涉及兩個三角形的Napoleon定理及其自相似推論

陳都

[摘要]本文將Napoleon定理拓展推廣到涉及兩個三角形的情形，與著名的Neuberg-Pedoe不等式密切相關，從全新的視覺，對Napoleon定理進行了相似性嵌合推廣，并運用推廣后的Napoleon定理，探究了一類有趣的三角形自相似現象。

[關鍵詞]廣義Napoleon定理;相似性嵌合;自相似

Napoleon（1769-1821）不僅是19世紀法國著名的軍事家、政治家，而且還是法蘭西科學院院士，他在軍事和政治上的雄才大略，早已為世人公認，然而他對數學的濃厚興趣和精深造詣卻鮮為人知，即便是行軍打仗，他也會充分利用空閑時問來研究幾何問題，如“Napoleon三角形”就是其中典型一例。

Napoleon定理（1）以任意三角形的三邊為邊，向外作三個正三角形，則這三個正三角形的中心也構成正三角形——外Napoleon三角形：

（2）以任意三角形的三邊為邊，向內作三個正三角形，則這三個正三角形的中心也構成正三角形——內Napoleon三角形：

（3）外、內Napoleon三角形的面積之差，等于原三角形的面積。

上述定理是歐氏幾何中最奇異精彩的定理之一，它因簡明深邃的結論和靈活多樣的證法而引人人勝，是歐氏幾何的經典課題，百余年來，人們對它進行了廣泛而細致的研究，得到了許多深刻而優美的結論，如文[1]-[5]對Napoleon定理進行了卓有成效的引申、加強、推廣，類似的應用，取得了豐碩成果，本文擬將Napoleon定理推廣到兩個三角形中，并給出一類有趣的嵌合自相似推論。