引導發現法在“微分的定義”教學中的應用

位剛　劉迎洲　庹文麗　楊小鋒　李禎

摘要：引導發現法是培養學生創新思維能力的一種基本教學方法。這種教學方法還原了知識的發現過程，讓學生在探索過程中獲取知識。高等數學（或微積分）是大學理工科、農科學生的一門重要基礎課，將引導發現法應用于高等數學課堂教學，既能提高學生學習數學的積極性和主動性，提高教學效果，又能培養學生的問題意識和創新思維能力。文章結合該作者的教學實踐，對“一元函數的微分”這一部分內容進行了引導發現法教學。

關鍵詞：引導發現法;高等數學;微分;導數

中圖分類號：G642.0? ? ?文獻標志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2020）16-0286-02

高等數學是大學理工科、農科專業學生必修的一門基礎課程，微積分是其重要內容。通過本課程的學習，學生不僅能夠掌握微積分的基本概念、基本定理，可以應用微積分的知識解決一些實際問題，而且在這個過程中能夠掌握相應的數學思想。李大潛說過，數學的教改應該使學生領會到數學的精神實質和思想方法，而忽略了數學思想對學生的熏陶以及學生素質的提高，就失去了數學課程最本質的特點和要求。

“發現法”是美國著名認知心理學家布魯納積極倡導的一種教學方法。布魯納認為：“發現不限于那種尋求人類尚未知曉之物的行為，正確地說，發現包括用自己的頭腦親自獲得知識的一切形式?！彼鲝埌褜W生視為“發現者”，教師不給任何啟發和幫助。他認為，這種學習方式可以最大限度地發揮學生的積極性、主動性和創造性，啟迪學生的智慧，培養他們的探索能力和獨立獲取知識的能力。20世紀70年代傳入中國后，我國教育家將“發現法”引申為“引導發現法”，主張在必要時，教師可以適當給予學生一點“引導”。因此“引導發現法”是將“發現法”與“引導法”結合起來的一種教學方法，具有能夠培養受教育者創新意識與創新精神的特點，其核心是：在教師的引導下，學生運用已學過的知識和技能，通過對教師所提供的材料內容進行學習，自己探索前人的發現過程，“發現”知識，由此使學生提出問題、探索問題及解決問題的能力以及創新精神得到培養。筆者結合自己多年的教學實踐，就一元函數中“微分的定義”這一內容采用了引導發現法授課，還原了一元函數微分的定義及相關定理的創建過程，既讓學生理解和掌握了知識，提高了學習的興趣，更重要的是讓學生在教師的引導下，經歷了“發現問題—提出猜想—驗證猜想”的探索過程，掌握了數學思想方法。一元函數“微分的定義”及相關定理的教學過程具體如下。

一、創設情境，讓學生觀察函數增量的規律

在引導發現法教學中，最重要的是創設情境，讓學生從中發現規律，總結規律?，F有教材中一元函數微分的定義大多由一個具體問題引出，即分析正方形邊長增加引起的面積函數增量特點，并據此給出微分的定義、相關定理。有的教材甚至沒有引例，直接給出微分的定義。通過一個例子，就給出定義，學生往往還是不太明白為什么要給出微分的定義。如果能從一開始多給幾個引例，引導學生從中發現規律，效果要好得多。因此本節課開始先給出兩個引例，并提出問題：這兩個面積函數的增量有什么特點？引起學生討論。例1：正方形的邊長x增加Δx時，面積增加了多少？計算得正方形面積增量：ΔS=（x+Δx）-x=2xΔx+（Δx）。例2：圓的半徑r增加Δr時，面積增加了多少？計算得圓的面積增量：ΔS=π（r+Δr）-πr=2πrΔr+π（Δr）。引導學生發現共同點：這兩個函數增量都等于兩部分之和，其中第一部分是一個常數（第一個函數增量中是2x，第二個函數增量中是2πr）與自變量增量的乘積，且是函數增量的主要部分，第二部分是自變量增量的高階無窮小，是函數增量的次要部分。再給出第三個引例，同樣是計算自變量變化引起的函數增量問題。例3：球的半徑r增加Δr時，體積增加了多少？計算得球的體積增量：ΔV=π（r+Δr）-πr=4πrΔr+4πr（Δr）+π（Δr）。提出問題：該體積函數的增量是否也具有前面兩個例題中函數增量的特點？學生可能會回答：這個函數增量是三部分之和。引導學生：能不能也看作是兩部分之和？經過觀察，學生很快就會發現該函數增量也可以看作兩部分之和，其中第一部分是4πrΔr，即常數4πr與自變量增量Δr的乘積，也是函數增量的主要部分;第二部分是4πr（Δr）+π（Δr），是自變量增量Δr的高階無窮小。三個不同的函數，的函數增量卻展示出了共同的結構形式，拋開這些問題的實際意義，引導學生用數學語言總結這些函數所具有的共同特征：設函數y=f（x）在點x及其鄰域內有定義，給x一個增量Δx，則函數增量能夠表示為：Δy=AΔx+ο（Δx）。提出問題：函數增量所具有的這種特征是否具有普遍性？同時給出引例4：計算函數y=x在點x=0的增量。顯然函數增量：Δy=0+Δx-0=Δx，不具有前面幾個例題中函數增量的特點。因此有必要將這兩類函數區分開來，區分的依據，就是函數在一點的增量是否具有例1、例2和例3中的特征。具有這種特征，我們就稱函數在該點可微;否則，稱函數在該點不可微。即設函數y=f（x）在點x及其鄰域內有定義，給x一個增量Δx，如果函數增量Δy=f（x+Δx）-f（x）能夠表示為Δy=AΔx+ο（Δx），則稱函數y=f（x）在點x是可微的，而AΔx叫函數在點x相應于自變量增量的Δx微分。但是這個可微的定義和書上的定義還有差別，讓學生將這個定義和教材中的定義進行比較，發現教材中多了一句話：其中A是不依賴自變量增量的常數。提出問題：是不是我們前面的觀察還不夠仔細？函數增量必定與函數、點和自變量增量有關，如果A不依賴于自變量增量，那么它依賴于什么？讓學生仔細觀察并討論，并適時引導學生：A會不會與函數和點有什么關系？觀察結果：在例1中：A=2x=S′（x），例2中：A=2πr=S′（r），例3中：A=4πr=

S′（x），即A恰好等于函數在該點的導數。提出問題：對于可微函數，這是巧合，還是必然規律？

二、猜想

基于對最前面三個例題中函數增量的特點觀察，提出猜想：對于可微函數，A恰好都等于函數在該點的導數不是偶然現象，而是普遍規律。即：若函數y=f（x）在點x可微，則函數增量Δy=AΔx+ο（Δx）中的A恰好等于f′（x）。同時提出問題：如果是普遍規律，是不是意味著可微一定可導？再提出問題：可導是否一定可微？

三、驗證猜想

引導學生觀察，可微則：Δy=AΔx+ο（Δx），只要給等式兩邊同除以Δx，再取極限，即可證明f′（x）=A。若函數在點x處可導，則的極限值存在，不妨將該極限值記作A，即f′（x）==A，則根據函數極限與無窮小的定理有：=A+α，其中α→0，（當Δx→0）。由此又有Δy=AΔx+αΔx，而αΔx=ο（Δx），因此可導一定可微。至此，微分相關定理的提出水到渠成：函數y=f（x）在點x可微的充分必要條件是函數y=f（x）在點x處可導，且A=f′（x），即df（x）=f′（x）Δx。

這樣就在教師不斷的問題引導下，通過學生的觀察、探索，還原了“微分定義及相關定理”的創建過程。讓學生在學到知識的同時，也獲得了巨大的樂趣，減少了學生對高等數學的畏難心理，激發了學習興趣，同時也培養了學生的創造性思維能力，為他們將來在其他學科的學習和創新，提供了思想方法。

最后要強調的一點：盡管引導發現法是高等數學教學中培養創新型人才的一種非常有效的方法，但是并非所有的教學內容都適合運用該方法。作為教師必須非常熟悉教學內容，因此有必要多了解、參考國內外優秀教材的編寫方法和特點，選擇適合學生再發現活動的定義或定理，并給予恰當的教學設計，才能在教學過程中更好地重復前人的發現過程，同時最大限度地彌補該方法耗費時間的缺陷。

參考文獻：

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[2]邵瑞珍.布魯納的課程論[M].人民教育出版社，1979：27.

[3]同濟大學數學系.高等數學（第七版）[M].高等教育出版社，2014：110.

The Application of Guiding Discovery Method in the Teaching of "Definition of Differentiation"

WEI Gang，LIU Ying-zhou，TUO Wen-li，YANG Xiao-feng，LI Zhen

（College of Science，Northwest A&F University，Yangling，Shaanxi 712100，China）

Abstract：Guiding discovery is a basic teaching method to cultivate students' innovative thinking ability.This method restores the process of knowledge discovery and enables students to acquire knowledge in the process of exploration.Advanced mathematics （or calculus） is an important basic course for students of science，engineering and agriculture.It can not only increase? enthusiasm and initiative of students to learn mathematics，improve teaching effect，but also cultivate? problem consciousness and innovative thinking ability of students.Combined with my own teaching practice，this paper conducts the guided discovery teaching on the part of "differential of unitary function".

Key words：guided discovery;advanced mathematics;differential;derivative

收稿日期：2019-05-22

基金項目：本文受西北農林科技大學教學改革項目的資助（JY1703124）

作者簡介：位剛（1980-），男（漢族），陜西興平人，碩士，講師，研究方向：應用數學。