問題—建模—運用

摘?要：初中階段的數學知識覆蓋面廣，涉及代數方面的有理數、幾何方面的三角形相似和全等等知識。初中階段的綜合應用題在中考試卷中比重較大，教師設計試題時重點考查學生的綜合分析能力，通常聯系生活實際考查學生的數學思想、數形結合思想以及分類思想等。新課程改革到來之際，我國初中數學教師正在進一步探索高效率的數學綜合應用題教學方法。本文結合初中學生特點深入分析問題—建模—運用的綜合應用題思維教學模式，希望能夠將理論和實踐結合，化抽象為具體，為初中數學教學工作者帶來部分啟發。

關鍵詞：數學建模;綜合應用;數學思維;實際問題

初中數學教學應當追求標新立異，在實踐探索中提升學生的綜合應用能力，發散學生的數學思維，提升學生個人能力。初中的數學綜合應用題目強調理論知識和數學思維的結合，考查學生在數學核心素養下的分析能力和應用能力。初中數學教師應當采取科學的方法為學生提供專業的教學和指導，幫助學生深入理解初中數學知識，讓學生在課堂上獲得數學知識、提升個人能力并樹立正確的數學學習觀念，實現對學生的引導教學和思維滲透教育。

一、 數學建模概念及初中數學建模概述

數學建模是指建立合適的客觀數學模型實現對于問題的探索和本質規律的揭示。數學建模應用廣泛，初中階段的數學教學建模只是數學建模中的一小部分，學生在大學階段仍然需要利用數學建模的思想解決問題。數學建模方法能夠將抽象的數學問題進行簡化，依靠假設實現變量的引入，進而利用數學公式解決實際的問題。初中學生缺乏生活經驗，接觸實際綜合應用問題時沒有清晰的思路，對此，初中數學教師可以從自身的生活經驗入手，為學生逐層分析數學問題，設置疑問，引出數學題目，引入合適的數學模型，提升學生的數學模型應用能力，并創立合適情景鼓勵學生通過閱讀分析數學題目展開大膽的猜測和合理的推理，尋找合適的數學模型交流解決相關問題。

初中階段的數學建模強調生活實際的抽象，教師需要整合學生的生活經歷和學生的接受能力，為學生建立合適的數學模型，引發學生的深入探索。初中數學科目的綜合應用題目題干普遍比較長，學生需要在較長的提干中提取有效的信息，教師在指導學生建模過程中應當從題干入手，將學生引入合適的問題情景之中，通過設問幫助學生自主構建數學模型，培養學生實驗猜測和推理交流的數學學習能力。初中階段的數學建模重點圍繞各個數學變量和定量之間的數量關系和它們的變化規律以及圖形和數字的結合應用方法。采用問題—建模—應用的數學滲透教學模式可以幫助學生更加全面的認識生活中的數學問題，進一步了解社會進步和數學應用之間的雙向促進關系，實現三維教學目標，在提升學生學習能力、豐富學生知識面之外進一步激發學生對于數學科目的學習興趣。

二、 初中數學建模方法以及教學方法分析

初中的數學課程體系主要包括有理數與整式、幾何圖形、方程、概率與數據統計以及函數，其中幾何圖形和函數是初中數學的教學重點與難點，綜合應用題目也經常考查學生對于函數的構造以及生活中的數學函數應用。初中階段比較常見的數學建模方法主要有方程模型法、不等式構造模型法、目標函數模型構建法、統計模型構建法和幾何模型構建方法，接下來本文將會做出詳細介紹。

（一）目標函數模型構建法

在初中階段，目標函數的模型構造是在綜合應用題目中考查最為頻繁的一種建模方法。函數是初中數學的教學重點，學生不僅需要理解函數的概念，同時也需要掌握函數的構造方法，并且能夠理解一次函數和二次函數的圖形走勢，進而構造合適的函數解決實際生活中的問題。目標函數模型通常和最大利潤問題結合起來，考查學生的數學模型構建與分析能力。除此之外，學生在構造函數時還需要具備數形結合思想，例如初中常見的分析最大利潤問題，學生往往需要構造合適的二次函數，尋找函數的最高點，確定最大利潤和具體的工作方案，在解題過程中，學生需要畫出函數的草圖，分析函數性質，再利用函數表達式求出關鍵點。

這一類問題被稱為最優化分析，學生需要整合題干中的有效信息，提取數據，構造合適的函數，結合圖形或者是數學公式求出滿足題目中變量或定量范圍的函數的最大值或是最小值，得出最優方案。

（二）方程與不等式模型構建方法

初中階段，方程常常和未知數聯系起來對學生展開考查，而不等式強調對于范圍考查。方程模型的核心思想是方程的構建，這一點同樣適用于不等式，即不等式模型的核心思想是構造合適的不等式組或是不等式。生活中的各個數據之間的關系不全是等值關系，學生應當分析其中的數學關系，根據題目所給出的數據范圍構造合適的不等式。初中階段常見的綜合應用題目還會對學生的不等式構造和方程構造實現綜合性考查，多數情況下，學生需要構造出一元二次方程，并根據題目規定的數據范圍列出不等式排除方程的一個解，最終得到一個唯一解。總體來說，初中數學對于方程和不等式思想的考查主要集中在路程問題、分配問題以及生產方案的確定問題上，需要學生耐心分析數據準確定位。

（三）幾何圖形及三角函數模型構建方法

初中階段的幾何分析是學生學習的難點，初中數學綜合應用題在幾何方面的考查點主要集中在三角形相似和全等上。學生需要深入理解三角形相似和全等的概念和性質，能夠在題目給出的圖形中添加輔助線，找到相似三角形或全等三角形。除此之外，數學綜合分析類題目會涉及橋梁建筑等實際生活的知識，考查學生的模型構建和抽象幾何思維。初中階段，學生學習和“圓”相關的知識時，會考查學生對于三角函數的構造能力，學生需要靈活運用余弦和正弦的知識，結合圓的性質，解決問題。

（四）統計模型的構建方法

學生從小學階段就已經對統計知識有所接觸，但是初中階段的統計知識更為系統，同時會結合數據分析的思想，具有代表意義的章節是七年級下冊的《數據的收集、整理與描述》，學生需要展開統計調查，并學習直方圖的繪制，掌握抽樣方法的使用。教師指導學生構建數學統計模型時需要為學生講解直方圖、條形統計圖、折線統計圖等的繪制方法，并幫助學生理解中位數、極差、方差、標準差等數學量的概念，指導學生分組總結數據，做出預測分析。

除了以上四個模型之外，數學建模還有其他的方式，但是核心思想都是將生活中的實際問題進行抽象化，融入數學公式和定理，尋求問題的解決方案。教師在為學生講解模型構造的具體方法時也應當帶領學生積極探索，適當拓展數學知識，豐富學生的課堂體驗，激發學生的數學應用潛能。

三、 問題—建模—運用的數學教學思想在初中綜合應用分析題目教學課堂的滲透應用分析

教師在指導學生展開建模之前應當為學生設置合理的問題，逐步引入需要討論的問題。比如教師在針對“目標函數的構建模型”展開教學之前，應當讓學生思考和模型相關的實際問題實現對課程的導入講解，比如“大家在生活中購物的目的是否是用最少的錢獲得最多的商品”“如何分配才能實現金錢的合理使用呢”等等，引發學生對于最優化問題的思考。其次，教師可以利用多媒體設備為學生展示具體的題目，讓學生理清題目思路后指出自己的疑問以及題目的關鍵點和適用的模型，提高學生審題能力。

學生對于題目有了初步的認知以后教師可以指導學生綜合利用列表、繪圖以及關系分析，能放大實現對數學問題的抽象分析，把抽象的文字轉化為數學符號和數學語言，這是建立模型的過程。對于不同的問題，教師需要引導學生采用不同的抽象分析方法，例如教師針對七年級下冊的《數據的收集、整理與描述》展開綜合應用題目講解時應當引導學生繪制合適的統計圖，對數據進行分析和整理。而教師在針對七年級下冊的第九章節《不等式與不等式組》展開教學時應當引導學生提取題干信息，整理數學公式，實現數學建模。

合理建立數學模型以后，教師應當引導學生簡化應用問題，把題目中的文字信息轉化為數學語言并展開假設，平衡數學模型和實際問題之間的關系，解答數學題目。近幾年來，初中階段的數學綜合應用類題目都有所創新，有的題目會引入學生沒有接觸過的數學定理和概念，對此，教師應當在平時的教學中培養學生及時轉換數學符號，理解數學概念，將數學概念抽象為數學語言，實現對于新概念的認知。

僅僅依靠良好的開端還不足以讓學生完全掌握數學模型在應用類題目中的應用方法，教師還需要通過布置小組作業和學習任務實現對知識的鞏固和應用教學。學生建立模型解決數學問題后，教師應當對學生的題目解答做出評價，并為學生分配學習小組，指導學生按小組總結數學模型的構建方法，為學生布置同一類型的模型構建題目，提高學生的模型應用能力，實現高效率的教學鞏固。

四、 結語

數學思維和模型對于學生的數學學習具有重要意義。初中的數學教師應當合理歸納數學建模方法，設置疑問實現課程導入，培養學生通過建立合適的數學模型來解決實際應用類題目。數學模型構建方法多樣，教師應當結合學生的掌握情況為學生創設合適的問題情景，循循善誘，指導學生建立正確的數學模型，實現對實際問題的抽象和簡化，最終得出結果。初中的數學教學能夠啟發學生，鍛煉學生的理性思維，希望本文的建議能夠給初中建模教學工作者帶來一定啟發。

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作者簡介：劉新晴，甘肅省慶陽市，甘肅省慶陽市柔遠初中。