從“學(xué)會”到“會學(xué)”
——以《三位數(shù)乘兩位數(shù)》教學(xué)為例

鐘 立

學(xué)會和會學(xué)，雖然僅僅是字序顛倒，但對于學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果以及學(xué)習(xí)的過程來說，意義和價(jià)值是不一樣的。學(xué)會，簡單地說就是學(xué)生通過各種方式的學(xué)習(xí)獲得知識或掌握技能，側(cè)重的是知識的獲得，即知識的增量有多大。而會學(xué)，關(guān)注的是知識獲得的過程，是指學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)知識，建構(gòu)知識。陶行知先生曾經(jīng)說過：“我以為好的先生不是教書，不是教學(xué)生，乃是教學(xué)生學(xué)。”這一精辟的見解深刻地揭示了教師的責(zé)任不僅在于使學(xué)生“學(xué)會”，更重要的是讓學(xué)生“會學(xué)”。

三位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法與兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法，在算理和算法上都是一致的，不同的僅僅是一個(gè)因數(shù)由兩位數(shù)變成了三位數(shù)。所以，學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)應(yīng)建立在學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，讓學(xué)生獨(dú)立探索，將兩位數(shù)乘兩位數(shù)的方法自主遷移到三位數(shù)乘兩位數(shù)中，進(jìn)而概括出多位數(shù)乘兩位數(shù)的一般計(jì)算方法。

學(xué)生在計(jì)算三位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)，會基于各自經(jīng)驗(yàn)，探索出不同計(jì)算方法，既可以采用橫式計(jì)算，也可以采用豎式計(jì)算。另一方面，整數(shù)筆算乘法，都是用一個(gè)因數(shù)個(gè)位上的數(shù)乘另一個(gè)因數(shù)，再用十位上的數(shù)乘另一個(gè)因數(shù)……以此類推，再把乘得的積相加。遵循這樣的方法，多位數(shù)的乘法總是可以進(jìn)行下去，體現(xiàn)了算法機(jī)械化思想。機(jī)械化思想，就是解決問題時(shí)可以按照一定的程序機(jī)械地、按部就班地一步一步實(shí)施下去，經(jīng)過有限步驟后就可以得到問題的解。需要特別強(qiáng)調(diào)的是在當(dāng)今時(shí)代，算法機(jī)械化思想有著特別重要的意義，不僅可以提高計(jì)算的學(xué)習(xí)效率，而且讓學(xué)生經(jīng)歷從問題出發(fā)，經(jīng)過分析與綜合，形成概念與方法，并上升到理論階段，精煉成極少數(shù)一般性原理的過程，以這樣的思維經(jīng)驗(yàn)可進(jìn)一步應(yīng)用于多種多樣的不同問題。

一、理解算理，探索算法

曹培英老師在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》核心詞的實(shí)踐解讀中曾指出，算理與算法是構(gòu)成運(yùn)算能力的兩翼。在計(jì)算教學(xué)中，要實(shí)現(xiàn)算理與算法的有機(jī)融合，讓學(xué)生遵循著算理去發(fā)現(xiàn)算法與駕馭算法。

1．簡要回顧已學(xué)知識。

師：下面有兩個(gè)問題，請輕聲讀一讀，說說你打算怎么解決？

（1）王阿姨從某城市乘火車去北京用了2小時(shí)，火車每小時(shí)行145千米，該城市到北京有多少千米？

（2）丁叔叔騎摩托車一共騎行了12小時(shí)，摩托車每小時(shí)行45千米，丁叔叔一共騎行了多少千米？

生1：（直接口算出結(jié)果）145×2=290（千米）。

生 2：45×12。

師：這兩個(gè)算式分別表示什么意思？

生：第一道題求2個(gè)145千米是多少，第二道題求12個(gè)45千米是多少。

師：像這樣求幾個(gè)幾是多少，可以用乘法解決。145×2、45×12，任選一題，算一算。

師：誰來說說這兩道題是怎么算的？

生：先用因數(shù)個(gè)位上的數(shù)乘另一個(gè)因數(shù)，再用十位數(shù)上的數(shù)去乘，再把積相加就可以了。

師：看來同學(xué)們對三位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的知識掌握得很好。今天我們要學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)，你們是想自己探索，還是老師講你們聽？

生：自己探索。

2.自主探索算理算法。

師：好。先看下面的問題：如果李叔叔從某城市乘火車去北京用了12小時(shí)，火車每小時(shí)行145千米。該城市到北京有多少千米？你打算怎樣解決？

生1：可以把12拆成10加2，分別乘以145再相加。

生2：可以用豎式進(jìn)行計(jì)算。

師：同學(xué)們都很會思考，說出了自己的想法。下面我們試著算一算，結(jié)果到底是多少？

生 1：145×2=290（千米），145×10=1450（千米），1450+290=1740（千米）。

師：這兩位同學(xué)怎么算的，你們看懂了嗎？誰來說說他們的計(jì)算有什么相同的地方？有什么不同的地方？

生：相同的都有 10×145=1450，2×145=290，290+1450=1740。不同的是一個(gè)是橫式計(jì)算，另一個(gè)是豎式計(jì)算。

師：是的，無論橫式計(jì)算還是豎式計(jì)算，都有 2×145=290，10×145=1450，290+1450=1740。它們都算出了相同的結(jié)果，你們有沒有發(fā)現(xiàn)這兩種算法之間有什么聯(lián)系呢？

生：（指著算式）橫式的第一步就是豎式計(jì)算的第一步，橫式的第二步就是豎式計(jì)算的第二步，橫式的第三步就是豎式計(jì)算的第三步。

師：看來你們都有一雙火眼金睛，找到了它們的相同點(diǎn)，或者說是聯(lián)系點(diǎn)。另外，老師想問在豎式計(jì)算時(shí)要注意什么？

生：用十位上的1乘145時(shí)，其實(shí)是用10×145，得到的積是1450。

師：所以這里的5要寫在什么位上？

生：十位上。

師：看來大家都很肯定。那老師有一個(gè)疑問，為什么我沒教，你們都會算了呢？

生：（隨口而出）方法跟前面的一樣。

師：一樣嗎？你理解嗎？誰來說說哪里一樣？

生：都是先用個(gè)位上的數(shù)去乘，再用十位數(shù)上的數(shù)去乘，再把積相加就行了。

3．縱橫比較算法遷移。

師：會算沒有什么了不起，更重要的挑戰(zhàn)是要找到新舊知識間的聯(lián)系。這里有兩組題，你們比較一下。

師：先看第一組，45×12、145×12，這兩個(gè)豎式計(jì)算有什么相同和不同？

生：都有12×45，不同的是第二個(gè)要多乘一個(gè)1。

師：要多乘哪位上的1？

生：百位上的1。

師：這里多了百位上的1，怎么乘呢？

生：也要乘12。

師：多出來的結(jié)果在哪里？

生：多了200，又多了1000，合起來是1200。

師：你能把200、1000圈出來嗎？（圈出了百位上的2與千位上的1）你們想的跟他一樣嗎？

生：一樣。

師：再看第二組：145×2、145×12，這兩個(gè)豎式計(jì)算有什么相同和不同？

生：都有2×145，不同的是多了十位的1也要乘145。

師：多出來的結(jié)果在哪里？請圈出來。

生：（圈一圈）多了145，從十位上寫起。

師：同學(xué)們真有辦法，能用前面學(xué)過的知識解決新的問題，看來你們真的會學(xué)會用了。誰來說說三位數(shù)乘兩位數(shù)可以怎么算？

生：三位數(shù)乘兩位數(shù)，先用因數(shù)個(gè)位上的數(shù)乘另一個(gè)因數(shù)，再用因數(shù)十位數(shù)上的數(shù)去乘另一個(gè)因數(shù)，再把積相加。

師：這與我們前面學(xué)習(xí)的三位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法相比，怎么樣呢？

生：一樣。

二、深化認(rèn)知，體驗(yàn)“機(jī)械化”

“所謂機(jī)械化，無非是刻板化和規(guī)格化?！边@是我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生對機(jī)械化思想的解釋。他認(rèn)為數(shù)學(xué)中的某些腦力勞動(dòng)也可以機(jī)械化，即在運(yùn)算與證明過程中，每前進(jìn)一步后，都要有一個(gè)確定的、必須選擇的下一步，這樣沿著一條有規(guī)律的、刻板的道路，一直達(dá)到結(jié)論。整數(shù)筆算乘法正是體現(xiàn)了這一點(diǎn)。

1．異中有同深化認(rèn)識。

師：請算一算124×36、36×124。（學(xué)生計(jì)算）

師：老師看到有些同學(xué)只算了一道題，有些同學(xué)算了兩道題，你們是怎么想的？

生：124×36、36×124 只是交換了位置，結(jié)果是一樣的，不用再算了。

師：是嗎？你能舉個(gè)例子證明嗎？

生：比如，3乘2與2乘3是一樣的。

師：看來與加法交換律差不多，這是我們以后要學(xué)習(xí)的乘法交換律，交換兩個(gè)乘數(shù)的位置，它們的積不變。

師：那如果一定要計(jì)算36×124，怎么算？

生：先用4乘36，再用2乘36，最后用1乘36，再把積相加。

師：這位同學(xué)算的過程跟你說的一樣嗎？（出示豎式）

生：不對，百位上的1乘36得3600，6要寫在百位上。

師：那6寫在百位上，得到的積是4464，這樣對了嗎？

生：對了。

師：124×36與36×124相比，在計(jì)算時(shí)一個(gè)要算兩步，一個(gè)要算三步，但是有相同的地方嗎？

生1：相同的地方，都是要一個(gè)一個(gè)地去乘，再把積相加。

生2：乘到哪一位，積的末位就寫在哪一位上。

2．構(gòu)建模型感悟“機(jī)械化”。

師：今天我們學(xué)習(xí)了三位數(shù)乘兩位數(shù)，在這之前我們先學(xué)習(xí)了兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算（如下圖所示），請你簡單說一說它們的計(jì)算方法。

生：都是用因數(shù)個(gè)位上的數(shù)去乘另一個(gè)因數(shù)，再用因數(shù)十位上的數(shù)乘另一個(gè)因數(shù)……這樣乘下去，再把所得的積相加。

師：今天學(xué)習(xí)了三位數(shù)乘兩位數(shù)，接下來就不再學(xué)習(xí)整數(shù)乘法了，也就是說，三位數(shù)乘三位數(shù)，或者四位數(shù)乘兩位數(shù)就不再學(xué)習(xí)了，你知道這是為什么嗎？

生：因?yàn)楹竺娴挠?jì)算方法跟今天學(xué)的差不多。

師：是嗎？145×132、1145×132，老師不教，你會算嗎？

生：會算，還是一樣的算法。

師：怎么一樣呢？

生1：先用個(gè)位上的數(shù)乘被乘數(shù)，再用十位上的數(shù)乘被乘數(shù)，接著也這樣，最后把乘得的積相加。

生2：都是先用第二個(gè)因數(shù)個(gè)位上的數(shù)去乘第一個(gè)因數(shù)，再用……最后把幾次乘得的積相加。

師：同學(xué)們說得非常好，你們都會學(xué)習(xí)了！確實(shí)就像你們所說的那樣，只要一直這樣算，就能算出結(jié)果。

三、點(diǎn)滴思考

運(yùn)算教學(xué)的核心是在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法。本質(zhì)上，三位數(shù)乘兩位數(shù)與之前學(xué)習(xí)的三位數(shù)乘一位數(shù)或兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理是一致的，算法也是相同的。基于這樣的知識基礎(chǔ)與內(nèi)容特點(diǎn)，本課的教學(xué)體現(xiàn)了兩個(gè)主要的想法：一是教學(xué)目標(biāo)的定位上，在使學(xué)生學(xué)會知識與掌握技能的同時(shí)，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)與感悟數(shù)學(xué)思想；二是教學(xué)的組織方式上，通過引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探索、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。通過以上兩個(gè)途徑，把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)于具體的教學(xué)活動(dòng)中。