強(qiáng)化幾何直觀和代數(shù)推理，發(fā)展學(xué)生思維

【教學(xué)內(nèi)容】

這節(jié)內(nèi)容可安排在人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第三章第一節(jié)“從算式到方程”內(nèi)容之前，也可安排在北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第五章第一節(jié)“認(rèn)識(shí)一元一次方程”之前，可作為一元一次方程的起始課。本節(jié)課由“陳莉紅陽光數(shù)學(xué)名師工作室”成員付敏老師和胡德才老師參與設(shè)計(jì)并進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)。

【設(shè)計(jì)理念】

方程模型是初中階段代數(shù)思維的第一個(gè)模型，通過方程的學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)從算術(shù)思維到代數(shù)思維的轉(zhuǎn)化，這是一個(gè)高度抽象的過程。如何幫助學(xué)生順利地實(shí)現(xiàn)思維的過渡，需要在教學(xué)過程中加強(qiáng)幾何直觀和代數(shù)推理。一元一次方程這一章的教學(xué)有兩個(gè)問題：一是從算式到方程的過渡效果不理想。學(xué)生習(xí)慣了小學(xué)的算術(shù)法，認(rèn)為算術(shù)法能快速求出答案，而用方程求解時(shí)需要寫較多步驟，對(duì)引用方程解決問題的必要性沒有真正理解接受。二是學(xué)生學(xué)完了一元一次方程后，遇到稍復(fù)雜的情境就不會(huì)列方程。而這種現(xiàn)象的本質(zhì)是因?yàn)闆]有真正理解列方程的關(guān)鍵是要尋找等量關(guān)系，要在教學(xué)情境中發(fā)現(xiàn)量、表達(dá)量，尋找等量關(guān)系再列方程。為了解決學(xué)生從算術(shù)到代數(shù)思維過渡的問題，筆者特意設(shè)計(jì)了這節(jié)課，并在這節(jié)課中有效滲透代數(shù)推理及充分運(yùn)用框圖幫助學(xué)生理解、強(qiáng)化幾何直觀的作用。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.體驗(yàn)算術(shù)法和代數(shù)法都是解決實(shí)際問題的常用方法。

2.感悟同一教學(xué)情境中算術(shù)法和代數(shù)法的聯(lián)系與區(qū)別，并認(rèn)識(shí)到運(yùn)用代數(shù)法解決問題的必要性。

3.在思維上接受算術(shù)法向代數(shù)法這種思考問題方式的轉(zhuǎn)變，并對(duì)代數(shù)法解決問題產(chǎn)生心理認(rèn)同。

4.初步形成運(yùn)用列代數(shù)等式法的解題意識(shí)和解題素養(yǎng)。

【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】

重點(diǎn)：感悟算術(shù)法與代數(shù)法解決問題的特點(diǎn)，體驗(yàn)算術(shù)法與代數(shù)法的聯(lián)系與區(qū)別。

難點(diǎn)：讓學(xué)生感悟運(yùn)用代數(shù)方法解決問題的必要性，運(yùn)用代數(shù)方法表示未知量及建立等式。

【設(shè)計(jì)思路】

1.從思維發(fā)展的角度，讓學(xué)生真正理解從算術(shù)到代數(shù)的必要性，感悟算術(shù)與代數(shù)兩種思維的區(qū)別與聯(lián)系，為下節(jié)課從算式到方程打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2.在表達(dá)未知量及未知量之間的關(guān)系時(shí)，滲透幾何直觀思想，利用圖表或者框圖等可以幫助學(xué)生理解問題情境的輔助工具，直觀表達(dá);利用字母表示未知量，利用推理尋找量與量之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象，進(jìn)而達(dá)到數(shù)學(xué)建模的效果，并將這種做法一直貫穿在一元一次方程整章內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中。

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

民間歌謠：“雞鴨共一欄，雞為鴨之半。

八鴨展翅飛，六雞在生蛋。

再點(diǎn)雞鴨數(shù)，鴨為雞倍三。

請(qǐng)你算一算，雞鴨原若干？”

教師先讓學(xué)生解釋歌謠的意思并提問。

師：請(qǐng)同學(xué)們想一想歌謠中總共有哪些量？已知量、未知量分別是什么？

生1：一開始雞和鴨的只數(shù)，飛出去鴨的只數(shù)和躲起來的雞的只數(shù)，后來欄圈里雞和鴨的只數(shù)。

（若生1說不全，可讓其他學(xué)生補(bǔ)充。）

師：同學(xué)們，這些量之間有什么關(guān)系呢？

生2：一開始雞的只數(shù)是鴨的一半，后來鴨的只數(shù)是雞的3倍。還有飛出去鴨的只數(shù)和躲起來的雞的只數(shù)是固定的，分別為8只和6只。

生3：一開始雞的只數(shù)減去6等于后來雞的只數(shù)，鴨的只數(shù)減去8等于后來鴨的只數(shù)。

師：現(xiàn)在知道了這些量及它們之間的關(guān)系，如何求一開始雞和鴨的只數(shù)呢？

生4：雞為鴨的一半，可知鴨的只數(shù)為偶數(shù)，雞的只數(shù)至少為7只，那么我就從雞的只數(shù)一個(gè)一個(gè)地試。

師：這個(gè)同學(xué)是假設(shè)雞的只數(shù)分別為7，8，9，10，然后一個(gè)一個(gè)地計(jì)算檢驗(yàn)，他這樣做可以嗎？

生：可以。

師：如果題目變?yōu)椤敖裼幸蝗弘u鴨被關(guān)在一個(gè)欄圈里，已知雞為鴨的一半。主人在清點(diǎn)雞鴨時(shí)，發(fā)現(xiàn)有20只鴨飛出欄外了，又有40只雞躲起來生蛋，這時(shí)清點(diǎn)得鴨的只數(shù)為雞的5倍，請(qǐng)你計(jì)算雞、鴨各有多少只。”你還會(huì)做這道題嗎？請(qǐng)同學(xué)們?cè)囋嚢桑?/p>

師：請(qǐng)哪個(gè)同學(xué)分享下他的解題思路。

生5：數(shù)據(jù)較大，一個(gè)一個(gè)地試要試好久。

生6：我也是，還沒試出來。

……

師：這道題能試出來嗎？

生：能。

師：要試多長時(shí)間才能找到答案？

生：不知道。

師：有沒有哪個(gè)同學(xué)能列算式解答？

（學(xué)生沉默中……）

師：在探究過程中，我們一個(gè)一個(gè)地枚舉嘗試，需要時(shí)間長且無法判斷有沒有其他的解，尤其是題目條件的數(shù)量變大后，更是增加了枚舉的難度，列算式又想不到，那怎么辦呢？

生：題目中的量太多了，關(guān)系也復(fù)雜，感覺腦子不夠用了。

師：我們就先想想用什么方式能把各個(gè)量之間的關(guān)系表達(dá)出來，那樣是不是思路更清晰一些呢？

生：好呀！

師：請(qǐng)同學(xué)們注意看題目條件，題目中有幾個(gè)未知量，彼此之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系，哪個(gè)同學(xué)來回答？

教師引導(dǎo)學(xué)生用框圖的形式把未知量之間的關(guān)系表達(dá)出來（如下圖）：

師：請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考，如果我們用字母來表示未知量，需要用幾個(gè)字母就可以把所有的未知量全部表示出來？

生：只需要用一個(gè)字母就可以了。

師：我們可以設(shè)任意一個(gè)量為x，比如設(shè)開始時(shí)雞的只數(shù)為x只，請(qǐng)問你們能把其他3個(gè)未知量用x的代數(shù)式表達(dá)出來嗎？

（教師巡視、觀察，拍下學(xué)生的解答過程，上傳屏幕展示。）

師：請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考，圖示中的每一個(gè)量可以有幾種不同的表達(dá)方式？比如就選后來鴨的只數(shù)這個(gè)量，還有不同的表達(dá)方式嗎？

生：有，后來鴨的只數(shù)可表達(dá)為：5（x-40） 。

師：很好，我們發(fā)現(xiàn)了后來鴨的只數(shù)這個(gè)量可以有兩種不同的表達(dá)方式，所以它們應(yīng)該是相等關(guān)系，可以列出等式：2x-20=5（x-40）。

師：我們通過設(shè)未知數(shù)、列代數(shù)等式的方法解決了問題，今后我們會(huì)學(xué)習(xí)如何求解這個(gè)等式并能計(jì)算出x=60。

師：大家覺得這個(gè)方法和以前的解法有什么不同？

生：用枚舉嘗試法能成功求解問題，如果數(shù)據(jù)很大，要嘗試很久才能找到答案;列算式是逆向思維，關(guān)系很復(fù)雜，量多的時(shí)候就很難理清思路、直接列出算式。

師：你說得非常對(duì)，以后遇到類似的問題時(shí)，你會(huì)怎么辦？

生：我會(huì)嘗試用列代數(shù)等式的方法解決問題。

師：好極了，我們又學(xué)會(huì)一種解決實(shí)際問題的新方法。

【設(shè)計(jì)意圖】

在本教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師首先以一首民間歌謠作為情境引入新課，一方面增強(qiáng)趣味性，另一方面歌謠中出現(xiàn)的量較多，關(guān)系較復(fù)雜，學(xué)生不易由算術(shù)法直接得出答案，從而產(chǎn)生認(rèn)知沖突，凸顯代數(shù)法的必要性。然后教師在解決問題的過程中，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生通過表格、框圖等形式直觀地表達(dá)量與量之間的關(guān)系，在代數(shù)中滲透幾何直觀。用字母表示各個(gè)量實(shí)現(xiàn)第一次數(shù)學(xué)抽象，尋找等量關(guān)系實(shí)現(xiàn)第二次數(shù)學(xué)抽象。最后通過對(duì)問題的討論探究，讓學(xué)生親歷枚舉計(jì)算、列算式和列代數(shù)等式的解題過程，體驗(yàn)出各種解法的優(yōu)劣，從心理上傾向認(rèn)同列代數(shù)式解決問題的思維方式。“算術(shù)方法”表現(xiàn)為“逆向思考”，它只含已知數(shù)，但很難一步到位，思維要求較高。

列代數(shù)等式時(shí)不急著求出未知數(shù)，而是先尋找各量之間的關(guān)系，找到同一個(gè)量的不同表達(dá)方式，再設(shè)未知數(shù)表達(dá)出等量關(guān)系。它思路清晰，易列出含未知數(shù)的等式，表達(dá)題意準(zhǔn)確自然，易于學(xué)生理解接受，在教學(xué)過程中培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、活動(dòng)探究，鞏固應(yīng)用

例1? 有甲、乙兩堆小球，甲堆比乙堆多，乙堆有6個(gè)小球，如果按照以下規(guī)則挪動(dòng)小球，第一次從甲堆拿出和乙堆同樣多的小球放到乙堆，第二次從乙堆拿出和甲堆剩下的同樣多的小球放到甲堆，請(qǐng)解答以下兩個(gè)問題：（1）若假設(shè)第一次挪動(dòng)以后，甲、乙兩堆小球一樣多，甲堆原先有多少個(gè)小球？（2）若假設(shè)第三次挪動(dòng)以后，甲堆比乙堆少6個(gè)小球，甲堆原先有多少個(gè)小球？

師：請(qǐng)同學(xué)們先做第（1）問，哪個(gè)同學(xué)說說，你是怎么算的？

生1：我是用算術(shù)法做的。第一次移動(dòng)后，乙堆加了6個(gè)球，甲堆少了6個(gè)球，甲堆剩下的球正好等于乙堆的12個(gè)球，用逆推法就可以列出算式了。

生2：我是用列代數(shù)式的方法做的。設(shè)甲堆原先小球數(shù)為x個(gè)，第一次移動(dòng)后，乙堆12個(gè)球，甲堆x-6個(gè)球。這兩堆一樣多，讓這兩個(gè)代數(shù)式相等就可以了。

師：不論是算術(shù)法還是代數(shù)式，都把移動(dòng)后甲、乙兩堆小球數(shù)目的變化規(guī)律搞清楚了，用逆推法可以直接求出小球數(shù)目，用列代數(shù)式的方法可以把等量關(guān)系表達(dá)出來。非常好，那么我們?cè)倮^續(xù)解答第（2）問。

（教師巡視學(xué)生答題情況。）

師：第（2）問還能用算式法做嗎？

生3：次數(shù)越多，關(guān)系越復(fù)雜，列算式比較困難了。

師：既然列算式比較困難，那我們?cè)囋嚧鷶?shù)法。

師：為了把所有量都表達(dá)出來，而且它們之間的關(guān)系還能一目了然，我們可以怎么做？

生4：我們可以畫表格，或者用框圖的形式表達(dá)出來。

師：同學(xué)們?cè)囈辉囎约寒嫳砀瘛?/p>

（教師幫助學(xué)生一起畫表格。）

師：表格畫出來了，哪個(gè)同學(xué)說說表格里的答案？

生5：我是這樣做的（如下表）。

師：太棒了，請(qǐng)你和大家一起分享下是怎么得到答案的？

生5：我注意到，每次移動(dòng)前后球的總數(shù)是x+6，是恒定不變的，所以每次移動(dòng)后，我先確定翻倍后的那一堆球的數(shù)目，再用總數(shù)減去翻倍后的那一堆球的數(shù)目就得到了余下球的數(shù)目。

師：很好，我們可以順著題意直接列出來，也可以抓住變化中不變的量（小球總數(shù)不變）來幫助我們找到關(guān)系，列出代數(shù)式。

師：接下來可以根據(jù)什么關(guān)系列等式呢？

生6：第三次挪動(dòng)以后，甲堆比乙堆少6個(gè)小球。

師：誰能說出解答過程？

生7：2（x-6）-[12-（x-6）]= 2[12-（x-6）]-6，解得x =12。

師：非常好！請(qǐng)同學(xué)們體會(huì)代數(shù)法的運(yùn)用策略：尋找未知量、表達(dá)未知量和建立等式。

【設(shè)計(jì)意圖】

在本教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師圍繞移動(dòng)小球的游戲活動(dòng)展開探究，設(shè)置兩個(gè)問題，由易到難，由簡單到復(fù)雜，在解決問題（1）時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)到算術(shù)法和代數(shù)法都是解決問題的基本方法。在解決問題（2）時(shí)，由于關(guān)系復(fù)雜，用算術(shù)法會(huì)遇到障礙，自然產(chǎn)生認(rèn)知沖突，體會(huì)到代數(shù)法的必要性，使得從算術(shù)到方程的過渡顯得非常自然。在表達(dá)復(fù)雜關(guān)系的量的時(shí)候，教師引導(dǎo)學(xué)生畫表格來幫助理清思路，在代數(shù)推理中加強(qiáng)了幾何直觀，在學(xué)生表達(dá)第一次移動(dòng)、第二次移動(dòng)、第三次移動(dòng)的小球數(shù)目過程中，自然地運(yùn)用到了代數(shù)推理，在潛移默化中培養(yǎng)了學(xué)生的代數(shù)思維。

三、課后閱讀，感受數(shù)學(xué)文化

師：請(qǐng)同學(xué)們課后閱讀有關(guān)材料，初步了解代數(shù)法發(fā)展、演變、進(jìn)步的過程，并認(rèn)識(shí)一些為數(shù)學(xué)癡迷、為數(shù)學(xué)發(fā)展和進(jìn)步作出巨大貢獻(xiàn)的偉大數(shù)學(xué)家們。

師：請(qǐng)同學(xué)們到網(wǎng)上搜索古代元朝時(shí)著名數(shù)學(xué)家朱世杰的故事，并搜集與本章相關(guān)的內(nèi)容與大家一起分享。

師：請(qǐng)同學(xué)們了解關(guān)于希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的故事，做一做丟番圖墓志銘上的數(shù)學(xué)題。

【設(shè)計(jì)意圖】

在本教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師讓學(xué)生搜索古代元朝時(shí)著名數(shù)學(xué)家朱世杰的故事以及希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的故事，滲透數(shù)學(xué)文化，落實(shí)立德樹人的目標(biāo)，有效地發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（作者單位：江西省教育廳教學(xué)教材研究室）