猜想與驗證：助力兒童走向數學思考更深處

相春艷

【摘要】猜想與驗證是解決數學問題的一種重要的數學思想方法，將猜想與驗證放到數學教學中，不僅可以提高學生學習的興趣，還可以更好地提升數學思考。筆者主要闡述了“猜想與驗證”助力數學思考的三個方面：由模糊走向清晰、由淺顯走向深刻、由簡單走向嚴密。

【關鍵詞】猜想 驗證 助力 數學思考

猜想是人們根據一定的經驗材料和已知事實，對數學問題做出的推測性判斷，可能為真，也可能為假。對于猜想得到的命題，或經過演繹證明為真命題，或舉出反例判斷其為假命題。在小學數學教學中，常常以舉例的方法來驗證猜想所得到的結論的正確性，只要出現一個反例則說明猜想是錯誤的，如果沒有出現反例則可以說明結論是正確的。

數學思考是《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出的四個方面的課程具體目標之一，主要是指通過數學學習而逐步形成的一種主動思考的意識、相對理性的思維方式，以及對數學基本思想的感悟。發展數學思考，有助于學生從數學的角度看待問題、用數學的思維分析問題、用數學的方式解決問題，從而有助于發展他們的數學核心素養。

對于小學生來說，數學是一門相對枯燥的學科，而“猜想”又很像他們愛玩的猜謎語游戲，這樣的形式會極大地提高學生學習數學的興趣，調動他們的積極性。更為重要的是，豐富學生猜想與驗證的過程，對于提高學生的數學思考具有重要意義。

一、助力數學思考由模糊走向清晰

就小學數學學習而言，數學猜想有時是在靈感、直覺中閃現出來的，此時的數學思考是相對模糊的，需要在不斷的猜想與驗證中逐漸明確、走向清晰。

例如，教學蘇教版數學二年級上冊“認識線段”中探究點與線段之間的規律時：

師：這里有兩個點，在這兩點間畫線段，能畫幾條？請你試一試。

生：能畫1條，一眼就看出來了。

師：像這樣把兩個端點之間的一段連起來就能畫出1條線段。

師：現在有3個點，在每兩點之間畫一條線段，你能畫出幾條？

生：我覺得可以畫出3條線段，可以在左邊畫出一條，右邊畫一條，下面也可以畫一條，畫出的是三角形。

師：把每兩點連接起來，我們可以畫出3條線段，圍成一個三角形。

師：這里有4個點，請你在每兩點之間畫一條線段，先猜一猜，能畫出幾條？

生1：我猜可以畫4條，因為像上面那樣圍成一個四邊形就可以了。

（當有2個點、3個點時，學生都可以通過肉眼觀察直接得到畫出幾條線段，并且在腦中產生一種模糊的形象，好像只要把點順勢連起來圍成一個圖形，就可以得到有幾條線段，所以當有4個點時就會自然猜想可以畫出4條線段，所以學生的思考是比較模糊的）

師：到底這里能畫出幾條線段呢？還是請你們動手來證明吧！

生2：除了外面的一圈之外，還可以在里面畫出線段來。

生3：可以畫6條耶，不止4條，看！

師：別著急，把你的想法與畫法告訴我，好嗎？（出示學生作品）

（通過動手實踐驗證后，學生發現4個點不止可以畫4條線段，證明之前的猜想是錯誤的，并且建立新的想法，不僅要外面圍起來，里面也可以連出線段）

師：現在又多了一個點，先猜一猜，你能畫出幾條線段？（學生們悄聲地猜著、比畫著……）

生1：我想，肯定比6條多，因為比剛才多了一個點，畫出來的線段也會多。

生2：我想，外邊可以連5條，里邊還可以連出好幾條呢，到底有幾條？一下子看不出來。

（有了之前的猜想與驗證，當有5個點時，學生的數學思考逐漸明朗起來，他們會想到：點越多、線段越多，也會想到：從外面、里面來考慮畫出全部的線段）

師：快快動手，畫一畫，不就知道了？

生4：我們一共可以畫出10條線段，外邊有5條，里邊也有5條，一共有10條。

師：你們畫得很認真，交流得也非常好。有時，我們在畫和數的時候用分層的方法來考慮，就會很清楚地看出一共有多少條線段了，這是一個非常好的學習方法。

對于二年級的學生來說，在探究點和線段的關系時，未必需要他們掌握兩者之間準確的數量關系，但是學生的數學思考卻在不斷的猜想與驗證中逐漸由模糊走向清晰，找到畫出所有線段的方法。

二、助力數學思考由淺顯走向深刻

在小學數學教學中，數學猜想有時是運用歸納法得出的對一類現象的某種一般性認識的一種推測性的判斷。學生通過觀察幾個事例得到一個共性的結論，此時的數學思考是比較淺顯的，只有在經歷驗證的過程后才能達到數學思考的深刻性。

例如，教學蘇教版數學四年級下冊“加法運算律”中的加法交換律時：

1.計算

師：跳繩的一共有多少人？能列出不同的算式嗎？

生1：28+17=45（人）。

生2：17+28=45（人） 。

師：這兩個算式的結果相等，我們可以用等號連起來：28+17=17+28。

師：不計算怎么知道相等？

生1：都是把28和17加起來。

生2：都是求的跳繩的總人數。

小結：28個男生，17個女生，加起來，求的是——跳繩的一共有多少人。

17個女生，28個男生，求出跳繩的總人數。都是求的跳繩的總人數，所以是相等的。

2.提出猜想

師：仔細觀察這兩個式子，等號前后什么變了，什么沒變？

生1：數字的位置變了。

師：怎么變的呢？

生2：等號左邊的數字的位置互相交換了。

生3：但是它們的結果不變。

生4：也就是和不變。

師：是呀，這兩組等式，都是兩個數相加，交換加數的位置，和不變。

當學生觀察兩組等式后，他們很容易得到“交換加數位置，和不變”的結論，這個結論非常明顯，但學生的數學思考卻是比較淺顯的，是不是所有的算式都滿足這樣的猜想，有待進一步的驗證。

3.驗證

師：那么是不是其他的加法算式都符合這一規律呢？可以怎么辦？

生：再寫一個這樣的式子。

師：能說得具體些嗎？

生：寫一個加法式子，算出和，再交換這兩個數的位置，算出和，看看是不是相等的。

師：聽明白了嗎？自己舉個例子算算看。

生1：20+37=57，37+20=57。20+37=37+20。

生2：25+43=43+25，都等于68。

師：你們的等式呢？符合規律嗎？有沒有算出來和不相等的？

生：沒有。

師：現在我們可以下結論了：兩個數相加，交換加數的位置，和不變。

當全班學生舉的例子中，都沒有一個反例時，才可以基本確定所得猜想的正確性。在經歷了猜想與驗證的過程后，學生的數學思考由淺顯走向深刻。

三、助力數學思考由簡單走向嚴密

在小學數學教學中，數學猜想有時還會運用類比法，根據一類事物所具有的某種屬性，得出與其類似的事物也具有這種屬性的一種推測性的猜想。學生單單通過類比猜想得到的結論不一定都是正確的，此時的數學思考是相對簡單的。在不斷地猜想與驗證后，學生的數學思考才會變得更加嚴密。

例如，教學蘇教版數學五年級下冊“3的倍數的特征”時：

1.提出猜想，引導質疑

師：我們知道2的倍數，個位上是0、2、4、6、8;5的倍數，個位上是5和0。那你能猜想一下3的倍數會有什么特征嗎？為什么這樣想？說說你的想法。

生：3的倍數可能是個位上是3、6、9的數。

師：你們是不是都這樣猜想？利用以前的經驗，學習新內容是不錯的學習方法。今天大家聯系2和5的倍數的特征，這樣猜想，想法非常好，數學學習經常可以這樣類推。那么這一次的猜想對不對呢？誰來舉個例子驗證一下？

生：16。

師：16個位上是6，是3的倍數嗎？

生：不是。

生：還有很多19、23、49都不是3的倍數。

師：看來，我們這個猜想是錯誤的。

2.利用經驗，組織探究

師：那現在我們怎么辦？我們學習2和5的倍數特征時，還有什么經驗可以利用？（找出倍數，觀察比較，發現特征）

現在我們先找出100以內3的倍數，看看能不能發現什么規律。

（出示百數表，讓學生把3 的倍數圈出來）

學生受“2、5的倍數的特征”影響，很快類比得到“3的倍數可能是個位上是3、6、9的數”的猜想。此時，學生的數學思考是簡單的，教師沒有急于否定學生的猜想，肯定了他們類比的想法，再引導學生進行舉例驗證。再類比找2和5的倍數的特征的方法，先找出100以內3的倍數有哪些，從而觀察比較找出規律。學生的數學思考在類比、驗證、再類比中，逐漸由簡單走向嚴密。

經歷“猜想”課堂的學習不只是為了記住某些規律，而是讓學生在猜想驗證的過程中，使他們的數學思考走向更深的層次，讓學生后續的數學學習更給力。

【參考文獻】

[1]顧泠沅，朱成杰.數學思想方法[M].北京：中央廣播電視大學出版社，2004（7）.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]潘小福，陳美華. “猜想”應用于教學的問題與對策[J].上海教育科研，2016（7）.