有效建模，架起結構化教學的橋梁

華兵

【摘要】文章論述了有效建模的意義及與結構化教學之間的聯系，并以“因數和倍數”教學為例，提出有效建模的過程：在具體實例中抽象提取模型;在圖示和辨析中解讀理解模型;在探究和交流中運用模型;在拓展性問題中深化模型。

【關鍵詞】有效建模 結構化教學 因數和倍數

一、有效建模的意義與價值

（一）建模的含義

建模就是建構數學模型，“即把某種事物系統的主要特征、主要關系抽象出來，用數學概括地或近似地表述出來的一種數學結構。”

建模是學生學習數學的一種方式，學生腦中一旦建立了模型，就能溝通知識之間的聯系，能熟練地將日常生活中的事物與數學進行聯系，找到數量之間的關系，并能運用所學到的知識去分析、解決實際問題，從而深刻體驗到數學與外部世界的聯系。因此，“建模的思想方法能增強學生的應用意識，能激發學生學數學的興趣，發展學生的創新意識和實踐能力，也是能深刻體現數學學科價值的數學素質之一。”

（二）有效建模的過程

由于年齡特點小學生思維以直觀形象化為主，而建模的過程是一個數學高度抽象化的過程，因此對小學生來說有一定的難度。為實現有效建模，需要讓學生經歷完整的建模過程，即首先要從現實生活或具體情境中抽象出數學模型，并用符號、字母等表示出模型，再運用模型推理、計算，解決實際問題。學生只有充分經歷了這些過程之后，才會深刻理解模型，在腦中切實建構模型，也才能更好地活用模型，從而實現有效建模的過程。

二、有效建模與結構化教學的聯系

（一）結構化教學

新結構主義理論家布魯納指出， “學習的實質就是理解學科的基本結構”“如果你理解了知識的結構，你無須為了知道各個事物的屬性與每一個事物打交道，只要通過對某些深奧原理的掌握，便有可能推斷出所要知道的個別事物”。所以在數學學習過程中，要讓學生生長結構、發展結構，培養學生的結構思維。

而結構化教學則要求教師著眼于全局，要站在概念的“整體性”“系統性”的高度，抓住每節課的核心知識、數學本質，引導學生認識并發現這些知識之間的本質聯系和內在結構，從而形成清晰的、完整的知識結構。

（二）相互關聯，架起橋梁

結構化教學更側重于數學的內在結構，突出數學知識之間的內在聯系。而建模思想是基于事物之間、知識之間的聯系，抽象出其中本質的數量關系，建構起模型。二者之間的共同點都是突出數學知識之間的內在聯系，而模型的建構更能凸顯知識結構的本質聯系，并使其直觀化、外顯化，更方便靈活運用。所以在教學中做到有效建模，也就順利架起了結構化教學的橋梁。

三、有效建模的實踐

“因數和倍數”這一單元的知識屬于“數論”的初步知識，概念比較多，有些概念還比較抽象，很難理解，而且概念的前后聯系又很緊密，勢必會讓部分學生在學習時產生一定的困難。作為第一課時的起始知識點“因數”和“倍數”，對概念的含義的理解尤為重要。要讓學生充分理解因數和倍數的概念，就必須抓準、抓牢本節課的核心知識，即“（）×（）=（）”這道乘法算式的模型，讓學生首先構建模型，再理解模型，最后運用模型，從而把這塊的知識更加結構化，讓學生深刻感悟到其中的模型思想，體會到模型思想的價值。

（一）操作感悟，提取模型

在具體實例中抽象模型。學生從擺方格想到三種不同的方法，從實例出發理解因數和倍數的意義，然后教師讓學生自己去想一個算式，想誰是誰的因數，誰是誰的倍數，再問學生你是怎么想到的，得到從乘法算式可以想到、乘數是積的因數、積是乘數的倍數，從而抽象出模型，建立了模型，并用括號和箭頭表示出來。

【教學片段1：因數和倍數的初步認識】

1.拼圖引入

師：你能用12個相同的小正方形擺成幾種不同形狀的長方形？再分別說一說你是怎么擺的。（教師板書三道乘法算式）

2.揭示概念

師：以3×4=12這道算式為例，在數學上我們說3是12的因數 ……

追問：能單獨說3是因數，12是倍數嗎？

生：不能，因數和倍數是指兩個數之間的關系，所以一定要說清楚哪個數是哪個數的倍數，哪個數是哪個數的因數。

3.觀察發現

師：觀察這三道算式，有什么共同的特點？

生1：都是乘法算式。

生2：都是自然數。

生3：積都是12。

師：這些數都是12的因數，12還有其他因數嗎？5是不是12的因數？

生：不是，因為5×2.4=12，2.4不是自然數。

師：所以在研究因數和倍數時，所指的數一般都是非0 的自然數。

4.舉例概括

師：同學們自己想一道算式，并說一說誰是誰的因數，誰是誰的倍數。

（學生大組交流）

師：你們在舉例時的依據是什么？

生：我們想到的是（）×（）=（），（上臺指著說）這個乘數和這個乘數就是乘積的因數，乘積就是這個乘數的倍數，也是這個乘數的倍數。

小學階段的因數和倍數的概念并不是數學抽象意義上的概念，而是通過若干的舉例，指出兩個非0自然數之間存在因數和倍數的關系，從而體會到因數和倍數的概念。所以這里要讓學生充分舉例，并相互說，要在學生面前提供豐富的實例，才能讓學生從大量例子中總結發現出兩個非0自然數之間的關系，從而在具體實例中抽象、提煉出數學模型。

（二） 辨析整理，形成模型

在圖式和辨析中理解模型。模型剛抽象、提取出來，還有一部分學生沒有充分理解，這就需要教師在這一難點中放慢腳步，要給學生解讀和理解模型的時間和空間。這里一是讓學生從圖中，看箭頭中就可以理解它們之間的關系;二是通過幾道判斷題，對概念深入理解。其中有一道是除法，讓學生思考，除法是乘法的逆運算，可以轉化成乘法，又回到了一開始的模型。

【教學片段2：鞏固因數和倍數的認識】

師：剛才他們的發言大家都明白了嗎？如果我們再畫個箭頭表示出來，那就更容易理解了。（教師在黑板上板書，帶領學生再次理解這個模型的含義）

（出示幾道判斷題，讓學生再次充分理解這一模型）

師：第3題你是怎么想的？

生：因為除法是乘法的逆運算，將除法轉化為乘法，8÷2=4可以轉化為4×2=8，那么就可以得到2是8的因數，8是2的倍數，這題是對的。

師：所以說，因數和倍數的背后總能找到相應的乘法算式或者除法算式。

模型剛剛建立，大多數學生還似懂非懂，沒有完全理解。這里通過畫圖、標箭頭再次讓學生理解。通過四道判斷題，讓學生在辨析中加深對模型的理解。

（三） 運用鞏固，完善模型

在探究和交流中運用模型。如利用模型來找因數和倍數，首先讓學生自己去探索怎么找，學生想到的是用乘法和除法算式去找，（）×（）=36，36÷（）=（），就是前面說的基本模型。找倍數，想到的是3×（）=（）……無論是找因數和倍數，都是萬變不離其宗，用的都是這些基本模型。

【教學片段3：完善因數和倍數的認識】

1.探索找一個數的因數的方法

師：你能找出36所有的因數嗎？動手試試看，完成學習單上的探究一。

（1）展示用乘法和用除法的探究單

師：請你說一說你是怎么想的？找36的因數就是找什么？

生1：只要兩個數乘積等于36，那么這兩個數就都是36的因數。

生2：老師，我有補充，只要想（）×（）=36，這兩個數就是36的因數。

生3：用除法也可以，可以想36÷（）=（），括號里的兩個數就是36的因數。

師：同學們真棒！用我們之前的這道乘法算式，就能簡便地找到36的因數。

（2）展示無序和有序列舉的探究單

師：這兩個同學列舉結果的寫法你認為哪個更好些？好在哪？

生：我更喜歡從小到大排列的，這種寫法很有序，這樣就能做到不重復、不遺漏了。

師：大家同意他的觀點嗎？的確，在找一個數的因數時，不僅要一對一對地找，還要注意從小到大地找，先從1開始想起，有序才能不重復、不遺漏。

2.探索找一個數倍數的方法

師：找一個數的倍數你會嗎？我們一起來試試，找出3的倍數，完成探究二。

學生自主探索，并在小組內交流想法。大組交流，教師適時點撥。

師：你是怎樣找3的倍數的？

生1：只要找3乘幾，用3和自然數相乘，積就是3的倍數。

生2：只要從3開始，后面依次加3，得到的數就是3的倍數。

生3：我想到的是3×（）=（），從乘1開始想起，乘出的結果就是3的倍數。

師：這三位同學想的方法都很好！其中第三位同學，他想到的又是一道乘法算式，看來這道乘法算式在找一個數的倍數中，也是至關重要的。

當學生對因數和倍數的模型能充分理解后，開始研究找因數、倍數的方法，教師放手，讓學生自主探究。有的學生用乘法想，有的學生用除法想，有的學生找不全，有的學生找出的結果無序，教師需要引導學生去觀察、比較、總結、歸納，使學生在比較、交流中感悟有序思考的必要性和科學性，也讓學生深刻感悟到運用模型探究問題的好處與便捷。

（四） 拓展提升，活用模型

在拓展性問題中深化模型。最后設計了一道綜合性比較強的問題，教師出了幾張數字卡片，讓學生根據它們之間的關系來找因數和倍數，點燃了學生思維的火花。特別是找一個數的倍數這題，學生不僅想到一個數就能找到，而且知道最小的數也能找到這個數，第二個、第三個、最后一個，隨意翻開一個數都能找到這個數。其實學生想到的就是用這個數除以這個數的位置這一除法算式，這個數學模型已深深扎根在學生的心中，這一知識已融入學生原來的知識結構中。

【教學片段4：提升因數和倍數的認識】

師：我們做個小游戲。老師這里有個神秘的數，并且和這里的幾張牌有關，這些牌都是從小到大排列的，你能根據這些牌找出這個神秘的數嗎？

師：這些牌都是28的因數。你認為你要翻開哪些牌就能找出這個數？

生：只要翻開最后一張，因為一個數最大的因數是它本身。

師：如果不允許翻開最后一張呢？

生：翻開第2張和第5張，或者第3張和第4張，因為它們的乘積就是這個數。

師：如果這些牌都是8的倍數，你要翻開哪些牌就能知道這個數？

生1：只要翻開第一張，因為一個數最小的倍數是它本身。

生2：翻開第二張也行，因為第2張是這個數的2倍，只要除以2就知道了。

生3：翻開任意一張都可以，只要拿這一張除以它的位置，都能得到這個數。

……

學生已能熟練運用模型解決問題，教師在最后設計這一有層次的綜合性問題來挑戰學生，學生在挑戰成功之后獲得了巨大的成就感、滿足感，更加強化了模型思想在學生心中的價值。

所以一節數學課要讓學生充分經歷從構建模型、理解模型到運用模型來解決問題的過程，學生才會慢慢感悟到模型思想的價值，同時也積累了探究問題的經驗。這樣做也正精準把握了這節課的核心知識、本質知識，學生深刻理解各知識之間的聯系，從而對知識的建構更加結構化和系統化，教學效益也必將大大提高。