源于課本　追本溯源　變本加“利”

劉興月

【摘要】文章從2019年全國(guó)高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷試題出發(fā)，追溯高考數(shù)學(xué)試題源于課本之“源”，探究高于課本之“高”，闡述高考數(shù)學(xué)試題源于課本而又高于課本的命題原則，堅(jiān)定高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考要“緊扣考綱、立足課本”的道路自信;引導(dǎo)教師和學(xué)生集中精力踏踏實(shí)實(shí)研究教科書，做名副其實(shí)的“教書匠”和“讀書郎”。

【關(guān)鍵詞】源于;高于;追溯;課本

眾所周知，在現(xiàn)行的高中教學(xué)中，普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)是制定普通高考考試大綱和指導(dǎo)教科書編寫及教學(xué)實(shí)施的指導(dǎo)性標(biāo)準(zhǔn)。其中，考試大綱是高考命題的依據(jù)，高考試題源于課本，教科書是高考命題的材料源。

然而，在實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)中，或者拋棄教材，或者輕視教材，或者照本宣科等做法比比皆是。

如何在數(shù)學(xué)教學(xué)及高考復(fù)習(xí)中，堅(jiān)持“立足課本、回歸教材、追本溯源”的教學(xué)理念和復(fù)習(xí)方法，我們需要認(rèn)真研究。

一、以本為本，源于課本

所謂“源”，即源頭、來(lái)源，一般指水流發(fā)源的地方，引申為起始之地。

高考試題源于教科書，是指高考試題的源頭在教科書中，是指高考試題由教科書中的例題、練習(xí)題、復(fù)習(xí)題經(jīng)過(guò)組合、改造和創(chuàng)新而來(lái)，兩者具有相同的“DNA”，而不是簡(jiǎn)單地把教科書中的例題、練習(xí)題、復(fù)習(xí)題原封不動(dòng)地拿來(lái)做高考試題。一道數(shù)學(xué)題，總是有明確的試題背景，已知條件和求解目標(biāo)，考查內(nèi)容及對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想方法的考查要求。

高考試題與教科書中的習(xí)題之間如果有相同的考查內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想方法的考查要求，那么就可以說(shuō)它們具有相同的“DNA”。也就是說(shuō)，高考試題源于教科書。

【例1】（教科書必修（5）103頁(yè)復(fù)習(xí)參考題A組第2題）

已知集合，，求.

【例1-1】（2019年全國(guó)Ⅰ卷理科第1題）

已知集合，，則（? ? ?）

A.? B.? C.? D.

【例1-2】（2019年全國(guó)Ⅱ卷理科第1題）

設(shè)集合，，則? （? ? ? ? ）

A.? ? ? ? ? ?B.? ? ? ? ? C.? ? ? ? ? ?D.

【例1-3】（2019年全國(guó)Ⅲ卷文科第1題、理科第1題）

已知集合，，則（? ? ? ）

A.? ? ? ?B.? ? ? ? ? ? C.? ? ? ? ? ? D.

教科書上的復(fù)習(xí)題與2019年全國(guó)卷中的試題比較，它們都是以考查集合的運(yùn)算為背景，有著相同的求解目標(biāo)，突出考查一元二次不等式的解法、集合的交集運(yùn)算，重點(diǎn)考查運(yùn)算求解能力和化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法;不同之處是已知條件中表示集合的不等式不同，試題的題型不同。

不等式的解集與集合的運(yùn)算，內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系就是集合，所以考查集合運(yùn)算的試題往往由教科書必修（1）第一章集合與函數(shù)概念與必修（5）第三章不等式的習(xí)題組合而成。

【啟示一】數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系才是高考試題源于教科之“源”。所以，回歸課本要追本溯源，要挖掘各部分知識(shí)在各自發(fā)展過(guò)程中的縱向聯(lián)系以及各部分知識(shí)之間的橫向聯(lián)系。

幾道試題，如果它們有著共同的考查內(nèi)容和要求，那就稱它們具有相同的根和源。

二、高于課本，追本溯源

高考試題不是簡(jiǎn)單地照抄教科書上的習(xí)題，而是以教科書上習(xí)題的考查內(nèi)容與要求為源，按照“出活題、考基礎(chǔ)、考能力”的命題原則，對(duì)教科書上習(xí)題的背景、已知條件及求解結(jié)果進(jìn)行組合、改造、創(chuàng)新而成。

【例2】（2019年全國(guó)Ⅲ卷文科第15題、理科第15題）

設(shè)、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限，若△為等腰三角形，則的坐標(biāo)為? ? ? ? ?.

我們通過(guò)對(duì)該試題的解答來(lái)進(jìn)行【考點(diǎn)透析】。

【考點(diǎn)透析】

設(shè)位于第一象限的點(diǎn)………（考查數(shù)形結(jié)合的思想方法）

由已知及橢圓性質(zhì)得：，，………（考查橢圓的幾何性質(zhì)）

由，故…………（考查運(yùn)算求解能力）

又，，故……（考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)）

又△為等腰三角形，根據(jù)對(duì)稱性，△的兩腰只能為和，所以…（考查邏輯推理能力）

所以……………（考查函數(shù)與方程的思想方法）

解得（舍去），（舍去）

所以的坐標(biāo)為……………（考查運(yùn)算求解能力）

從考點(diǎn)透析可看出該試題對(duì)知識(shí)、能力和思想的考查要求是：

1.考查的知識(shí)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì);

2.考查的能力：邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力;

3.考查的思想方法：函數(shù)與方程及數(shù)形結(jié)合的思想方法。

再看該試題的解題思路與策略：

引入點(diǎn)的坐標(biāo)…………………………………以坐標(biāo)為橋梁

以性質(zhì)為基礎(chǔ)，將形轉(zhuǎn)化為數(shù)………………構(gòu)建方程（一）

以圖形的幾何性質(zhì)定形，將形轉(zhuǎn)化為數(shù)……構(gòu)建方程（二）

將共有的幾何形轉(zhuǎn)化為數(shù)………………………構(gòu)建方程組

用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題…………………………解方程組

求得方程組的解………………………數(shù)形結(jié)合回答問(wèn)題

因此，以坐標(biāo)為橋梁 將形轉(zhuǎn)化為數(shù)構(gòu)建曲線方程? ? ? 解方程或方程組。用代數(shù)方法通過(guò)研究方程解決幾何圖形的問(wèn)題，這種數(shù)形結(jié)合相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程就是此試題的解題思想和策略。

【例2-1】（教科書選修2-1第49頁(yè)復(fù)習(xí)參考題中的A組第6題）

已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)及焦點(diǎn)、為頂點(diǎn)的三角形面積等于1，求點(diǎn)的坐標(biāo).

試題背景：橢圓.

已知條件：

1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2.動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡;

3.動(dòng)點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成;

4.△的面積為1.

求解目標(biāo)：點(diǎn)P的坐標(biāo).

比較例2與例2-1不難發(fā)現(xiàn)，兩試題的試題背景（橢圓）及考查內(nèi)容及要求不變，相同之處即源于教科書之“源”，不同之處在于對(duì)“源”材料進(jìn)行了如下加工改造：

1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2.表示動(dòng)點(diǎn)的字母由變?yōu)?

3.動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡及范圍，在橢圓上運(yùn)動(dòng)，在上但限于第一象限;

4.橢圓上的動(dòng)點(diǎn)與橢圓的兩焦點(diǎn)構(gòu)成三角形的性質(zhì)及大小：一個(gè)是等腰三角形，一個(gè)的面積為1;

5.改換題型，一個(gè)是填空題，一個(gè)是解答題。

不同之處才是源于課本而又高于課本之“高”。而無(wú)論怎樣加工改造，同根同源的試題都有著相同的解題思路與策略，這就是多題一解的根本原因。

【啟示二】高考試題雖然高于課本，但它畢竟源于課本，萬(wàn)變不離其宗。我們只要立足課本，牢牢抓住課本習(xí)題的考查內(nèi)容及要求，熟練應(yīng)用“源”習(xí)題的解題思路與策略，就能夠舉一反三，靈活解答試題。

三、立足課本，變本加“利”

認(rèn)識(shí)世界的目的是為了更好地改造世界。我們需要的不僅是認(rèn)識(shí)到高考試題源于課本而又高于課本，還要學(xué)會(huì)登“高”。

在保持試題“DNA”不變的情況下，命題者出了以下試題。

【例2-2】（2019年全國(guó)Ⅲ卷文科第10題）

已知是雙曲線上的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（? ? ? ）

A. ? ? ? ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? ? ?C. ? ? ?D.

【例2-3】（2019年全國(guó)Ⅲ卷理科第10題）

雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在的一條漸近線上，為坐標(biāo)原點(diǎn).若，則△的面積為（? ? ? ）

A. B. ? ? ? ? ? ? C.? ? ? ? ? ? ? D.

比較它們的差異，就可以看出命題者是怎樣“改造世界”的。

1.改變?cè)囶}背景。例2-2及例2-3都將試題背景由橢圓變?yōu)殡p曲線，但都是圓錐曲線，可謂異曲同工。

2.改變動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。例2-2中的動(dòng)點(diǎn)在雙曲線上;例2-3中的動(dòng)點(diǎn)在雙曲線的一條漸近線上。

3.變已知條件為求解目標(biāo)。“源”中例2-1的△的面積為1是已知條件，而高于“源”的高考試題例2-2及例2-3的求解目標(biāo)是△的面積。

4.改變?nèi)切稳齻€(gè)頂點(diǎn)的位置，組成不同的三角形。“源”中例2-1的動(dòng)點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成三角形△;而高于“源”的高考試題例2-2及例2-3的三角形是由動(dòng)點(diǎn)、雙曲線的右焦點(diǎn)及坐標(biāo)原點(diǎn)組成。

5.改變?nèi)切涡再|(zhì)的表達(dá)方式。“源”中例2-1的△是等腰三角形，而高于“源”的高考試題例2-2及例2-3的三角形，雖然表達(dá)方式變成PO|—|PF|，其實(shí)仍然是等腰三角形。

【啟示三】高考命題始終堅(jiān)持“穩(wěn)中求變，變中求新”的命題理念，“穩(wěn)”即穩(wěn)在試題的源頭教科書，“變”則是永恒的，但萬(wàn)變不離其宗。所以，以本為本，回歸課本，必須扎扎實(shí)實(shí)深入研究教科書，充分發(fā)揮教科書的多種效應(yīng)。

【探究】

1.如果把試題背景改為拋物線：拋物線，焦點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為.

2.動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng).

3.則動(dòng)點(diǎn)、焦點(diǎn)、坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)成△（或構(gòu)造其他三角形）.

4.再對(duì)△的特點(diǎn)做不同設(shè)計(jì)：如等腰、等邊或直角三角形，或給定△的面積，或求△面積的最大值.

5.按4的不同設(shè)計(jì)，求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo).

6.對(duì)上述中的與兩個(gè)參數(shù)，又可給定其中一個(gè)求另外一個(gè).

如果讓學(xué)生動(dòng)手參與探究，并且提出問(wèn)題：

1.動(dòng)點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上運(yùn)動(dòng)呢？

2.動(dòng)點(diǎn)還可以和哪兩個(gè)點(diǎn)組成三角形？

3.動(dòng)點(diǎn)能不能和哪些點(diǎn)組成四邊形？

充分調(diào)動(dòng)并發(fā)揮學(xué)生的想象，就會(huì)創(chuàng)造出不同的試題。

【啟示四】教科書是課程標(biāo)準(zhǔn)的具體體現(xiàn)，是學(xué)生獲取書本知識(shí)的主渠道，是教師實(shí)施教學(xué)的基石，是師生間進(jìn)行建設(shè)性對(duì)話的文本和材料，是高考命題取之不盡、用之不竭的源泉。

要挖掘各部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)在各自發(fā)展中的縱向聯(lián)系和知識(shí)之間的橫向聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)分類、梳理、綜合， 講清、講透、講活數(shù)學(xué)基本知識(shí)、基本技能和基本的思想方法。

要注重對(duì)教材中的重要例題和習(xí)題所反映的相關(guān)數(shù)學(xué)理論本質(zhì)屬性的研究，從中提煉出所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)重要思維方法和思想精髓，并對(duì)這類數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行類比、延伸、遷移和拓展，從而更加有效地鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

教育部考試中心.2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱正式公布：理科數(shù)學(xué)[EB/OL].（2019-01-31）.http：//gaokao.eol.cn/gkdg/jiedu/201901/t20190131_1643892.shtml.