計數原理與概率復習備考專題透視

周冬梅 尹承利

計數原理與概率是高中數學的重要內容，也是歷年高考命題的重點和熱點，這部分內容通常以實際應用問題為背景，考查數據分析、數學建模、數學抽象及數學運算等核心素養，也是培養學生從“解題”到“解決問題”能力的良好載體，本文試圖從5個視角進行全方位透視，供教師指導學生復習備考時參考。

1命題趨勢

1.1高考對計數原理的考查主要有兩個方面：

（1）以選擇、填空題為主，重在考查利用計數原理、排列組合知識解決實際問題的邏輯思維能力，并結合排列、組合數及概率的求法形成能力型題目。

（2）以選擇、填空題形式考查二項展開式的特定項、二項展開式中項的系數及二項式系數、賦值法等并延伸一些計算、證明等問題，如二項式定理與不等式證明結合、楊輝三角的研究等，題目難度不大但具有一定的靈活性，考查方程思想、等價轉化思想的應用。

1.2概率與實際問題的聯系非常密切，是歷年高考的一大考點，高考對這部分內容的考查形式與特點主要是：

（1）以選擇、填空題的形式主要考查分布列的性質及應用、古典概型、幾何概型、互斥事件的概率、條件概率、相互獨立事件、獨立重復試驗概率的計算及正態分布。

（2）解答題中以應用問題的面目考查概率的計算，進而利用概率得到離散型隨機變量及其分布列以及求均值和方差，這是高考命題的重點，幾乎每份試卷中都有一道這樣的題目，并常與函數、方程、不等式、數列、解析幾何、立體幾何等知識交匯，以考查分析和解決問題的能力。

（3）把高考內容與國家經濟社會發展、科學技術進步、生產生活緊密結合，通過設置真實問題情境考查學生靈活運用所學知識分析、解決實際問題的能力，引導學生從“解題”走向“解決問題”，是高考命題的一大趨勢，概率應用問題承載著這一重要“使命”，且難度有增加的趨勢，在高考命題中，概率應用題部分還將數據準備階段的步驟減少，給考生呈現比較規范的數據格式或數據的回歸模型，采取“重心后移”的策略，把考查的重點后移到對數據的分析、理解、找規律，減少復雜的運算，突出對數學思想方法的理解和運用能力的考查。

2方法規律

2.1計數原理

（1）對于一些復雜的計數問題，常借助列表、畫圖的方法來幫助分析。

（2）解排列組合應用問題有如下策略和方法：

對于無限制條件的問題——直接法：

對于有限制條件的問題：直接法、簡介法

具體主要有以下題型和方法：

①優先排列問題：當排列中有特殊元素或特殊位置時，采用“優先安排”的策略，以元素為主時，先滿足特殊元素的要求：以位置為主時，先滿足特殊位置的要求。

②相鄰排列計算問題：對于含有某幾個元素相鄰的排列問題，可先將相鄰元素“捆綁”起來視為一個元素，與其他元素一起進行全排列，然后再對相鄰元素內部進行全排列，這就是處理相鄰問題的“捆綁法”。

③互不相鄰排列計算問題：對于含有某幾個元素互不相鄰的排列問題，可先將其他元素排成一排，然后將不相鄰的元素插入到這些排好元素之間及兩端的空隙中，這就是解決互不相鄰問題的最為奏效的“插空法”。

④排列、組合混合計算問題：對于排列、組合混合應用問題，常采用“先取后排”的策略求解。

⑤分組分配問題：無次序分組問題常有“均勻分組、部分均勻分組、非均勻分組”三種類型，計數時常用下面結論：對于其中的“均勻分組”和“部分均勻分組”問題，只需按“非均勻分組”列式后，再除以均勻分組數的全排列數。

（3）解決二項式有關問題的方法有：

①求二項展開式中的特定項，一般用通項公式、待定系數法。

②求解二項展開式系數和等問題，一般用賦值法。

③證明某些組合恒等式（或求和問題）常用構造法，構造一個生成相應二項式系數的函數或構造同一問題的不同解法，通過研究函數關系或變更命題來解決。

④證明不等式，通過二項式展開，根據命題形式對展開式中的若干項進行放縮。

⑤證明整除問題或求余數，應先構造二項式后再展開研究。

2.2概率

（1）計算概率的常用方法：

①直接法：利用等可能事件的概率公式，

②問接法：在求解“至少”、“至多”等事件的概率問題時，若直接求解比較困難時，可以通過求這些事件的對立事件的概率來求解。

③方程思想：當問題給出的是隨機事件概率之間的關系時，可將概率看作未知數建立方程（組）求解。

④分類求解：當概率問題中出現多種不同的情形時，可對所求概率的不同情形進行分類，最后由互斥事件概率和的公式求得結果。

（2）求隨機變量概率分布列、均值及方差的方法：

①對于一般的分布，根據定義求離散型隨機變量的均值和方差，其步驟是：1^o確定離散型隨機變量的取值;2^o寫出分布列，并檢查分布列正確與否;3^o求出均值與方差，

②若隨機變量服從特殊的分布，如兩點分布、二項分布，如果經過分析，題中的隨機變量服從以上分布，那么我們只需直接代入公式求其均值、方差即可。

（3）對于正態分布問題，一般是數形結合，利用正態曲線的性質（尤其是對稱性）來求解。

3考點剖析

3.1計數原理與排列、組合

由于計數原理與排列、組合的應用性概念強、并充滿思辨性和解法多樣性，易于考查考生的能力，所以以實際應用為背景考查兩個原理、排列、組合或它們的綜合題，是高考命題的重點，主要以選擇、填空題的形式出現，也可與概率結合出現在解答題中。

例1某校暑假舉行“義教活動”，現從6名老師中選派4人分別參加8月9日至8月12日四天的義教值班，若其中甲、乙兩名老師不能參加8月12日的值班，則選派方案共有（）種。

A，336 B，408 C，264 D，240

解析由題意知甲、乙兩名老師不能參加8月12日的值班，可以分不選甲乙，同時選甲乙，或選甲乙中的一個。

第一類：不選甲乙時，有A⁴4=24種;

第二類：同時選甲乙時，甲乙只能從其余三天選兩天，剩下的2天再從剩下的4人選2人即可，有A3²A4²=72種;

第三類，選甲乙中的一個時，甲或乙只能從其余三天選1天，剩下的3天再從剩下的4人選3人即可，有2A3¹A4³=144種，

根據分類計數原理得，24+72+144=240.所以D選項是正確的。

一題多解：先排12號，有4種選擇，前三天從5位老師中任選3人排列即可得C4¹A5³=4×5×4×3=240.

點評本題考查兩個原理與排列組合的綜合應用，考查邏輯推理、運算能力等數學素養，考查抽象概括能力、運算求解能力。

例2將2020年師大畢業的5名大學生安排到某中學高一的1、2、3班實習，每個班至少安排1名大學生，其中甲大學生不能安排到l班，則不同的安排方案種數是（）。

A7R R100 C112 D120

點評本題考查計數原理與排列、組合的實際應用，考查數據處理能力、邏輯推理能力和數學運算能力，考查應用意識。

分組問題有完全非均勻分組、完全均勻分組和部分均勻分組三種，完全非均勻分組無需考慮有重復現象，利用組合知識分步求解，完全均勻分組，每組的元素個數都相等，部分均勻分組，部分組的元素個數相等，對于均勻分組（包括完全均勻分組和部分均勻分組）問題，求解時應注意不要出現重復，一般地，n個不同元素分成m組，若每組內元素個數相等的有k組，那么分組方法數為：取法數除以Ak^k

3.2二項式定理

二項式定理基本上是每年必考內容，但屬于容易題，主要以選擇、填空題形式考查展開式、通項公式、二項式系數（或項系數）、賦值法、楊輝三角的應用與研究等方面，同時關注二項式定理與不等式證明結合、楊輝三角的研究等。

點評本題考查二項式定理求展開式特定項的系數知識，涉及二項式所有項的系數和問題，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1。

3.3概率初步

點評

本題結合組合數公式考查了列舉法在求解古典概型概率中的應用，并體現了概率與集合、橢圓方程的交匯應用，

3.4條件概率、相互獨立事件的概率和獨立重復試驗的概率

條件概率、相互獨立事件、獨立重復試驗概率是高考考查的熱點內容，在選擇、填空題主要考查概率的計算，在解答題中重點考查相互獨立事件及獨立重復試驗概率的實際應用，條件概率會在選擇題或滲透在解答題的一問中考查，

例6甲、乙兩人做游戲，甲勝一次的概率為0.75.甲連續勝兩次的概率為0.6.已知第一次甲勝，則第二次甲也勝的概率為（ ）。

A0.8 B0.75 C0.6 D0.45

點評

求事件積的概率必須注意事件的獨立性，運用公式P（AB）=P（A）·P（B）時，一定注意只有當A、B相互獨立時，公式才成立，

3.5隨機變量的分布列、均值和方差

隨機變量的分布列、均值和方差與實際問題的聯系非常密切，是古典概率的重要應用，也是歷年高考的重要考點，有關隨機事件概率的計算是基礎，而求隨機變量的均值和方差，關鍵是確定其分布列，尤其是超幾何分布、二項分布是考查的重點，

例8

某校高三年級共有1000名學生，將其按專業發展取向分成普理、普文、藝體三類，下圖是這三類的人數比例示意圖，為開展某項調查，采用分層抽樣的方法從這1000名學生中抽取一個容量為10的樣本。

（I）試求出樣本中各個不同專業取向的人數;

（Ⅱ）在樣本中隨機抽取3人，并用ζ表示這3人中專業取向為藝體的人數，試求隨機變量ζ的分布列，

解析（I）由題意，可得該校普理生、普文生、藝體生的人數比例為2：2：1.所以10人的樣本中普理生、普文生、藝體生的人數分別為4.4.2.

4易錯警示

4.1計數原理

（1）在求解排列、組合實際應用問題時，若不注意區分是否與與順序有關，則容易犯排列、組合混淆的錯誤。

（2）在求解排列、組合混合應用題時，若審題分析不到位，容易出現重復或遺漏的錯誤情形，在解題時應當注意避免，可用不同的方法求解來獲得檢驗，

（3）二項式定理中含有比較多容易混淆的概念：二項式系數與系數、二項式系數最大與系數最大、項與項數、奇數項與奇次項、偶數項與偶次項等，以及二項展開式中一些相關的概念，往往容易出現概念混淆，要理解清楚。

4.2概率

（1）計算概率常出現的錯誤有：①混淆基本概念，比如混淆互斥事件與相互獨立事件、用混其概率公式，弄不清相互獨立事件和獨立重復試驗之問的關系，弄錯條件概率公式和相互獨立事件概率公式的轉化關系等：②用錯排列、組合公式導致計算概率出錯：③弄混“有放回”與“無放回”。

5備考建議

5.1對計數原理考查和掌握的重點是基本知識和基本方法，在復習中首先要根據課本要求，立足基礎知識與基本方法的復習與落實，通過對典型例題的剖析，構建思維模式，總結解題規律，進而提高分析問題和解決問題的能力。

5.2概率（隨機變量及其分布）從內容到方法都是較為獨特的，復習時，應重視對基礎知識的理解和掌握，注意理解變量的多樣性：要弄清一些基本概念，充分注意一些概念的實際意義：要把握基本題型，如條件概率、相互獨立事件的概率、獨立重復試驗的概率，求離散型隨機變量分布列、均值、方差，正態分布等，并注意解題步驟規范性的訓練，特別是概率及隨機變量應用題的分析和解答：要理解和運用處理問題的基本思想方法，如數學建模思想、整體思想，以不斷提升處理問題的能力。