恒成立問題中一類難點突破

俞新龍

(浙江省紹興市柯橋區越崎中學 312050)

恒成立問題是高中數學一類重要的題型，大家都學有基本解題針對套路，如f(x)≥a(a為常數)恒成立，則f(x)min≥a；f(x)

一、變量分離

綜上所述，a≤1-2ln2，從而得實數a的最大值為1-2ln2.

上面每一種情況的討論不能出任何差錯，否則必將前功盡棄！但如果我們用變量分離的方法解該題，則將容易得多.

變量分離也不一定不需要分類討論，但它確實是一種有效突破方法，請繼續看下面例子.

例2設函數f(x)=ax3-3x+1(x∈R)，若對任意x∈[-1,1]都有f(x)≥0成立，則a=____.

二、等價轉換函數

例3若不等式2xlnx≥-x2+ax-3對x∈(0,+∞) 恒成立 ，則實數a的取值范圍是( ).

A.(-∞，0) B.(-∞，4]

C.(0，+∞) D.[4，+∞)

等價轉換函數是否成功的標志是能否求出轉換后函數的最值.該題也可以用變量分離法求解如下：

三、利用充分條件

四、作差比較大小

需要注意的是以上突破策略并不是孤立的，有時需要兩者配合進行.