基于PCA的遠程教育數學課堂教學質量評價模型研究
——以四川電大為例

■許宇翔，譚淇婧

（四川廣播電視大學教育學院,四川成都 610015）

高校中，高等類數學課程作為高校絕大多數專業的公共課，對老師而言，課時多、教學任務重以及考試及格率偏低。而在電大，由于高等遠程教育的普及，學生接受高等教育以及再教育的門檻不像以前那么高。但是由于部分學生工學矛盾突出、數學基礎理論知識欠缺。在課堂上，教學部門為了提高課程的教學質量，就需要客觀并準確地了解高校教師的課堂教學情況。理論上，我們知道廣義中的課堂教學質量評價一般分為四種評價方式：專家評價、同行評價、學生評價和自我評價，哪種方式更佳？這四種評價方式都各有利弊，現在沒有給出明確定論。那么如何在數學課堂評價中將這些評價方式加權處理，是我們高校教學質量評估體系中一個值得研究的問題，也是電大在遠程教育教學中所要解決的問題。

如今，學生評教作為課堂教學質量監控的一個指標，逐漸應用于電大開放教育中，也是督促老師不斷改進和提高教學方法的手段。課堂教育質量評教不僅能夠幫助提高高等數學類課程教學質量，而且也可以幫助我們教師了解自身在課堂教學中的不足。所以，我們需要根據數學類課程的性質和特點再加上各種學生評價打分匯總后的優缺點進行科學的加權處理，以此還原對學生評價的客觀性和真實性。

學生評價又稱為教學評價，是上述所說到四種課堂教育質量評價方式中采用情況最多的一種。課堂中，學生作為老師課堂教學表現最直接的“聽眾”，能夠對教學工作做出價值判斷，真實地反應教學效果。所以，學生評教體系作為學生對任課教師實施教學質量的監督，是學生評價活動中一個重要組成部分。這個標準是學生參與學校對教師教學監督的有效管理途徑之一。電大的遠程教育教學關系到教學工作和教學質量，同樣需要學生評價。高等數學類課程要想得出客觀真實的評價就需要建立非?？茖W合理的評價指標體系。

一、主成分分析原理

主成分分析法又稱為PCA(Principal Component Analysis)，它是一種數學數據降維算法，經常應用在經濟學和醫學統計等領域中。簡單來說，就是對一些很復雜的高維數據工作通過提取變量來分析其中主要的重要變量。

二、主成分分析實施步驟

（一）計算協方差矩陣

（二）求出Σ的特征值λi及相應的正交化單位特征向量ai

Σ的前m個較大的特征值λ1≥λ2≥…λ>m0,就是前m個主成分對應的方差，i對應的單位特征向量ai就是主成分Fi的關于原變量的系數，則原變量的第i個主成分 Fi為：Fi=ai′X

（三）選擇主成分

當累積貢獻率大于85%時，就認為能足夠反映原來變量的信息了，對應的m就是抽取的前m個主成分。

（四）計算主成分載荷

主成分載荷是反映主成分Fi與原變量Xj之間的相互關聯程度，原來變量Xj（j=1，2，…，p）在諸主成分Fi（i=1，2，…，m）上的荷載lij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，p）：

在SPSS軟件中主成分分析后的分析結果中，“成分矩陣”反映的就是主成分載荷矩陣。

（五）計算主成分得分

計算樣品在m個主成分上的得分：

Fi=a1iX1+a2iX2+…+aPiXP

三、四川電大學生評價指標體系構建實例分析

文中以四川電大7位數學老師他們在2018-2019年度《幾何基礎》精彩課堂上教學質量為研究對象，建立基于PCA的精彩課堂的教學質量評價模型。本數據采自于四川廣播電視大學校本部2018-2019參加《幾何基礎》課程教學的學生。對國內外高校評價指標進行收集和整理是調查的首要任務，然后依據四川電大督導教學工作水平評估指標體系，結合師生調查問卷并咨詢了相關教授專家最終制定了評價指標體系。評價指標體系可以概括為四個方面：師德師風、教學內容、教學方法和教學效果（表1所示）。

為了提高數據準確性，首先我們會將學生評教指標10分或者6分的以下數據看作是傾向性主觀數據。然后將剩余的各指標求平均分后就能夠得出學生評教基礎數據（附表1所示）。

（一）數據分析

將附表1中的13個基本指標數據輸入SPSS 21.0版中，得到主成分特征值、貢獻率及其累計貢獻率表如附表2所示。之前我們設定主成分的提取數目為前4個主成分，設定特征值大于1才具有顯著性，可以看到前4個主成分分析合計方差累計貢獻率為87.103%，根據主成分選取原則，選取主成分能夠保留原始信息的85%以上即可，選取前4個主成分，信息的損失率為12.837%，表明前4個主成分具有顯著代表性，能夠起到壓縮數據量的作用。

這個結論也可以通過圖1來表達。從碎石圖中，我們可以很清楚地看出前四個特征值差異都很大，并且都大于1，從第五個特征值開始，初始特征值為0.864，距離第四特征值變化很小，雖然第五個特征值也趨近1，但變化量不大，變異程度也不大。所以我們可以看到，取前四個作為主成分是合理的。

表1 評教指標體系

圖1 碎石圖

利用計算得到的主成分荷載矩陣除以每個主成分特征根的均方根可以得到13個主成分的特征向量。前面已經告知我們將最終選取前4個主成分，所以可以得到的前4個主成分特征向量如表4所示。

表4 前四個主成分成份矩陣a

（二）數據表達

根據主成分荷載矩陣及其主成分的特征值計算每個主成分中各指標所對應的系數，得出4個主成分的表達式分別為：

y1=-0.180x1+0.691x2-0.165x3-0.269x4-0.422x5+0.873x6-0.131x7+0.474x8-0.539x9+0.702x10+0.945x11-0.543x12+0.488x13

y2=0.957x1+0.329x2-0.471x3-0.512x4-0.219x5-0.06x6+0.503x7+0.172x8-0.513x9+0.86x10-0.72x11+0.610x12-0.699x13

y3=-0.31x1-0.51x2+0.83x3+0.76x4-0.73x5-0.287x6+0.197x7+0.271x8-0.470x9+0.316x10-0.70x11+0.541x12+0.196x13

y4=-0.119x1-0.381x2-0.240x3+0.178x4+0.198x5+0.384x6+0.718x7-0.644x8-0.279x9+0.354x10-1.11x11+0.48x12+0.264x13

我們將以上4個主成分貢獻率和式的結果帶入

F=0.30797y1+0.23166y2+0.20422y3+0.12718y4

F=0.1444x1+0.02313x2-0.0212x3-0.0240x4-0.3220x5+0.0259x6+0.20750x7+0.1600x8-0.4172x9+0.3468x10+0.2475x11+0.0089x12+0.0628x13

綜合上述結果，我們可以建立主成分綜合模型來得出四川電大2018-2019《幾何基礎》的7位教師每一位教師的主成分以及他們的綜合成分得分，在這里我們不再計算。

（三）結果分析

（1）在主成分y1中有6個較高的載荷指標分別是X2、X6、X8、X10、X11、X13，這 6 個指標分別是課前準備、內容拓展、教學語言、違紀現象、作業評閱和教學效果。這些指標分布于師德師風、教學內容、教學方法、教學效果這四個大類。通過計算y1主成分的排名情況可以得出：我們四川電大數學教師的綜合教學水平。這說明授課方法新穎、靈活多變、教學內容豐富的授課老師更能適應學生的需要，能夠得到學生的肯定。由于時代不同，老師們需要不斷探索新的教學方法，通過結合學生的實際情況和四川電大遠程教育的特點找出更能迎合四川電大學生的教學方法。但是由于y1只是其中一個主成分，沒有考慮到其他幾個主成分分析，所以由此得來的綜合排名是有一些偏差的。（2）主成分y2、y3中也有較高的荷載指標，分別從師德師風、教學內容、教學方法、教學效果四個大的方面來評價了電大教師教學水平。不過教師分數排名仍然有差異。（3）最后我們得到的F主成分綜合得分模型能夠計算出四川電大7位教師綜合排名，教師的綜合素質隨著分數的增長成正比。

我們在運用主成分分析中要注意的是：（1）當主成分中綜合原指標為特征貢獻率最大的一項時，可以作為電大數學課堂教學總體效果的評價指標；（2）在進行主成分分析的時候，特別注重影響作用相反的兩種關系；（3）在對各項具體指標進行分析時，需要靈活運用PCA。

四、結束語

一方面，電大教師通過學生評價不僅可以直觀、客觀地得到評價結果，通過主成分分析的結果還可以構建師生之間的高等數學類課程教學的評價量表。教學部門希望《幾何基礎》等高等數學類課程教學質量能夠從評價數據中得到有用的信息，因為電大學生的特殊性，這些信息能夠幫助我們不斷地總結高等數學類課程經驗、改進高等數學類課程教學、提高高等數學類課程教學質量，保證學生能夠在課堂上取得好的效果，讓其順利通過考試并畢業；另一方面，也可以反映出我們電大教師在實際教學中所出現的問題，揚長避短，不斷得到提升。

附表1 學生評教基礎數據表

附表2 主成分特征值、貢獻率及其累計貢獻率