一元二次方程應用題的教法探究

摘?要：一元二次方程在初中數學的內容中扮演著很重要的角色，是中考的必考點。實際教學中，教師在傳授一元二次方程重難點的基礎上以典型案例為學習的核心，教會學生學會做有關的應用題，在不斷地練習中總結出自己做題的一套思路和策略，以此來提高自己的數學水平以及實際應用能力。

關鍵詞：一元二次方程;策略;應用題

一、 背景

“一元二次方程”的內容按照國家要求的教學大綱是被安排在人教版九年級上冊第二章，接觸過本章內容后，各位老師的感受是雖然知識點看起來不難相對來說還算簡單，與之前學習的一元一次方程有一定的聯系，思維縝密，講解知識點的時候學生多數是可以理解的，但是當把該知識點帶入應用題中的時候，大部分學生表示很難，就像沒有學習過一樣。其實不僅僅是學生對于一元二次方程的內涵思想缺乏理解，很多老師的教學方法大多存在一定的問題，對知識內容的模糊認識;針對此類問題，本文針對開展“一元二次方程”深度教學研究的科研活動，目的在于幫助教師更加科學地分析該教學的知識，有效地提高對學生的教學，眾所周知有效的教學不僅對老師學生產生積極的影響，對于家長學校也是一種很好的倡導方式。

二、 教法研究

（一）概念及內容

1. 概念

方程中只含有一個未知數，并且未知數的最高次數為2的方程式。必須同時滿足這兩個條件的方程式才是一元二次方程。

2. 內容

（1）特點：①有且只有一個未知數;②該未知數最高次為2;③整式方程。

課堂上教師給出幾個方程形式，讓同學們判斷是否為一元二次方程，就根據上面的條件進行判斷。

（2）一般形式：ax2+bx+c=0

其中a，b，c均為常數，且a不可以等于0。

（3）一般解法：分為四種，分別為直接開方法、配方法、公式法、分解因式法。

（4）判斷一元二次方程根的方法

根據判斷式b2-4ac來判斷，當b2-4ac>0時，說明該方程有兩個不相同的實根，當b2-4ac=0時方程的兩個實根相等，這種情況下一般舍去其中一個，也就是說只有一個實數根。b2-4ac<0不存在實數根。

公元628年在印度的《婆羅摩修正體系》中，得到二次方程二次項系數為一個求根公式。在阿拉伯阿爾，花拉子米的《代數學》中討論到方程的解法，解出了一次、二次方程，二元一次方程是在一元一次方程的前提下，為了很好地解決一些實際問題所提出來的方程式，是模擬一個現實世界有效解決問題的數學模型，一般情況下，為了實現現實生活中所不能滿足的現象，科學家或者研究者們會采取一定的必要措施與現實相連接，其核心本質是符合要求的：包括方程基本思想、類比之前的定理思想、觀察模型與比較方法;理性的開發教師以及學生的能力，合理豐富學生形式的轉變來適應學習的條件，通過反思、比較、監督等手段在督查學生，積極地影響學生，使得同學們正確認識到本章知識在現實生活中所占據的重要地位，從而提高學習興趣。

難點：對于一元二次方程的內涵與表達，特別是當遇到題目比較長，題目形式比較少見的時候，心理活動就會很慌張，不知道從何下手，完全忘記模型的建立。

教師在上該節課之前就應該給學生們普及一下相關信息，一方面可以提高學生對于現實數學應用，另外一方面也可以提高學生學習的主動性。

（二）教學問題分析

認知理論：關于學習內容的內部加工的系列過程。比如說獲取信息資源等達到一定目的的心理學理論。該理論的核心代表人物為瑞士的皮亞杰，美國的布魯納和奧蘇泊爾。雖然彼此間還是存在著一定的差異，但是當我們取它其中關于學習的這一部分的時候還是有很多的共同之處，一是有機體學習的是知覺和認知的學習的形成和變化，變化是唯一不會改變的東西;二是學習的基礎是有機體內部存在的一定的有組織有邏輯的結構，其中主要影響學習的因素是刺激情緒，改變學習者學習當前的任務的標準、突然間得來的靈感或者理解，然后是有意義的取得發現并且接受這個現實，學習并不見得簡單，包括認知結構的特點，注意力，心向，所有由此可以看出認知理論對于解釋較高級的學習的狀態相對比較合適。

數學認知結構：學生按照自己對腦袋里面所擁有的數學知識深度的理解，結合自己的知覺、聯想、理解、特點等因素組成的一個自身內部的一個整體結構。現代研究科技人員告訴我們，學生學習數學的這個過程就是本身對于數學認知的認識過程，在這個過程中學生在教師的引導下，將課本知識轉變為自己大腦里面的知識，并保持大腦像一個容器一樣，當學生需要該知識的時候就從大腦里面取出來加以利用。由于個體之間本就存在著差異，所以每個學生對于知識的理解與掌握程度也會有所差異，表現在個體對于出現的問題的處理方式的不同，最直接的表示就是成績的顯示。比如大部分學生在聽教師上課的內容的時候他們是聽得懂的，但是當教師給同學們一個與剛才提醒相似，參數卻不同的時候有些學生很輕松就可以模仿教師解出答案，但是一部分“數學化”能力不強的學生卻需要一定的轉化，模式的切換，即需要翻看相類似題型然后多看多分析才能勉勉強強做出答案一樣。對于這部分學生，他們“抽象”思維比較弱，教師需要結合一元二次方程與上次課學習的一元一次方程對該部分學習踐行講解，并分類是說明，先求什么，再求什么，對其慢慢地引導，一步一步解出答案。

疑難點：找準未知數、根據題意列舉方程、方程的應用。

問題分析：對于應用題型，分析至關重要。近年來，考查一元二次方程的題型基本上可以歸納為幾個大類，即解決增長率問題、銷售等問題、求取面積等問題、數字采取問題、握手問題以及傳染問題。首先，當我們拿到題目的時候，看一下可以歸納到哪一類問題上，如果是屬于上面列舉的這幾類，那下一步就是先把需要用到的公式寫在題目的旁邊，接下來就是尋找未知量，一般情況下我們都是設未知量為x，接下來就逐個尋找公式里面的參數，這里需要提醒的是有些信息是被隱藏在題意里面的，同學們在做題的時候要細心尋找，找完參數以后基本上就解決了，接下來就是解方程。如果遇上的題目不屬于上面所說的幾大類，那也不要慌張，步驟與你的老師教會你的方法是一樣的，你可以先不靠其他的幫助分析分析然后嘗試著自己求取一下結果。

三、 教法指導方法

（一）方法

本文根據一元二次方程知識點，重難點提供了三種合適的教學方法，針對不同難度層次的題型采取不同的解決方案。

1. 聯系概念→提取一元二次方程特點→模擬概念→模擬特點→組織與應用

這種方法比較直接、簡單，但是也算符合認知理論的要求的，考慮到學生們才剛開始接觸一元二次方程這種相對于比較抽象的純數學化知識，教師應該具體問題具體分析，第一是學習概念，然后保證學生掌握了一元二次方程的特點以后給出常見的題型，然后將這個題模擬成為學習一元二次方程的形式，使得題型與概念合二為一然后找到題目下模擬出來的方程的具體特點，這樣將題目轉變為方程的形式雖然可能不適合全部學生，但是對于部分學生還是有幫助的。只是不適合學生接受多數題型的特點，這種方法只適合少數不太常見的問題。

2. 構建現實問題→建立模型→轉變一元二次方程的一般形式→解題

這種方法比較偏向于概括性，在學習了一元二次方程的概念以及相關內容以后，教師總結;然后直接給出實際的例子給學生慢慢摸索，留給學生一定的時間，時間結束后，教師帶著學生分析他們之前建立的模型，并根據模型學生可以很快地發現自己的錯誤的地方，在教師的講解下，學生可以很快地改正錯誤，那么接下來就是不斷地練習;這個方法就比較適宜，因為數學最關鍵就在于多練習，熟能生巧，考試的時候自然就可以做到下筆如有神一樣。這種方法適合用于大多數的題，有利于學習與長期使用。

3. 經典題型→建立模型→應用→思考模型中的概念→還原一元二次方程一般形式→總結

這種方法一開始的時候與第二種方法相似，不同的是不用做那么多的題，只是需要靠學生自己總結。當教師給定一個比較經典的例子給學生練習時，學生需要根據一元二次方程的內容解答出題目的答案，然后專注于該題目，總結出題目與知識點的聯系，然后將自己解答出來的答案對應題目提取出一元二次方程得一般表達式，因為在解決這一類得應用題的時候都是根據方程得一般表達式來解答的，教師很好地利用了驅動關系將問題與所需要學習的知識點聯系在一起，這個過程中即可以學習也在復習，關鍵在于還可以應用，真正地做到融會貫通，舉一反三，通過一個例子就可以把整章的知識都學了一遍。所以，在很多學校，這種方法是教師一直以來非常常用的教學方法，這樣可以間接地提高學生自主獨立思考的能力。

（二）案例結合分析

本文通過結合上面（一）中提到的幾大類型題目來教學。

第一類增長率問題，根據增長率公式建立數學模型，再具體分析模型，找到有關的參數帶入公式求取答案。第二類銷售等問題，銷售問題涉及時間問題，這種類型在題目中有些參數是隱藏的，所以需要注意，一般設未知數與找對應數字之間的關系即可。第三類求取面積問題根據建立的數學模型，采取構建三角形，再利用三角形的基本特征進行求解。最后的數字采取問題握手問題以及傳染問題同樣采取建立模型的方式，提取一元二次方程的一般形式來求解。

四、 反思與總結

如果說一元二次方程在初中數學中占有很重要的地位，那么教師高效地傳授知識給學生是讓學生繼承一元二次方程的必要途徑，所以教師教學扮演著不可替代的作用，明確有效的準備策略，提高學生對于一元二次方程的掌握程度是教師的重要功課，學習的過程中，不管是什么樣的知識點，都會有不會的學生，當然，學生本身也有責任跟義務學習好教師教的內容，一份優秀完美的學習計劃往往比得上上了多年來的教學經驗，所以，對于教師來說，課后做好充分的教學準備同樣很重要。

參考文獻：

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[4]解思傳.也談一元二次方程應用題的解題策略[J].中學數學教學參考，2019（21）：7-9.

[5]吳世煦.一元二次方程的應用題的討論[J].數學通報，1962（3）：21-22+13.

作者簡介：

仲國梁，甘肅省臨夏回族自治州，甘肅省臨夏州和政縣第五中學。