關(guān)鍵能力培育，路在何方
——《有余數(shù)的除法》課例解讀與思考

葉 柱（特級(jí)教師）

關(guān)鍵能力，是近年來(lái)教育界的熱詞。具體到數(shù)學(xué)課程，史寧中教授認(rèn)為，“抽象”“推理”“模型”三種能力是“當(dāng)仁不讓”的關(guān)鍵所在。另外，也有教授建議，可以從《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”）提出的十個(gè)“課程核心概念”中選取、確立關(guān)鍵能力。我認(rèn)為，對(duì)于一線教師來(lái)說(shuō)，上述專家觀點(diǎn)都是極富引領(lǐng)意義及參考價(jià)值的。而在當(dāng)下，一個(gè)很重要的問(wèn)題在于，當(dāng)教師們基于自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、依托專家的導(dǎo)向指點(diǎn)，認(rèn)同了“關(guān)鍵能力有哪些”后，能否鼓起“打破教學(xué)定式、重構(gòu)課堂路徑”的勇氣、樹(shù)立“將關(guān)鍵能力培育落到實(shí)處”的強(qiáng)烈意識(shí)及實(shí)踐跟進(jìn)的責(zé)任心。畢竟，與世間萬(wàn)物相似，關(guān)鍵能力的培育始于“心動(dòng)”、成于“行動(dòng)”。基于這樣的立場(chǎng)，當(dāng)我遇見(jiàn)王佳穎、陳雙雙兩位青年教師同課異構(gòu)的《有余數(shù)的除法》時(shí)，頗為欣喜。或許，她們領(lǐng)銜的課堂現(xiàn)場(chǎng)尚不完美，但關(guān)鍵能力已然有了“著陸”的可能。

一、透視教材，捕捉關(guān)鍵能力的“潛伏點(diǎn)”

“有余數(shù)的除法”是人教版數(shù)學(xué)教材二年級(jí)下冊(cè)第六單元的內(nèi)容。例1是從“草莓?dāng)[盤”的場(chǎng)景中回顧“整除”經(jīng)驗(yàn)，引出“有余”情況，初步認(rèn)識(shí)“余數(shù)”。例2則通過(guò)“用不同根數(shù)小棒擺正方形”的訓(xùn)練，發(fā)現(xiàn)“余數(shù)小于除數(shù)”的規(guī)律，進(jìn)一步建構(gòu)“余數(shù)”的數(shù)學(xué)意義。教材編寫(xiě)簡(jiǎn)潔精煉、通俗明了。那么，關(guān)鍵能力“潛伏”在哪兒呢？

我們先看例1（如圖1）。教材從“7個(gè)草莓，每2個(gè)擺一盤”的現(xiàn)實(shí)情境中提取出“7÷2=3（盤）……1（個(gè)）”的數(shù)學(xué)算式，其思維拐棍是“7里面包含著幾個(gè)2、還多幾”。這就是說(shuō)，“有余數(shù)的除法”是對(duì)“均分有余”的生活問(wèn)題的數(shù)學(xué)化刻畫(huà)。這種刻畫(huà)的本質(zhì)是“抽象”，是“從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題”的體現(xiàn)。而這，正是“課標(biāo)”對(duì)“模型思想”內(nèi)涵解讀的重要方面。另外，當(dāng)學(xué)生看到一個(gè)有余數(shù)除法的算式，試著逆想“這個(gè)算式可能講了一個(gè)什么故事”，便是將相對(duì)抽象的數(shù)學(xué)模型放歸生活、靈動(dòng)應(yīng)用的體現(xiàn)，這也同樣可以看作學(xué)生建構(gòu)“模型思想”的重要經(jīng)歷。

圖1

再來(lái)聊聊例2（如圖2）。我們可以發(fā)現(xiàn)，得出“余數(shù)小于除數(shù)”這個(gè)結(jié)論，來(lái)自于“8÷4、9÷4、10÷4、11÷4、12÷4”這五組直觀操作及算式的表征。這個(gè)過(guò)程，是一個(gè)“歸納推理”的過(guò)程。根據(jù)“課標(biāo)”所述，以“歸納”“類比”為主要形態(tài)的“合情推理”和“演繹推理”，構(gòu)成了邏輯推理的兩大基本類型。所以，教材所編的得出結(jié)論的過(guò)程，顯然蘊(yùn)含著“推理能力”培育的契機(jī)。

圖2

進(jìn)一步解讀教材，我們看到，得出結(jié)論的過(guò)程貌似“完全歸納推理”，即沒(méi)有遺漏、非常完整地呈現(xiàn)了五個(gè)數(shù)除以4從“商是2”到“商是3”的所有余數(shù)情況，于是，由此得到“余數(shù)小于除數(shù)”的結(jié)論顯得“靠譜”。但與此同時(shí)，新的疑問(wèn)會(huì)產(chǎn)生：是不是只有除數(shù)是4的算式才存在“余數(shù)小于除數(shù)”的規(guī)律（因?yàn)樯鲜鐾评磉^(guò)程只涉及“除數(shù)為4”），除數(shù)為其他數(shù)時(shí)有沒(méi)有這個(gè)規(guī)律呢？從這個(gè)角度看，教材所設(shè)的推理過(guò)程也只是“不完全歸納推理”，且做不到“完全歸納推理”（無(wú)法將除數(shù)為任意數(shù)的情況枚舉窮盡）。當(dāng)然，大量事實(shí)表明，“不完全歸納推理”之所以可信，是當(dāng)積累了一定數(shù)量的直觀事實(shí)后，把蘊(yùn)含其中的背景道理“想透徹”“想明白”“想到位”，讓學(xué)生清楚“無(wú)須再舉其他事實(shí)，由于某個(gè)道理，規(guī)律已能確信”，由此，學(xué)習(xí)活動(dòng)便可升級(jí)為“科學(xué)歸納推理”。所以，我認(rèn)為，例2教學(xué)時(shí)，需要適當(dāng)補(bǔ)充“除數(shù)不是4”的算式，更要引導(dǎo)學(xué)生適時(shí)想通“為什么不存在余數(shù)等于除數(shù)、余數(shù)大于除數(shù)的情況”，由此，方能培育學(xué)生嚴(yán)密推理的能力與意識(shí)。

二、改造課路，夯實(shí)關(guān)鍵能力的“生長(zhǎng)點(diǎn)”

通過(guò)前面的闡述，我以為，在“有余數(shù)的除法”教材中，“模型思想”“推理能力”是隱含其間、呼之欲出的。接下來(lái)，如何通過(guò)教學(xué)設(shè)計(jì)，將教材的“潛伏點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為課堂的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，以切實(shí)培育學(xué)生的模型思想、推理能力，便是核心正道。反過(guò)來(lái)看，如果能以模型思想、推理能力的培育為中心線索，打破課堂格局，刷新現(xiàn)場(chǎng)生態(tài)，也不失為教學(xué)設(shè)計(jì)“獨(dú)辟蹊徑”的重要參考視角。回到課例，我們非常高興地看到，兩位教師在夯實(shí)關(guān)鍵能力的“生長(zhǎng)點(diǎn)”方面花了很多心思、做了很多努力。

1.關(guān)于“模型思想”培育。

前文中，已對(duì)模型思想的基本內(nèi)涵及教材體現(xiàn)有所描述，此處不再贅論。在我看來(lái)，兩位教師在例1教學(xué)中，充分突出三大要點(diǎn)，使模型思想“不露痕跡”地“浮出水面”。

（1）聚焦“模型”的生長(zhǎng)。

教材中，為何要呈現(xiàn)兩組“草莓?dāng)[盤”的場(chǎng)景？究其意圖，無(wú)非是想通過(guò)草莓總數(shù)“6”到“7”的變化，來(lái)烘托其中不變的“包含除”本質(zhì)，從而反映出“有余除”的思維模型是“整除”思維模型的變式與拓展，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型的成長(zhǎng)性。對(duì)于這一點(diǎn)，兩位教師的教學(xué)組織都有生動(dòng)詮釋。陳雙雙老師從“整除”切入，讓學(xué)生先由數(shù)學(xué)算式聯(lián)想現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，再?gòu)默F(xiàn)實(shí)問(wèn)題中引出“有余除”現(xiàn)象。這個(gè)過(guò)程中，以現(xiàn)實(shí)問(wèn)題為紐帶，強(qiáng)化了“整除”“有余除”兩種模型的本質(zhì)關(guān)聯(lián)。王佳穎老師的課也有異曲同工之妙。在“抱一抱”游戲過(guò)程中，總?cè)藬?shù)始終不變，通過(guò)“幾人抱成團(tuán)”（即除數(shù)）的變化，促成了“整除”與“有余除”的交替共存。另外，兩位教師不約而同地舍棄了“草莓?dāng)[盤”的教材情境，變成了“小棒擺正方形”。有何好處？材料更貼近學(xué)生、更易于操作，且與例2一脈相承。這樣做，顯然有利于數(shù)學(xué)模型的形成、生長(zhǎng)與建構(gòu)。

（2）滲透“模型”的特性。

模型的特性是什么？簡(jiǎn)而言之，模型由“抽象”而來(lái)、該“應(yīng)用”出去。王佳穎老師在課始創(chuàng)設(shè)“抱一抱”的游戲情境，好處在哪里？除了她在課例中講到的“激活興趣、促進(jìn)參與”外，我覺(jué)得還有非常重要的一點(diǎn)是，充分展示了“生活現(xiàn)實(shí)——數(shù)學(xué)圖式”的模型化過(guò)程。當(dāng)然，學(xué)生只要浸潤(rùn)其中、朦朧察覺(jué)即可，不需要知道這個(gè)過(guò)程叫“抽象”，也無(wú)需明白這段歷程叫“數(shù)學(xué)化”。如果學(xué)生既掌握了有余數(shù)的除法，又能親歷知識(shí)模型的形成路徑，便是最為理想的目標(biāo)達(dá)成。在這方面，陳雙雙老師做得更充分些。教學(xué)中精心創(chuàng)設(shè)了“數(shù)學(xué)模型——生活原型——數(shù)學(xué)模型”的過(guò)程，將模型的特性展現(xiàn)得淋漓盡致。我想，小學(xué)階段如何培育“模型思想”，無(wú)非就是引導(dǎo)學(xué)生初步感知“模型怎樣來(lái)、又怎么去”。

（3）強(qiáng)化“模型”的建構(gòu)。

在引出“均分有余”現(xiàn)象后，兩位教師都設(shè)計(jì)了“請(qǐng)學(xué)生自己試著用算式來(lái)表示分的過(guò)程”的學(xué)習(xí)任務(wù)。這一挑戰(zhàn)性體驗(yàn)，有利于讓每位學(xué)生充分積累基于已有經(jīng)驗(yàn)、嘗試創(chuàng)造模型的“初體驗(yàn)”。當(dāng)然，學(xué)生創(chuàng)造出來(lái)的“原生態(tài)模型”可能并不完美，甚至是奇葩的或錯(cuò)誤的，但蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思考卻是珍貴的。這種帶有主體性、探究味的數(shù)學(xué)思考，最終將轉(zhuǎn)化為學(xué)生扎實(shí)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的“營(yíng)養(yǎng)源”。在這方面，兩位教師的課都可圈可點(diǎn)。

2.關(guān)于“推理能力”培育。

幫助學(xué)生扎實(shí)經(jīng)歷“余數(shù)小于除數(shù)”的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，提升其意義理解的水平，對(duì)于后續(xù)學(xué)習(xí)除法運(yùn)算及相關(guān)知識(shí)極為重要。在這場(chǎng)“歸納推理”的教學(xué)活動(dòng)中，兩位教師的課堂組織周到而有效。尤為值得一說(shuō)的，是以下兩點(diǎn)：

（1）“1+X”：有序豐富事實(shí)依據(jù)。

這里的“1”代表一組基本材料，“X”代表多組輔助材料。兩者有機(jī)對(duì)接、充分整合，構(gòu)成了學(xué)生發(fā)現(xiàn)“余數(shù)小于除數(shù)”的事實(shí)依據(jù)。不難發(fā)現(xiàn)，兩位教師都選擇了“9根小棒擺正方形”作為基本材料，因?yàn)閿?shù)字簡(jiǎn)單，且也有些許“跳一跳摘果子”的意味。此處的教學(xué)中，兩位教師都放緩節(jié)奏，圍繞“9÷4=2（個(gè)）……1（根）”這個(gè)模型，既強(qiáng)調(diào)整體的感知把握，又重視細(xì)節(jié)的精準(zhǔn)理解，學(xué)習(xí)效果顯而易見(jiàn)。在此基礎(chǔ)上，兩位教師繼續(xù)設(shè)置研究任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)創(chuàng)生了“10至16根小棒擺正方形”的豐富事實(shí)，且直觀操作依次減少、思辨想象逐漸增加，體現(xiàn)了教學(xué)活動(dòng)的層次性。我認(rèn)為，兩節(jié)課最終呈現(xiàn)的“1+X”的事實(shí)材料，比教材設(shè)定的豐富很多，更有利于學(xué)生順利達(dá)成“不完全歸納”的推理目標(biāo)。而后的練習(xí)中，王佳穎老師設(shè)計(jì)了“用小棒擺三角形”的任務(wù)，陳雙雙老師提出了“5個(gè)5個(gè)圈、6個(gè)6個(gè)圈五角星”的要求，都在引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)跳出“除數(shù)是4”的認(rèn)知局限，進(jìn)一步擴(kuò)展了研究材料的一般化水平。

（2）“X+1”：有力達(dá)成科學(xué)歸納。

這里的“X”，是指學(xué)生基于事實(shí)、歸納發(fā)現(xiàn)的多樣化結(jié)論，視點(diǎn)不一，個(gè)性鮮明。這里的“1”，則表示教師為幫助學(xué)生將內(nèi)在道理“想透”“悟清”而進(jìn)行的適時(shí)追問(wèn)與精準(zhǔn)導(dǎo)撥。“X+1”的實(shí)踐格局，有利于實(shí)現(xiàn)“不完全歸納推理”向“科學(xué)歸納推理”的升級(jí)（這一點(diǎn)，前文解讀例2教材時(shí)有所提及）。比如，兩位教師都提出了一個(gè)同樣的問(wèn)題：“為什么余數(shù)總是1、2、3，而不是其他數(shù)？”在此基礎(chǔ)上，陳雙雙老師繼續(xù)追問(wèn)“為什么余數(shù)一定要比除數(shù)小呢？”王佳穎老師跟進(jìn)質(zhì)疑“余數(shù)可能是4或5嗎？為什么？”基于前面“X”，依托此處的“1”，學(xué)生最終明白了：如果余數(shù)等于或大于4，那就又可以新搭一個(gè)完整的正方形了，這樣一來(lái)，隨著商的增加，余數(shù)依然只是1、2、3或沒(méi)有余數(shù)。

三、重構(gòu)習(xí)題，凸顯關(guān)鍵能力的“觀照點(diǎn)”

教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)的習(xí)題，其價(jià)值既在于鞏固提升，又在于測(cè)評(píng)反饋。如何讓習(xí)題設(shè)計(jì)在關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生對(duì)“模型思想”“推理能力”的體驗(yàn)收獲有所暴露、進(jìn)而有所促進(jìn)，是一個(gè)值得關(guān)注的重要問(wèn)題。兩位教師的練習(xí)設(shè)計(jì)，讓人印象深刻。那些封閉的習(xí)題，能夠加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)模型的基本理解；而那些開(kāi)放的習(xí)題，又有利于支持學(xué)生有效豐富建模、推理的過(guò)程體驗(yàn)。比如，陳雙雙老師設(shè)計(jì)了開(kāi)放題（如圖3）。練習(xí)中，學(xué)生能夠再次經(jīng)歷模型完善的過(guò)程，且這個(gè)開(kāi)放式的活動(dòng)，也呼應(yīng)了例2教學(xué)中事實(shí)梳理的整個(gè)過(guò)程。可以說(shuō)，兼顧了模型思想的滲透、推理能力的培育。

圖3