HPM視角下的類比推理教學

紀妍琳

【摘 要】類比推理是培養學生邏輯推理素養過程中不可忽視的內容。然而，類比推理教學的成功案例并不多見，恰當的類比推理教學模式也有待建立。研究者對有關類比推理的數學史料進行梳理，并以PM視角下的“立體幾何中的類比推理”高三復習課的若干教學片段進行再現與分析，促進學生對數學活動本質的認識，提高學生學習數學的自信心。

【關鍵詞】HPM;類比推理;立體幾何

一、引言

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《課標》）提出，邏輯推理素養主要表現為掌握推理基本形式和規則，發現問題和提出命題，探索和表達論證過程，理解命題體系，有邏輯地表達與交流[1]。邏輯推理包括從特殊到一般的歸納、類比和從一般到特殊的演繹推理。得到數學命題主要依賴于歸納和類比，證明數學命題主要依賴于演繹[2]?！墩n標》第一次明確了歸納推理、類比推理與演繹推理一樣，都是有邏輯的思維形式[3]。因此，類比推理是培養學生邏輯推理素養過程中不可忽視的內容。然而，類比推理教學的成功案例并不多見，恰當的類比推理教學模式也有待建立[4]。盡管PM專業學習共同體已陸續開發了一系列課例，但這些課例大多屬于新授課，在復習課尤其是高三復習課并不多見。眾所周知，高三復習課注重知識綜合和解題思想方法，注重培養學生分析問題和解決問題的能力。針對高三復習課的特點，要開發較為理想的高三數學課例，將歷史上數學家的思想方法融入教學，可能是一條可行的途徑。

為此，筆者對有關類比推理的數學史料進行梳理，從中提煉類比推理的特點，選取合適的素材，在高三復習課中實施類比推理的教學。

二、類比推理的數學史料研究及其應用

（一）類比推理的數學史料研究

1.基于類比推理的數學發現

在數學歷史上，類比推理是數學家獲得數學發現的重要途徑。古希臘數學家阿基米德（Archimedes）在《論方法》中寫道：“……由圓面積等于以它的周長為底，以它的半徑為高的三角形面積這一事實進行推斷，我認識到同樣應有，球體積等于以球的表面積為底、半徑為高的圓錐的體積?！卑⒒椎峦ㄟ^類比推理，由圓面積與其周長的關系，類比得到球體積與其表面積的關系。因為球的體積公式為

（二）類比推理數學史料的應用

類比推理的相關史料揭示了類比推理創造性、或然性和結論的多樣性的特點。阿基米德、牛頓、歐拉等通過類比做出重要發現，體現了類比推理的創造性;阿耶波多、婆羅摩笈多、斐波那契等運用類比推理得出錯誤結果，體現了類比所得到結論的或然性;波利亞類比勾股定理和海倫公式，得出多個不同命題，說明類比推理的方向具有多樣性，類比推理的結果并不是唯一的。

歷史上數學家進行類比推理時，常涉及圓與球、橢圓與圓、三角形與四面體、有限與無限等數學對象，說明這些對象具有較多的相似性，具備進行類比推理的條件。

以史為鑒，教師可以針對類比推理的特點，選擇合適的數學對象進行類比推理教學。

三、教學設計與實施.

根據類比推理的特點，上海市某高三數學教師A嘗試以“立體幾何中的類比推理”為主題，設計PM視角下的高三立體幾何復習課。教師A將阿基米德類比推理得到球表面積公式、阿耶波多運用類比推理得到錯誤的四面體體積公式等數學史料融入球體積公式和四面體體積公式的復習中，揭示類比推理的創造性與或然性，并引導學生嘗試將勾股定理類比到立體幾何中，在探究中揭示類比推理方向的多樣性。下文將對HPM視角下的“立體幾何中的類比推理”高三復習課的若干教學片段進行再現與分析。

（一）從圓面積到球體積.

圓與球是一對具有相似性的數學對象，適合作為類比推理教學的研究內容。教師A考慮到滬教版教科書中球表面積公式和球體積公式的編排順序與歷史順序不同，且教科書不加證明地直接給出球的表面積和體積公式，導致學生只知其然，而不知其所以然。于是教師A將阿基米德類比得到球表面積公式這一史料，重構式地融入球體積公式的復習中，讓學生在探究球的體積公式的過程中初步認識類比推理。

師：我們之前已經學習了球體積公式。但是，教科書直接給出了公式，并沒有告訴我們它是怎么得到的，許多同學對此感到很困惑。所以，我們今天要來嘗試推導球的體積公式，加深對這個公式的理解。圓和球是非常相似的幾何圖形，同學們不妨回顧一下圓的面積公式的推導方法，看看能否找到推導球體積公式的思路。

生：過圓心進行均勻分割，當切割的份數足夠多時，我們可以將切割得到的小扇形近似看成三角形，將小三角形拼合成四邊形，就可以得到圓的面積公式

師：對的，在初中時，我們就是通過切割法推導圓的面積公式的（如圖2）。在推導過程中，我們得到也就是說，圓的面積等于以其周長為底邊、以其半徑為高的三角形的面積。那么，能否類比圓的面積公式的推導方法推導球的體積公式呢？

生：球可以由圓繞著直徑旋轉得到，我們可以對圓的面積與球的體積、圓的周長和球的表面積、三角形面積和圓錐體積進行類比。可通過類比得到球的體積等于底面面積為球的表面積、高為球半徑的圓錐的體積，即

師：非常好，同學們用類比推理得到的結論和古希臘數學家阿基米德所得出的結論完全一樣。另外，德國數學家開普勒也是由球的表面積公式推導出球的體積公式的，他所用的方法也是切割法。同學們思考一下，如何以切割球體來推導球的體積公式呢？

生：推導圓面積公式時，過圓心將圓切割成了無數個小扇形，那么切割球的時候，過球心進行切割，也可以切割成無數個小的部分。

師：非常好，過球心切割球體（如圖3），我們可以給切割得到的這些小的部分起名為“球面小錐體”，那么我們需要通過“球面小錐體”的體積來求球的體積。“球面小錐體”的體積怎么表示呢？

師：類似的問題，我們在切割圓得到小扇形的時候，是怎么處理的呢？

生：將圓切割成無數個小扇形，那么扇形的弧就近似于直線段。那么，將球切割成無數多個小的“球面小錐體”，曲面就近似于平面上的四邊形，“球面小錐體”的體積就近似于四棱錐的體積。

師：非常好，我們將球體積看成是無窮個小棱錐的體積之和，這些棱錐的頂點在球心，底在球面上，這正是開普勒所用的方法。那么，要求小錐體體積，它的高是多少？

生：高是球心到球面的距離，是球的半徑。

師：那底面面積怎么求？

生：我們要求的是所有“球面小錐體”的體積之和，它們高相等，底面積之和為球的表面積，所以體積之和為

師：非常好，同學們的思路就是當年開普勒的思路。但是，由于我們沒有學習過微積分，有些表述還不夠嚴謹，今后同學們可以再進行完善。開普勒正是用這樣的方法，由球的表面積公式推導出球的體積公式。但是，在歷史上，球的體積公式的發現是早于球的表面積公式的，有許多數學家用不同的方法推導球的體積公式，我們一起通過微視頻回顧一下歷史上有哪些精彩的方法吧。（播放微視頻）.

在球的體積公式的復習中，教師A基于學生初中所學的有關圓面積公式推導的知識，重構式地融入史料，基本上實現了知識的歷史序、邏輯序和學生心理序的統一。微視頻拓寬了學生的學習視野。在這個過程中，學生通過類比推理得到關于球體積公式的猜想，既加深了對球體積公式的理解，又獲得了對類比推理創造性的認識。

（二）從勾股定理到“立體幾何中的勾股定理”

由波利亞對勾股定理和海倫公式的多種類比可見，當從不同的角度認識類比對象時，從同一事物出發往往可以做出不同的類比。教師A將《數學的發現》中的內容作為類比推理教學的素材，選擇其中的“類比勾股定理，給出空間中相似的一個定理” 作為“立體幾何中的類比推理”一課中的探究性問題，讓學生通過具體的例子嘗試進行類比推理，同時揭示類比推理方向的多樣性。

師：在Rt△ABC中，兩直角邊分別為a和b，斜邊為c，則有a2+b2=c2，這就是同學們耳熟能詳的勾股定理。同學們能否將此公式類比到空間中，得到“立體幾何中的勾股定理”呢？

生（陷入思考）：…….

師：要將勾股定理類比推理到空間中有些難度，那么我們不妨先將直角三角形的概念類比到空間中。

生：三角形可以類比為四面體。

師：那直角三角形呢？我們把由一個頂點出發的兩條邊互相垂直的三角形稱為直角三角形。能不能有類似的“直四面體”的定義？

生：過同一頂點的三個面兩兩互相垂直的四面體稱為直四面體。

師：非常好。那么，可否將勾股定理類比到直四面體中呢？同學們思考一下。

（學生交流討論，嘗試進行類比推理。）.

生：如圖4，在直四面體O-ABC中，

師：你是怎么想到的？

生：將直角三角形的邊長類比為四面體各個面的面積。

師：很好，那為什么將邊長的平方類比為面積的平方而不是面積的立方呢？

[JP3]生：這個沒有仔細想，我只考慮了元素的類比。

師：非常好，那到底是平方還是立方呢？

生：可以帶入特殊值檢驗一下。

師：這是一個非常好的方法，同學們嘗試帶入特殊值檢驗一下，哪個更為可靠一些？

生：平方更可靠。

師：好的，我們通過檢驗得到了一個更為可靠的猜想，但這并不意味著這個命題就是正確的，要說明其正確性，還需要通過嚴謹的證明。

（師生共同探究命題的證明。）.

師：同學們將勾股定理類比到直四面體，得到“四面體中的勾股定理”，我們也一起嚴格證明了這個命題。那么，由勾股定理，同學們還能類比出其他不同的命題嗎？

生（陷入思考）：…….

師：數學家波利亞在其著作《數學的發現》中對勾股定理進行類比，和同學們一樣類比得到“四面體中的勾股定理”，此外，他還將勾股定理類比到長方體中，得到另外兩個不同的命題。

生：類比到長方體中？

師：對，當我們將勾股定理視為長方形對角線的性質時，我們可將其類比到長方體中。

生：類比推理的方向是不唯一的。

師：同學們總結得非常好，類比推理的方向有多樣性。波利亞對海倫公式也做出了多個不同的類比。同學們課后可以進行深入探究。

在類比推理教學中，強調類比推理結論的唯一性是類比推理教學中比較常見的現象。然而，從同一事物出發能得到許多不同的數學命題，這恰恰是類比推理作為數學發現的重要方式的巧妙之處。因此，在類比推理教學中應該揭示其方向的多樣性。

當學生將勾股定理類比到直四面體O-ABC中時，教師A除對學生的類比結果表示肯定外，還可提出波利亞在《數學的發現》中將勾股定理類比到長方體中的做法，啟發學生可以從更多的方向進行類比推理。特別地，教師向學生說明波利亞對海倫公式的多角度類比，強調類比推理的結論是多樣化的，培養了學生的創新意識。

（三）從三角形面積到四面體體積

類比推理所得的結論具有或然性，歷史上數學家通過類比得出錯誤結論的例子也不少?！墩n標》中也明確指出，學生應該知道通過類比推理得到的結論是或然成立的。教師A利用古代印度數學家阿耶波多類比錯誤得到的三棱錐體積公式對照學生所犯的類似錯誤，說明了類比推理的或然性，幫助學生正確、全面地認識類比推理。

師：同學們，屏幕上的三棱錐體積公式正確嗎？

師：可是我在大家的考試答卷上發現了很多“V=的錯誤答案。這些同學犯了和古代印度數學家阿耶波多一樣的錯誤，把三角形的面積公式類比到四面體中，得到錯誤的體積公式。

生：數學家也會犯錯誤嗎？

師：對的，因為類比所得的結論具有或然性，需要通過驗證和證明才能說明結論的正確與否。

生：既然類比的結論不一定是正確的，那么為什么還要進行類比呢？

師：數學家波利亞說過，如果沒有類比推理，那么無論是初等數學還是高等數學，甚至在其他任何領域，本來可以發現的東西，也可能無從發現。所以錯誤不可怕，重要的是我們要學會發現，只有不斷嘗試，不斷失敗才會更接近真理。

教師A結合學生常出現的錯誤介紹阿耶波多的類比錯誤，這讓學生認識到，即使是數學家在運用類比推理發現新命題時，也難免會發生錯誤，說明數學的發展不是直線式的、靜態的，而是伴隨著嘗試與錯誤的。類比錯誤的數學史可以幫助學生樹立數學學習的自信心，形成動態的數學觀，體現了數學史融入教學的“德育之效”。

在數學教學中，教師將數學家通過類比推理得到錯誤命題的歷史融入課堂，同時辨析以往學習中進行類比推理得到的錯誤命題，學生可以認識到類比推理的結果具有或然性，能辯證地看待類比推理在數學學習中的作用。另外，通過類比推理所得到結論的正確性，不應該成為評價學生類比推理能力的唯一量尺。學生在類比推理過程中，基于不同的考慮會得到不同的命題。比如，將勾股定理類比到空間時，若學生考慮到二維平面與三維空間的差異性，類比得到的結論是

四、結語

歷史上數學家高度肯定了類比推理的價值，利用類比推理獲得了無數的新發現。與類比推理相關的數學史為教師類比推理教學帶來了啟示。有關類比推理的歷史素材為教師設計探究活動提供了參照，從而營造“探究之樂”。基于類比推理的創造性探究活動，培養了學生邏輯推理的素養，從而實現“能力之助”。借鑒歷史，自然地揭示類比推理的或然性和方向的多樣性，可以促進學生對數學活動本質的認識，讓他們“穿越時空與古代數學家對話”，增加學生學習數學的自信心，達到“德育之效”的目的。

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（責任編輯：陸順演）