如何讓學生認識到微積分的重要性

李紅敏

[摘? ? ? ? ? ?要]? 從微積分在本科教學和中學數學中的應用展開研究，舉例說明微積分在這些學科中的重要性，從而讓學生認識到微積分的魅力，并對其產生興趣。

[關? ? 鍵? ?詞]? 經濟數學;微積分;數學分析;概率論和數理統計;高等代數;中學數學

[中圖分類號]? G645? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2020）14-0048-03

一、背景

微積分學，或者數學分析[1，2]，是人類思維的偉大成果之一。它不僅是高等院校數學學院的一門重要基礎課，是學習高等代數、微分方程、復變函數、實變函數以及概率論等課程的基礎，也是理科專業的一門重要的公共數學課，是學習線性代數、概率論和數理統計的基礎，被譽為“近代技術文明產生的關鍵事件之一”。[3，4]它引入了若干極其成功的，對以后許多數學的發展起決定性作用的思想。[5]微積分的產生革新了數學的概念、思想和方法，它的創立是教學發展的里程碑，為研究變量和函數提供了重要的方法和手段。

此外，微積分不僅在天文、力學、物理、化學、生物、經濟學、工程學等自然科學方面有廣泛應用，在社會科學中也有廣泛應用。可以說，微積分是這些學科的基礎，同時這些學科的發展也促進了微積分的廣泛應用和發展。微積分是高等院校理科專業學生大一的基礎課程，為后續課程的學習提供工具。微積分學習的好壞將直接影響其他課程的學習。

微積分是重要的，這是毋庸置疑的。遺憾的是，微積分的方法有時流于機械，不能體現出這門學科乃是一種撼人心靈的結晶。大部分學生只知道它是重要的，并沒有深刻地理解其重要性，甚至有的學生在談到微積分時緊皺眉頭，對其產生抵觸情緒，缺乏學習微積分的熱情。在我看來，這是因為學生對微積分應用的理解還只停留在現學知識上或者理論上，并沒有深刻理解微積分的思想，也沒有看到微積分在交叉學科和實際中的應用。

我們不僅要學習微積分課本上表面的知識，更要掌握它所體現的思想，例如，極限的思想、函數構造的思想、積分的思想等。這些思想隱含在課本中的定義、定理、命題及解題過程中。這就要求在學習微積分時要透過現象看本質，這樣才能深刻理解其中的奧妙。本文將以具體的例子說明微積分在中學數學、高等院校本科數學和公共數學方面的應用，使學生產生學習微積分的動力，并形成將其學好的信心。

二、微積分在數學本專業課程中的應用

大部分高等院校數學專業學生的基礎課程有高等代數[6]、常微分方程[7]、概率論與數理統計[8]等。微分方程是一種聯系著自變量、未知函數及它的導數（或微分）的關系式，且其中未知函數的導數和微分是不可缺少的。可見，微分方程是微積分的應用和拓展。因此，本文不再舉例說明微積分在常微分方程方面的應用。

選修課有實變函數[9]、復變函數[10]、數值分析[11]、近世代數[12]，而非數學專業學生要學的數學課程有經濟數學[13]、概率論與數理統計[14]、線性代數[15]。這些課程的基礎都是微積分。接下來，我們將從幾個方面著手研究微積分在這些課程中的應用。為了加深學生的理解，接下來以幾個例子加以說明。

（一）微積分在高等代數中的應用

高等代數是高等院校數學專業學生除數學分析外的另一門重要的基礎課，也是學生今后工作和研究必須掌握的內容。它和數學分析作為兩門重要的課程，相互滲透，相輔相成，缺一不可。其中一門課的發展必將帶動另一門課的研究熱潮。接下來，我們將給出實例說明微積分在高等代數中的應用。

在上述命題中，巧妙地利用微積分中的冪級數和反常積分，大大減輕了計算量，也便于學生理解，更可以讓學生認識到微積分的強大。

（二）微積分在概率論與數理統計中的應用

微積分和概率論是高等院校數學專業的兩門基礎課，前者在后者的學習中有著不可或缺的作用。概率論中的許多問題都可轉化為微積分問題。微積分中的集合、函數及微積分思想及計算方法在概率論中都有重要應用，我們以微積分應用為例說明。

在上題中，我們利用了微積分中的反常積分和反常二重積分計算隨機變量函數的期望。顯然，積分掌握得不牢固的話，解答上題是有難度的。微積分中的積分在概率論與數理統計中有很多應用，在此就不一一列舉了。

三、微積分在公共數學中的應用

高等院校的很多專業開設了公共數學，以華僑大學為例，工學院開設了高等數學[18]、經濟數學-微積分[13]、經濟數學-概率論與數理統計[14]、經濟數學-線性代數[15]等。前兩門課刪減了數學分析[1、2]中的一些內容，提煉出應用性較強的內容，并對其做簡要概述，供非數學專業學生學習;后一門課中的主要內容則需要學生掌握微積分，尤其是定積分和多重積分的計算;線性代數則抽取了高等代數中的主要內容。高等代數和微積分之間的關系在上面已經提過，因此線性代數與微積分的關系就不言而喻了。

四、微積分在中學數學中的應用

如今，越來越多的微積分理論在中學數學中應用，這不僅擴展了中學生的思維，也讓他們提前感受到微積分的內容和重要性，為他們以后學習微積分打下了基礎。下面將用微積分解決中學數學中重要的習題。

該題把待證明的方程看成某個函數的導數，再利用羅爾定理證明，既巧妙又簡潔。

綜上所述，我們可以看到微積分在本科教學和中學教學中的應用，有了這些實例，相信學生能夠更加深刻地認識到它的重要性，從而更好地學習微積分。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析（上冊）[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]華東師范大學數學系.數學分析（下冊）[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.

[3]邱森.微積分探究性課題精編[M].武漢：武漢大學出版社，2016.

[4]徐永琳，田巧玉，文艷艷.微積分探究性學習的理論與實踐研究[M].北京：中國水利水電出版社，2016.

[5]勒玉樂.探究教學論[M].重慶：西南師范大學出版社，2001.

[6]王萼芳，石生明.高等代數[M].4版.北京：高等教育出版社，2013.

[7]王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2005.

[8]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2008.

[9]周民強.實變函數論[M].北京：北京大學出版社，2016.

[10]西安交通大學高等數學教研室.復變函數[M].北京：高等教育出版社，1996.

[11]李慶揚，王能超，易大義.數值分析[M].北京：清華大學出版社，2008.

[12]楊子胥.近世代數[M].北京：高等教育出版社，2011.

[13]吳傳生.經濟數學-微積分[M].3版.北京：高等教育出版社，2015.

[14]吳傳生.經濟數學-概率論與數理統計[M].2版.北京：高等教育出版社，2009.

[15]吳傳生.經濟數學-線性代數[M].3版.北京：高等教育出版社，2015.

[16]王蓮花，鞠紅梅，李戰國.數學分析在高等代數中的某些應用[J].河南教育學院學報（自然科學版）.2008（3）.

[17]陳紅燕，鄧臻.微積分在概率論中的應用[J].科技資訊，2013（7）.

[18]同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[19]賢鋒.淺析微積分理論在中學數學中的簡單應用[J].引進與咨詢，2000（1）.

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