讓“數(shù)”與“形”聯(lián)袂而行

王宜琴

【摘要】“數(shù)形結(jié)合”的應(yīng)用大致可分為兩種情形：借助于“數(shù)”的精確性來闡明“形”的某些屬性;借助“形”的幾何直觀性來闡明“數(shù)”之間的某種關(guān)系。也就是說，幾何直觀實(shí)質(zhì)包括以下兩種情形：“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》提出，核心概念之一的幾何直觀，其本質(zhì)含義主要是指利用圖形描述和分析問題，體現(xiàn)的是“數(shù)形結(jié)合”中“以形助數(shù)”的思想，借助“形”的幾何直觀性來闡明“數(shù)”之間的某種關(guān)系。

【關(guān)鍵詞】幾何直觀 數(shù)形結(jié)合

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)包括諸多的教學(xué)環(huán)節(jié)，而習(xí)題教學(xué)與訓(xùn)練是諸多教學(xué)中重要環(huán)節(jié)之一。在實(shí)際教學(xué)中，特別是到了中高年級(jí)，隨著已知條件越來越復(fù)雜，有很多習(xí)題讓部分學(xué)生“束手無策”。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果?！惫P者就“幾何直觀”在習(xí)題教學(xué)與訓(xùn)練中的應(yīng)用，談一些心得體會(huì)。

一、借助幾何直觀，變“模糊”為“清晰”

小學(xué)生由于年齡的特點(diǎn)，其思維方式以具體形象思維為主，思維水平正處于具體運(yùn)算階段向形式階段的過渡期，這一階段的小學(xué)生對(duì)于概念的建構(gòu)還離不開具體事物的支持。而幾何直觀憑借其直觀性的特點(diǎn)，能將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言有機(jī)地結(jié)合起來，充分突出問題的本質(zhì)，幫助學(xué)生突破理解上的難點(diǎn)。

例如，蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)的意義和性質(zhì)”單元練習(xí)判斷題：0.5和0.50大小相等，意義也相同。

本題學(xué)生錯(cuò)誤率比較高，很多學(xué)生第一反應(yīng)是該題是正確的。根據(jù)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)水平，由小數(shù)的性質(zhì)很容易就能得出0.5等于0.50，而對(duì)于“小數(shù)0.5與0.50的意義是否相同”，很多學(xué)生往往處于 “一知半解”狀態(tài)。此時(shí)不妨通過圖形直觀和對(duì)比分析，幫助學(xué)生借助直觀的圖形，突破理解上的難點(diǎn)，真正理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)內(nèi)涵。

以下是教學(xué)的主要環(huán)節(jié)：

（1）問：0.5和0.50大小相等嗎？學(xué)生根據(jù)小數(shù)的性質(zhì)得出0.5與0.50大小相等。

（2）追問：那么0.5與0.50的意義是否一樣呢？首先我們先看0.5表示什么呢？一些思維能力較強(qiáng)的學(xué)生能夠想到：0.5的小數(shù)意義是把整數(shù)“1”平均分成10份，表示其中的5份。用圖形怎樣表示呢？

（3）0.50表示什么？根據(jù)學(xué)生的回答，用圖形表示出0.50的小數(shù)意義：把整數(shù)“1”平均分成100份，表示其中的50份。

由圖，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：0.5和0.50有著不同的意義，0.5是一位小數(shù)，表示十分之五，精確到十分位;0.50是兩位小數(shù)，表示百分之五十，精確到百分位。而涂色部分的面積是相等的，所以大小相等，即0.5=0.50。

例如，五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)的意義和性質(zhì)”單元練習(xí)題：把0.54、0.56、0.49、0.6、5.05按從小到大的順序排列。

對(duì)于小數(shù)的大小比較，不少教師會(huì)借助數(shù)軸，把這些大小不一的小數(shù)在數(shù)軸上一一找到相對(duì)應(yīng)的位置，再去比較它們的大小。縱觀整個(gè)小學(xué)階段的教學(xué)，數(shù)軸發(fā)揮著極其重要的作用，可以不夸張地說：數(shù)軸是認(rèn)數(shù)最直觀的工具。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，數(shù)軸幫助學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)了自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、負(fù)數(shù)、百分?jǐn)?shù)等，使學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)到所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，這些有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是“一一對(duì)應(yīng)”關(guān)系。

在概念教學(xué)的過程中，注重引導(dǎo)學(xué)生積極運(yùn)用幾何直觀，巧妙地“以形助數(shù)”，可以幫助學(xué)生把抽象、模糊的數(shù)學(xué)概念逐漸生動(dòng)化、直觀化、清晰化，順利化解學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，抓住概念的本質(zhì)。

二、借助幾何直觀，變“復(fù)雜”為“簡單”

“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。”數(shù)形結(jié)合是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，更是解決數(shù)學(xué)問題時(shí)最常用的方法。它借助簡單的圖形、符號(hào)或文字所作的示意圖，溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生抽象思維和形象思維的緊密發(fā)展，凸顯問題最本質(zhì)的特征，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”之間的互換，使得看似無法解決的問題簡單化、明朗化。

例如，筆者參加2018年區(qū)級(jí)四年級(jí)教師命題能力比賽時(shí)，出了這樣一道實(shí)際問題：

四（1）班同學(xué)全部參加隊(duì)列表演，小慧的位置無論從哪個(gè)方向看都是（4，4）。

（1）請(qǐng)為他們?cè)O(shè)計(jì)一下這個(gè)隊(duì)列。（用一個(gè)點(diǎn)●來表示1個(gè)人，小慧的位置用一個(gè)★表示）

（2）如果最外圈的同學(xué)都穿紅色運(yùn)動(dòng)服，那么需要準(zhǔn)備多少套紅色運(yùn)動(dòng)服？

該試題題型比較綜合，看似條件比較少，其實(shí)對(duì)學(xué)生的思維要求相對(duì)比較高。它將四年級(jí)下冊(cè)的數(shù)對(duì)知識(shí)和畫圖策略巧妙地結(jié)合起來，既考查了學(xué)生是否能根據(jù)數(shù)對(duì)想象出物體在具體情境中的位置，又考查了學(xué)生是否有能力靈活運(yùn)用畫圖策略解決問題。小慧的位置無論從哪個(gè)方向看都是（4，4），那么學(xué)生首先要思考的是：小慧的前、后、左、右分別有幾個(gè)人呢？對(duì)于部分學(xué)生來說，不借助幾何直觀，僅憑大腦想象是很難解決該題的，這就需要引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手畫一畫，充分發(fā)揮畫圖策略的優(yōu)勢(shì)，體驗(yàn)畫圖策略的有效性。通過數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生把抽象問題具體化、直觀化，從而使學(xué)生尋找到解決問題的突破口。

例如，2017-2018學(xué)年度第二學(xué)期無錫市小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)期末調(diào)研試卷中一道實(shí)際問題：

小華和小明分別從一座橋的兩端同時(shí)出發(fā)，往返于橋的兩端之間。小華的速度是65米/分，小明的速度是70米/分，經(jīng)過4分鐘兩人第一次相遇，這座橋長多少米？兩人從出發(fā)到第二次相遇，一共走了多少米？

這樣的行程問題，對(duì)學(xué)生而言具有一定難度，因?yàn)檫@里關(guān)系到兩個(gè)對(duì)象的運(yùn)動(dòng)方向及路程。面對(duì)如此復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，即便是平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中接觸過類似的習(xí)題，很多學(xué)生仍云里霧里不知如何是好。在這里，幾何直觀是解決這一類問題的最佳選擇，我們不妨借助線段和箭頭來表示行走的路程和方向，把這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)對(duì)象路程之間的數(shù)量關(guān)系直觀形象地表示出來。對(duì)比文字?jǐn)⑹觯镁€段圖來解決“行程”問題，可以化抽象的文字為形象、直觀的圖形，使抽象的數(shù)量關(guān)系直觀化，相對(duì)于文字表述線段圖更簡約，更方便學(xué)生理解題意尋求合適的方法解題。學(xué)生很容易就可以得出第一次相遇兩個(gè)一共走了一個(gè)橋長;第二次相遇兩人共走了3個(gè)橋長。甚至還可以繼續(xù)追問：第三次相遇，兩人走的路程一共是幾個(gè)橋長呢？

實(shí)踐證明，學(xué)生經(jīng)歷了抽象（題目）→形象（圖）→抽象（數(shù)量關(guān)系）的相互轉(zhuǎn)化的過程，才能真正理解問題的本質(zhì)。幾何直觀，使學(xué)生親身經(jīng)歷將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題抽象成簡約的數(shù)學(xué)圖形并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，讓學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面也得到進(jìn)一步提升和發(fā)展。

三、借助幾何直觀，變“模仿”為“內(nèi)化”

笛卡爾曾說過：“沒有圖形就沒有思考。”很多問題解決的靈感，往往來自學(xué)生頭腦中的幾何直觀。小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)主要以形象思維為主，他們?cè)趫D形與幾何的學(xué)習(xí)過程中，普遍感到空間思維比較抽象、難以理解。幾何直觀是學(xué)生空間觀念形成的基礎(chǔ)，我們要充分挖掘教材中的一些現(xiàn)有素材的內(nèi)涵與價(jià)值，幫助學(xué)生積累豐富的幾何表象，把學(xué)生的思維向高層次引導(dǎo)，使學(xué)生掌握知識(shí)本質(zhì)的同時(shí)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，提高思維的靈活性。

例如，六年級(jí)上冊(cè)“表面積的變化”中的例題：

用上面的兩個(gè)長方體拼成三個(gè)不同的大長方體，你有什么發(fā)現(xiàn)？

在實(shí)際教學(xué)中，首先讓學(xué)生動(dòng)手?jǐn)[一擺、指一指、說一說，了解幾種拼法，增強(qiáng)體驗(yàn)。同時(shí)要較好地體現(xiàn)出多媒體的優(yōu)勢(shì)，通過多媒體清晰直觀地演示2個(gè)相同的長方體可以拼成哪幾種不同的大長方體，使學(xué)生明白重疊的面越大，表面積減少得越多;重疊面越小，表面積減少得越少，讓學(xué)生的空間觀念和思維能力得到很好的鍛煉。

為了鞏固所學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考和解決問題的能力，筆者隨后設(shè)計(jì)了這樣一道專項(xiàng)訓(xùn)練習(xí)題：把一個(gè)長10厘米、寬8厘米、高6厘米的長方體切成兩個(gè)大小相等、形狀相同的長方體。切成的兩個(gè)長方體的表面積之和最大是多少平方厘米？

習(xí)題與例題相比，是例題的變式問題，通過這樣的變式，擴(kuò)大學(xué)生認(rèn)知的深度與寬度。習(xí)題的解決，簡單的模仿是行不通的，此時(shí)需要借助幾何直觀搭建思維跳板，幫助學(xué)生拓展思路，變“模仿”為“內(nèi)化”，理解習(xí)題是“形”變“質(zhì)”不變，從而打開解題的突破口。

【例1】練習(xí)題：學(xué)校一條走廊長6米、寬3米，走廊上鋪上邊長是3分米的正方形地磚，需要多少塊？

【例2】變式題：學(xué)校一條走廊長6米、寬4米，走廊上鋪上邊長是3分米的正方形地磚，需要多少塊？

【例3】練習(xí)題：一個(gè)長1.1米，寬0.9米的長方形紙片，剪成幾個(gè)直徑是2分米的圓，可以剪幾個(gè)？

解決例1時(shí)，學(xué)生最常見的解法是：用“塊數(shù)=大面積÷小面積”，得出60×30=1800（平方分米），3×3=9（平方分米），1800÷9=200（塊）。很少有學(xué)生能想到“總塊數(shù)=每行塊數(shù)×行數(shù)”這個(gè)數(shù)量關(guān)系。解決例2、例3時(shí)，如果學(xué)生還是借助已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和基礎(chǔ)，選用“塊數(shù)=大面積÷小面積”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)來解決，顯然是行不通的。像這樣類型的問題，五年級(jí)多邊形的面積單元學(xué)生們會(huì)接觸很多。對(duì)于圖形的密鋪，必須要借助幾何直觀，理解這一類題本質(zhì)都是一樣的，就是要去思考沿著長擺幾個(gè)，沿著寬擺幾排。

在實(shí)際的教學(xué)中，教師通常會(huì)通過實(shí)物、形體模型和圖形，生動(dòng)形象地描述幾何或其他數(shù)學(xué)問題，展開豐富多彩的空間聯(lián)想，直觀地反映和揭示問題的思路，形成表象，從而有效地解決問題。換句話說，隨著經(jīng)驗(yàn)的積累，這些經(jīng)常感知的直觀圖形會(huì)逐漸印刻在學(xué)生的腦海中，成為學(xué)生隨時(shí)可以提取的數(shù)學(xué)表象，它們是學(xué)生能及時(shí)展開數(shù)學(xué)想象的重要素材。學(xué)生大腦中的表象越豐富，他們?cè)绞侨菀装岩恍┏橄蟮膯栴}轉(zhuǎn)化成直觀的表象，也容易從直觀的表象中抽象出本質(zhì)特質(zhì)，也就是直觀思維能力越強(qiáng)，自然會(huì)變“模仿”為“內(nèi)化”。

四、借助幾何直觀，變“定勢(shì)”為“創(chuàng)造”

美國數(shù)學(xué)家斯蒂思曾說過： “如果一個(gè)特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形， 那么就整體地把握了問題的實(shí)質(zhì)?！薄耙孕沃鷶?shù)” 中的“形”，或有形或無形。若有形，則可為圖表與模型;若無形，則可另行構(gòu)造或聯(lián)想。因此“以形助數(shù)”的途徑大體有三種情形：第一是運(yùn)用圖形;第二是構(gòu)造圖形;第三是借助代數(shù)式的幾何意義。在實(shí)際教學(xué)中很多復(fù)雜問題的解決可以根據(jù)問題中“數(shù)”的結(jié)構(gòu)，另辟蹊徑構(gòu)造出與之相應(yīng)的“形”，并利用這些“形”的特征及規(guī)律來尋求解決問題的方法，避免一些復(fù)雜的數(shù)字討論。

例如，教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”這一內(nèi)容時(shí)，教材上安排了這樣一道習(xí)題：

教學(xué)片段如下：

出示+++，計(jì)算出結(jié)果。通過通分，學(xué)生很快得到+++=。

變式：++++…+。追問：你還愿意用通分的方法來計(jì)算嗎？學(xué)生頓時(shí)茫然。

設(shè)疑：這道題的各個(gè)加數(shù)很有特點(diǎn)，依次是，，，，…。我們常說遇到難題可以借助圖形解決，那么可不可以畫圖呢？

學(xué)生討論，多媒體出圖：我們不妨用一個(gè)大正方形代表單位“1”，將這個(gè)大正方形平均分成2份，就可以得到，再平均分得到，繼續(xù)平均分……（如上圖）。 引導(dǎo)學(xué)生看圖，得出+++=1-=。

探究規(guī)律：如果繼續(xù)平均分下去，++++結(jié)果是多少呢？再一次次平均分下去，直到+++++…+，你能很快得出結(jié)果嗎？如果直到+++++…+呢？

【例4】探索規(guī)律：

例4也是一道比較典型的探索規(guī)律題，就學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)而言，學(xué)生解決這道題的第一選擇就是直接計(jì)算。參與計(jì)算的數(shù)比較少，這是一個(gè)好方法;若參與計(jì)算的數(shù)多，這就是一道復(fù)雜的數(shù)字干擾問題。很多抽象的數(shù)學(xué)問題都可以轉(zhuǎn)化成可借用的幾何直觀問題，解決這道題，巧妙地借助點(diǎn)子圖，幫助學(xué)生將復(fù)雜的數(shù)字討論立刻切換成直觀的表象，使學(xué)生能更好地從直觀的表象中抽象出問題的本質(zhì)屬性，探究出這一類問題的規(guī)律，感受到幾何直觀的價(jià)值。像這樣，教師通過編選一些特定的問題，借助幾何直觀，幫助學(xué)生不從頭腦中已有的思維形式和思維方法中去找答案，而是對(duì)問題的本身進(jìn)行具體的分析、進(jìn)行一系列的探索性思維活動(dòng)，使頭腦中已有的思維方式實(shí)現(xiàn)大跨度地遷移，從可供選擇的途徑中篩選出解決問題的最佳方法，變“定勢(shì)”為“創(chuàng)造”。

其實(shí)在小學(xué)課堂教學(xué)中，像這樣的例子還有很多，比如分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算、畫圖策略、圓柱圓錐體積的計(jì)算等，這些具體的問題的背景和情境不同，運(yùn)用的直觀方法也大不相同，但都很好地體現(xiàn)了“幾何直觀”這個(gè)常用的數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)習(xí)題教學(xué)與訓(xùn)練中的應(yīng)用?？傊皫缀沃庇^”作為新課標(biāo)提出的核心概念，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的思考問題的方法，它在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有非常重要的意義?！皵?shù)”與“形”的聯(lián)袂而行，讓小學(xué)數(shù)學(xué)的習(xí)題教學(xué)與訓(xùn)練，真正實(shí)現(xiàn)了“化難為易、化繁為簡、化隱為顯”的目的。

【參考文獻(xiàn)】

[1]許新征.對(duì)幾何直觀的認(rèn)識(shí)與教學(xué)思考[J].教育研究與評(píng)論，2012（10）.

[2]蔡杰.也談“幾何直觀”的認(rèn)識(shí)及運(yùn)用[J].課程教育研究，2012（35）.