75.7 g，共26個印面，由18個正方形和8個三角形構成組印．在國外，半正多面體(semiregular solid)亦稱“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是由邊數不全相同的正多邊形為面的多面體．阿基米德發現了全部13個可能的所謂半正多面體．如將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體，它們的邊都相等，其中八個為正三角形，六個為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體．類似地，以正方體的各個頂角為圓心，以面之對角線之半為半徑作弧截各邊，每邊得兩交點；依交點于面上作與邊平行的縱橫呈井字形線，共有二十四個交點，即得四十八等邊體之角頂，依各角頂削原體，即成四十八等邊體．

6 與音樂關聯的文化題

點評明朝中葉，皇族世子朱載堉發明了以珠算開方的辦法求得律制上的等比數列，具體說來就是：用發音體的長度計算音高，假定黃鐘正律為1尺，求出低八度的音高弦長為2尺，然后將2開12次方得頻率公比數1.059 463 094，該公比自乘12次即得十二律中各律音高，且黃鐘正好還原．朱載堉的十二平均律第一次解決了自由旋宮轉調的千古難題，它的出現對于音樂體系的完善、音樂思維的發展和樂器演奏功能的提高等都具有極大的影響，是世界樂律學史上一個最重大的發明創造．它現在已是全世界音樂界應用最普遍的一種律制，西方把它作為“標準律制”，人們只要利用朱載堉的方法，甚至搬用他的數據結果，就可以制出所期待的任一種符合十二平均律的樂器．