有深度的學習需循序漸進螺旋上升
——“分式”教學實錄與反思

龐彥福

(江南大學附屬實驗中學 214036)

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自學區普通班，基礎不夠扎實，認知水平與能力及再學習的能力都相對薄弱，缺乏良好的學習習慣及行為習慣，但可塑性較強.經過一年半多的引導與磨合，大多數學生已經有了一定的探究意識與能力、聯想能力、抽象能力及推理能力．

1.2 教材分析

蘇科版《義務教育教科書·數學》將“分式”一章安排在八年級下冊，屬于《義務教育數學課程標準(2011年版)》(下稱《標準》)“數與代數”板塊內容．此時學習分式，學生不僅有了一定的代數基礎，而且也有了必要的推理能力和思辨意識．分式是整式內容的進一步延續和發展，是代數恒等變形的重要內容之一．分式是由分子、分母兩部分組成的，相對于分數和整式而言，其概念的內涵更為豐富，運算難度增大，符號變化更為復雜，方法也更為靈活．分式的概念具有承上啟下、統攬全局的作用，為全章的學習和研究搭建了框架，對該板塊內容的建構與學習起先行組織者的作用．分式又是后續學習分式方程、函數以及其他有關知識的重要基礎．

基于以上理解，本節課的教學目標確定為：(1)了解分式的概念，會判斷一個代數式是否是分式；(2)能用分式表示簡單問題中的數量關系，理解分式有、無意義的條件，會根據已知條件求分式的值；(3)經歷用字母表示實際問題中數量關系的過程，體會分式是表示現實世界中一類量的數學模型，進一步發展符號觀念，體悟用類比研究問題解決問題的思想方法．

教學重點 正確理解分式的意義，了解分式是否有意義的條件及分式的值為0的條件．

教學難點 能將分母不為0靈活運用到問題解決之中．

2 教學過程

2.1 本真引入，有效教學

師：同學們，由“分式”這個課題能想到什么？

生1：分數．

師：大家回想一下分數，它是怎樣產生的呢？

師：之前我們學習過整式，能舉幾個整式的例子嗎？

生3：太多了！譬如1, 2x,a+b, 3m2- 2n3, ….

師：從中任選兩個作運算，你準備作什么運算？

問題1(1)面積為6 m2的長方形一邊長是5 m，則它的另一邊長為m；一塊長方形玻璃板的面積為2 m2，如果寬為am，那么長是m；長方形的面積為S，長為m，則寬為.

(3)兩塊面積分別為a公頃、b公頃的棉田，產棉花分別為mkg,nkg．這兩塊棉田平均每公頃產棉花kg.

(4)小明從家到學校的路程約為3 km，平均速度為vkm/h，需要的時間是h；為了能夠早點來到學校，若平均每小時多走bkm，那么需要的時間是h．

設計意圖奧蘇貝爾把全部教育心理學歸結為一句話：影響學習唯一重要的因素，是學生知道了什么．建構主義的學習理論認為：學生的學習是從自己已有的知識和經驗出發的一種自主建構的過程．我國古代著名哲學家、思想家老子有句名言：“天下難事，必做于易；天下大事，必做于細”，它精辟地指出了想成就一番事業，必須從簡單的事情做起，從細微之處入手．知識的產生、發展與探索是一個逐步的過程，分數的概念既來源于實際的需要，又是數學內部發展的需要，從分數到分式是數到量飛躍的標志．從除法到分數、從整式到分式，意在引導學生學習數學要聯系地學、整體地學．這樣設計，揭示知識間的聯系，緊靠學生的最近發展區，加深了學生對知識的理解和內化．

2.2 體悟本質，深度學習

師：仿照分數，能給分式下個定義嗎？

設計意圖概念是教學的基石，是學生認知的基礎，是學生開展數學思維活動的載體．對于概念學習的方式，奧蘇貝爾區分了兩種基本形式，即概念形成和概念同化．這里主要采用的是概念形成的方式來初步認識和理解分式的概念，其過程往往需要從現實生活或者是問題情境中歸納分式結構的共同特征并抽象出其本質屬性來．章建躍博士指出“概念教學必須讓學生經歷概念的形成過程”．而類比分數來認識分式的學習過程其實就是概念同化．數學教學中，要“構建前后一致、邏輯連貫的學習過程，使學生在掌握數學知識的過程中學會思考”[1]，進而實現從有效教學到深度學習的過渡，以達到理解數學的本質．

2.3 循序漸進，螺旋上升

師：根據同學們理解的分式概念，請回答：

問題2下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？兩類式子的區別是什么？

2.4 思悟數學，增長智慧

學生做了很多數學題，但學生對數學的認識與理解并未水漲船高，學生的數學學科素養并未得到提升，其原因就是缺少對數學內容深度思考、理解與體悟．思悟數學就是要通過適宜的教學引發學生深度思考，能夠有所悟、有所得．

問題4對下列分式，你能提出什么問題？

設計意圖數學的核心是研究關系[3]，就初中階段的數學來說，無外乎數量關系、圖形關系以及隨機關系．運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力[4]是落實《標準》倡導的“問題意識”，更是引導學生通過觀察和思考來學習數學、理解數學和應用數學．《標準》指出：數學知識的教學要注意知識的“生長點”與“延伸點”．如何延伸呢？拓展題，就是為了發展學生思維的廣闊性和靈活性而設置的，以踐行《標準》指出的“不同的人在數學上得到不同的發展”的基本理念．

問題5如何回顧總結提煉學習過程？

師：概念是思維的基本單位，是數學邏輯的起點，是數學學習的核心．同學們想一想，能用簡潔的語言提煉你學習分式概念的體會嗎？

生8(文科很好)：我覺得可以總結為兩個“三”.一是分式概念要三個條件：(1)分子分母都是整式，(2)分母中含有字母，(3)分母不為0；第二是分式的條件要注意三條：(1)分式在什么條件有意義，(2)分式在什么條件無意義，(3)分式在什么條件值為0．

師：總結得很有條理，很有數學味．

生9：其實我覺得，分式的分母不為0是我們應該想到的，而不是定義中給出的……

在學生的期望和等待中，教師示意生9繼續．

師：大家有什么意見？

師：真理需要辯論！對分式的認識、理解在爭辯中越來越清晰，分式的本質也越來越明了了．同學們還想說什么？

生11：我想分式接下來的內容也應該和學習分數差不多，從概念到基本性質再到運算和應用問題．

師：思考的方向很正確，很有思維含量.研究問題有了清晰的主脈線，再加上有效的策略，接下來的學習就會越來越有思路和方法了．

設計意圖該環節相當于課堂小結，借學生之口把學習的體會與經驗分享給大家，提出學習的困惑或認識的誤區提醒大家注意，達到廓清概念本質、厘清知識思路、明確內容結構、積累學習經驗．教學策略、學習方法是多變、靈活的，符合學生認知規律的策略與方法才是最好的．

3 回顧與反思

3.1 教學設計的立意

概念教學要摒棄“一個定義+幾項注意+若干練習”的枯燥做法．數學題目是練不完的，練是學習過程中的必要經歷和環節，練是進一步理解、是為了鞏固、是知識的運用，切不可以教育的名義或打著“熟能生巧”的幌子讓學生傻練、死練．殊不知“沒有理解的練習是傻練，越練越傻；沒有練習的理解是空想，越想越空”(羅增儒語)．學習數學當然需要解題，但更需明白題目背后蘊含的知識、方法及數學思想，把解題過程中積累的經驗與技巧變成再學習的起點，把習得的思想方法與感悟提煉為成長過程中的素養和智慧．

3.2 教學反思

(1)要厘清分式定義本質

(2)要體悟其中的思想方法

數學思想是數學的靈魂，是數學知識和數學學習的精髓，蘊涵在數學知識形成、發展和運用過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括.[4]一個數學思想的形成需要經歷一個從模糊到清晰、從理解到應用的長期發展過程，需要在不同的數學內容教學中通過提煉、總結、理解、應用等循環往復的過程逐步形成，學生只有經歷這樣的過程才能逐步“悟”出數學知識、技能中蘊涵的數學思想．從分數到分式，既有類比的思想方法又是特殊到一般、一般到特殊的體現，討論分式有無意義或值為0往往是轉化到了關注分子、分母上來．數學的思想方法及技巧難以由教師教會學生，往往是學生通過解決問題或深入思考而自己習得與悟到．學生自己真正體悟到思想方法與技巧才會更好地延續和發展．

(3)要虛實結合側重分明

(4)發現不足要及時彌補

本節課的不足是沒能將教師用書中的“解釋簡單分式的實際背景和幾何意義”教學目標在學生層面上落實，其次是教材中數形結合思想體現不充分．不過，在接下來“分式的基本性質(第1課時)”及時進行了彌補．

數學學與教的過程中，該簡約時要簡約，做到了“簡約而不簡單”就是一種境界．