優化多元表征助推算理內化

饒正凱

【摘要】“分數乘分數”是蘇教版六年級上冊的內容，學生在掌握算法上一般不會有太大問題，但是在理解算理的過程中往往會出現偏差。在實際教學過程中，要讓學生通過多元化的表達方式，化靜態圖像為動態過程，讓學生在演繹推理中逐步領會算理，掌握算法。培養學生分析問題、解決問題的能力，完成對分數乘分數的自主建構。

【關鍵詞】激發內驅 多元表征 演繹推理 主動建構

《義務教育數學課程標準（2011年版）》強調學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。要使數學教學過程更加體現數學的本質，有利于促進學生的全面發展。前不久，筆者在校內教研課中先后兩次試教了蘇教版數學六年級上冊教材中“分數乘分數”一課。最終改變了設計的初衷，經歷了一次從注重教師的教到注重學生的學，從注重外在形式模仿到注重內在本質理解的過程。

【教學思考】

一、在激發內驅中感受算理

在第一次試教中，通過對分數乘整數的直接遷移，使學生明確要求的是多少，就是求一個數的幾分之幾是多少，因此用乘法解決。同時直截了當地出示等分后的長方形，展示出的，并在此基礎上要求學生根據這一模型畫出表示的的意義，雖然在課堂上教師教得行云流水，學生學得嚴絲合縫，但數學味不夠濃，學生學習缺乏興趣和主動探索的過程，一切都按照教師布置的“軌道”在行走。因此在第二次試教中筆者將例題改為“比較一塊餅的的和一塊餅的誰更大一些”。激發了學生比較的興趣、學習的激情和探索的熱度。與之前不同的是，學生在比較的過程中主動構建一個圓來代替“單位1”——一塊餅。數形結合的思想在無形中得到了建構，通過這樣的理解，學生對理解求的的意義更加深刻，遠比死記硬背地求一個數的幾分之幾更加生動形象。經過這樣的自主學習的過程，學生理解兩個分數相乘的算理更加充分，而且能夠初步感受到兩個分數計算的思考方法，從而為進一步的歸納算法打下堅實的基礎。

二、在多元表征中明確算法

布魯納關于兒童心智成長的研究告訴我們這樣一個事實：兒童掌握一個數學內涵的過程是先從動作表征過渡到圖象表征，最后到抽象思考。在實際教學中，借助動作表征、圖象表征和語言表征的積累與質變，可以幫助學生有效理解概念解決問題。第二次試教在引導學生基于熟悉的圓形表示出的之后，側重引導學生通過多元化的方法表示出的。教師首先提示：“你能用自己的方法表示出這道算式的意思嗎？”這就為學生接下來自主構造圖形表示兩個分數相乘提供了基本的思考方向。在展示了幾種不同的表達方法之后，要求學生先說說幾種思考過程的相同之處，再啟發他們通過進一步的比較，說說“哪種畫法更能表現出先分后取、再分再取的過程”，同時通過學生的作品，直觀地看出來結果中分母和分子分別表示的是先分成多少份，從中取出了多少份的過程，在凸顯了兩個分數相乘的本質意義的同時，又體現了逐步完善算法的明確意圖。深度學習傾向于在比較中更好地進行學習，學生通過多元化的比較所獲得的認識和體驗自然更加清晰，同時獲取的算法也更有深度。

三、在演繹推理中歸納總結

上述教學中教師緊緊抓住引導學生數形結合的過程，通過演繹推理，緊密地將算法與算理兩者聯系在一起，在算法與算理之間架起了一座橋梁，真正做到了算法和算理的融會貫通。借助各種形狀不同的“單位1”在演繹推理的過程中讓學生明白一共15份是指把整個圖形（可以是長方形、正方形或者圓等“單位1”）平均分成了3行5列，3×5就是15份，最終取了2×2=4份。由內在的算理演繹出了外在的算法，使學生清晰了兩個分數的分母相乘其實就是把“單位1”平均分成若干份，而兩個分數的分子相乘其實就是從中取了多少份。從而自然得出“分數乘分數，分母相乘的積作分母，分子相乘的積作分子”的計算方法，進一步確認相關猜想的合理性，整個教學過程既體現了直觀手段的作用，又充滿了演繹推理后縝密思考的魅力。學生通過觀察、比較、驗證、推理、總結，最終經歷了演繹推理的過程，在真正理解算理的基礎上驗證算法，在算法明晰的過程中進一步鞏固算理，從而形成屬于自己的理解。同時再次利用圖形來溝通算理和算法的聯系，在數形互釋中進一步理解算理和掌握算法，使學生對計算方法做到知其然，更知其所以然。