立足學生思維，突破學習障礙，促數學運算素養提升*

童先峰

(江蘇省張家港市崇真中學 215600)

高三復習中，如何通過典型問題幫助學生建立結構與功能良好的數學認知結構，是擺在每一個高三數學人面前的難題.此前，在模考中筆者遇到這樣一個試題，問題“親民”卻普遍得分不高，仔細翻閱答題卷后發現，未完成解答的學生基本都是在選擇設點列出表達式后不會化簡，而得滿分的解答均是設直線斜率后再根據題意列出解析式求解的.由此來看，選擇適切的參數，對于后續深入解決問題起著至關重要的作用.但解析幾何中這類問題不管是選擇線參還是點參，最主要的障礙還在于數學運算：學生要么因計算量較大而半途而廢，要么因思路不清而迷失方向.筆者對這個問題也苦惱已久，借此機會，與所任教理科重點班學生進行了深入交流，現將與學生談話的過程與個人思考整理成文，與同行們交流，敬請指正.

圖1

1 訪談選擇“點參”的學生簡述

師：對問題(2)，你當時是如何思考的？

師：你的想法很不錯，那么后續解題過程中哪個環節導致整個問題“半途而廢”？

和這兩位學生交流了之后，筆者又找了多位采用點參做法的學生進行了探討，他們的困惑大致相當：后續要么是無目的的運算，要么就是心有不甘的舍棄.于是，筆者就這個運算難點的核心在課堂上與學生一起進行了分析、講解和演算，消除了學生的困惑，同時也增強了學生運算的信心.

參數形式化簡過程同上.至此，學生對引入點參后化簡的意識和方向有了較為清晰的認識，消元、降次、整體等思想和方法更了然于心.

2 訪談選擇“線參”的學生簡述

師：你對問題(2)當時是如何思考的？

生3：雖說直線AP和BP斜率之間沒有明顯的內在聯系，但考慮到設點要引入兩個參數，我就避重就輕嘗試引入“線參”.首先設直線AP(或BP)方程，而后與橢圓方程聯立，解出點P坐標，接著利用直線BP(或AP)方程，或B，D，P(或A，C，P)三點共線,求出點D(或C)坐標,最后表達出面積的解析式.

師：你的解答非常優秀!看得出,你對解析幾何的運算非常有自信、有謀略，過程中求解點P、點D的手法非常嫻熟，最后求面積范圍時充分關注題目條件，牢牢盯住定義域，思維層次和數學水平非常了得！

小結：一般而言，根據題意選擇線參或點參均可解決相關問題，如果直線斜率之間存在某些顯性(隱性)關聯，可優選線參.與此同時，由于解析幾何具有幾何和代數的雙重身份，所以還可以先從幾何和代數兩個方向統籌分析圖形，從而不斷選擇和優化運算的方法和策略.

3 幾點啟示

(1)協調好“講與不講”的關系

教育界流傳這樣一種說法：“課堂教學中，學生會了的，教師不講；學生自己能學會的，教師不講；教師講了學生也不會的，教師不講.”這在一定程度上確實把時間和空間還給了學生，但那些有一定難度卻代表典型思想方法的問題， 如果教師的“潛意識”貿然認定超出學生實際認知水平，對學生跳一跳能夠摘得到的“果實”卻“視而不見”，那么學生的能力素養只能在低水平徘徊，也就造成數學學習的“空轉”，師生花費了大量的時間和精力卻獲得感不多，從而大大降低學生對數學美好期待的向往與追求.

鑒于我校學情，在備課組教研活動中，一部分教師認為此題點參化簡過程有一定技巧且計算量較大，講了學生也不能掌握，所以選擇不講；也有部分教師(包括筆者)認為,此題化簡方法(降次、整體、消元)比較典型，多數學生均因運算過程中目標不明確而導致化簡方向不確定，因此有必要在運算關鍵處講清算理、講清基本方法和基本規律，從而幫助學生對基本數學思想策略入腦入心，將思維提升到較高的境界.高考最后沖刺階段更需要師生加強交流，不但要講評典型錯誤，還要突出優解，展示學生淳樸的解法和整潔的卷面.

(2)處理好“如何講好”的問題

高三教學目前存在一個矛盾:一方面,師生的應試壓力大、課業負擔重，從而導致現成的教輔資料和自編講義材料“滿天飛”；另一方面，師生均有意愿增加時間用于消化整理，但這個“軟任務”在學生層面缺乏自我約束和有效指導，在教師層面缺乏有力抓手和有效監管.因此，在“劇場效益”綁架下，布置練習“硬任務”上場最為妥當，造成學生辛苦作業、教師痛苦批閱的惡性循環，最終一起淪落為將參考答案從教參資料搬到習題冊的“搬運工”.

筆者緣于工作崗位調動，分管學校教科研和教師發展，一直倡導這樣一個觀點：要讓教師發展引領學生成長，要讓教師研究引領學生探究.鑒于此，筆者建議：高三復習一方面要加強常規微專題研究，從學生認知規律的角度分析學生思路卡在哪里、為什么會卡在那里、怎樣突破，多加強研究比較，抓住其要，悟出其道；另一方面要主動學習和應用大數據與人工智能技術，充分收集學生學業數據，分析常態化學情，聚焦共性薄弱點，如可通過錄制典型問題微課精準教學，也可對一些名師課堂(如“新青年數學教師工作室蘇州分站”會定期推出一些名師的線上教育視頻、學案等)進行整合串接，引他山之石為我所用，講好規律、講好通法、講好差異、講透本質.

高中數學知識方法千萬條，學力發展研究是第一條.只要師生主動加強研究探索，定能在學習道路上共同走向詩和遠方.