基于傅里葉熱傳導定律[1]關于高溫工作服裝的設計

高藝倩

（三峽大學 電氣與新能源學院，湖北 宜昌443000）

隨著科技的發(fā)展，人們生活水平的提高離不開各個崗位的工作人員的付出。再艱巨的環(huán)境都要完成任務，比如在高溫環(huán)境中工作時，人體會出現一系列的生理功能改變，這些功能在一定范圍內可有幅變化，但若超過限度就會產生不良影響，所以熱防護服就成為了防護高溫的重要方法之一。熱防護服是指在高溫中穿的促進人體散發(fā)熱量的、防止熱中暑、燒灼傷等的具有防護功能的服裝，除了要有較好的阻燃性，而且要有較高的隔熱性能。其原理是減緩熱量的轉移速度，使熱量在人體皮膚上盡少積聚，以保證不被燒灼傷。

1 基于傅里葉熱傳導定律的算法

在dt 時間內，沿著某面積元ds 的外法線的方向流過的熱量dq→和這個面積元兩側的溫度的變化率?u/?n 成正比，兩者的比例系數為W。由于在自然條件下的溫度是處于減少的趨勢，故在等式的右邊有個負號，如下所示：

在上述式子中間的W 為導熱系數（單位為W/m2），e→n是該面積元的外法向量。

在對于一個封閉的體積元Ω 的時候，dt 時間內它內部的熱量變化為dQ 通過對體積元的閉合面積分，得到以下式子：

得到上述式子之后，再進一步地對時間進行積分，這樣就可以得到從t1到t2時刻流入體積元內部的熱量Q1，再由高斯公式可以的得到以下式子：

我們在初中的時候學過類似的熱力學公式，為某一物體吸收的熱量等于這個物體的質量、比熱容和溫度增量的乘積。根據上述熱力學公式我們可以得到以下公式：

變形得到上述式子之后可以根據熱量守恒得到化簡以后的式子：

如果在物體的內部是存在熱源的，那么在dt 的時間內，在（x，y，z）地方的體積元內所產生的熱量就是F（x，y，z，t），所以同樣地，我們很容易地就得到了含有熱源的熱傳導的Poisson 方程，如下所示：

但卻存在一種情況，就是在邊界絕熱的條件下，如果內部有不滅的熱源是沒有辦法達到熱平衡的。如此以來，我們的熱傳導方程便全部都建立起來了。

三維轉一維化思想

在實際生活中，熱量的傳遞是沿著各個方向的，但是在解決問題的時候，為方便分析計算問題，就會將三維的空間轉換為一維以后再進行分析。

圖1 將三維流動過程一維化

將三維流動的過程一維化思想的核心就是利用等效的方法，直接對截面進行研究，將界面的各個因素都統(tǒng)一地歸到一個點的地方，由此得到整個流體的模型其實就為線性分布的點集，這樣就能夠由研究點和點之間的關系而得到整個為柱形的流體的實際濕度分布情況了。

經過對問題一的分析后能夠知道，高溫作業(yè)專用服裝（也就是防熱服）的結構有四層，分為Ⅰ層、Ⅱ層、Ⅲ層和Ⅳ層，外界的溫度一直為348.15K 不變，服裝的初始溫度為最開始的298.15K，高溫工作專用衣服各層材料的溫度會通過熱傳導的方式改變溫度。

每個材料層都有熱傳導率Wi（i=1，2，L，5）。在問題一中，需要分析當外界溫度傳入擁有四層不同材料的防熱衣的規(guī)律，需要求各個層的溫度分布[2]。

由于在服裝里面各層的材料是均勻的，所以，將需要分析的熱傳導方程從三維歸為一維的方程來進行研究。所以每層材料都能夠化為一維熱傳導方程，如下所示：

其中，ui為需要求解的第i 個材料層的溫度分布；Wi、ci、ρi為此層材料的傳熱系數、比熱和密度，以上幾者都為已知的常數，并且：

由模型假設二可知在層與層界面之處的傳導率處于平衡的狀態(tài)，并且溫度相等，即：

以上述分析為基礎，將第Ⅳ層假設為空氣層（W5是其傳熱系數）的情況下，所建立的熱傳導微分方程模型為：

當i=1，2，3（也就是在分析前三層）的時候，由于溫差較小，所以不需要考慮到熱對流的影響。當i=4（也就是在第Ⅳ層）的時候，由于溫差較大所以要考慮到熱對流的影響。并且在上式中的q 表示的是熱對流產生的影響。運用附件二中測得的每一秒中的假人皮膚表面的動態(tài)溫度作為每一秒皮膚的溫度。

對于傅里葉熱傳導定律我們采用的是傅里葉變換法[2]，也就是對方程和初始條件做關于x 的值取傅里葉的正弦變換，記為：

再次對上述式子的兩端取傅里葉正弦逆[3]變化，對于原問題的解就如下所示：

2 基于傅里葉熱傳導定律算法的結果

經過了以上的問題分析、模型建立與算法實現，我們可以得到0.1-15.2mm 每一小段在0-5400s 中每一秒時間的溫度。在此取每種材料之間的零界點作為例子在下列表格中列舉出來，在5400s 中以900s 為間隔時間，取得在7 個時間點的溫度，問題一具體的結果如表1 所示。

上面的表格就為問題一最終答案中的4 個節(jié)點在7 個時間點的溫度。由表中的數據可以知道材料層越靠里，溫度達到穩(wěn)定需要的時間就越少、溫度越低、更容易趨于穩(wěn)定。將上述表格中的結果用圖表的形式表示出來，如下圖2 所示。

表4 問題一結果表示表

圖2 節(jié)點溫度變化趨勢折線圖

將上述表格里的數據用圖表表示出來，如上圖所示，當時間為0s 的時候，服裝內部的溫度都為常溫25℃，四條折線分別代表的是四個節(jié)點，距離越大溫度越低，達到穩(wěn)定的時間越小。

將一維熱傳導方程解的圖像擬合出來，得到溫度、時間與空間這三者之間的關系與不同時間段空間與溫度之間的關系曲線。擬合出來的圖像如圖3 所示。

圖像中顏色的漸變代表著溫度的變化，顏色越暖則溫度越高，顏色越冷，則溫度越低。圖像中不同顏色的線代表的是不同的時間段，曲線越高溫度越高。由上面的圖像能夠得到隨著時間的增長溫度增高、隨著厚度的增加溫度降低。

3 基于傅里葉熱傳導定律算法的改進

在比較復雜的物理系統(tǒng)中，為了描述出系統(tǒng)的穩(wěn)定性，我們通常采用微分代數方程組去實現，在文中我們給出了某系統(tǒng)的微分代數方程組，并且運用MATLAB 仿真系統(tǒng)，利用文中的局部參數化的微分變換法，就可對方程進行求解。

在給定的某物理系統(tǒng)的微分代數方程組，分別將其編號為1-5，運用文中局部的參數化微分變換法進行運算，比較在仿真的實驗中的計算結果（y1，y2，y3）和文中的方法算出的數據結果（y1，y2，y3）的差異。

利用局部參數化微分變換法對文中的5 組微分代數方程組進行計算，并且將計算出來的數值結果和仿真實驗結果進行對比，對比后就能夠觀察出每一組的數據的誤差肯定是非常的微小，基本上和實驗出來得到的結果是一樣的，如果最后算出來的數據是符合誤差范圍的，那么那個結果就是有效的。

4 于傅里葉熱傳導定律算法改進的效果

圖4 給出的是局部參數化微分變換法計算出來的數值和仿真實驗中計算出來的數值吻合的程度曲線圖。

圖4 方程組計算數吻合率

由圖4 可以觀察出，在比較了用局部參數化[4]的微分變換法[5]得出的數據之和用仿真實驗計算出來的數據之后，可以觀察到用兩種方法計算后得到的結果相符程度幾乎接近95%，則說明兩者均為有效方法。

在同樣的情況下運用仿真實驗進行求解，求解后的結果如表2 所示。

表2 仿真結果結果表示表

上表表示的是由仿真實驗算出的最終結果，經過對結果的分析，同樣地能夠得到當厚度為9.2mm 的時候最先符合題目條件并且保證在符合約束條件的情況中厚度為最薄。

將改進之后得到的結果與之前的局部參數微分變換法得到的結果進行對比，得圖5 兩個對比圖。

圖5 兩種模型結果對比圖

5 結論

為了最后結果的準確性，將逐個分析厚度為0.1mm 的小段，最初四層的初始溫度都等于室溫。利用傅里葉熱傳導定律將熱傳導轉換為方便計算的方程，再進行計算，計算方法為：將接觸外界的小段在0-5400s 中每一秒的溫度求出，將求出的每一秒的溫度當作是第二個小段的最開始接觸的溫度，求出第二個小段在每一秒的溫度，依次類推。注意在計算層與層之間的臨界點的溫度時需要變換材質的密度。由上述計算方法便可以得到四整層中每個小段分別在90 分鐘內每一秒的溫度分布，最后對結果進行準確度檢驗。