串聯(lián)模塊式航天器基頻分解技術(shù)研究

蔡一波 杜冬 孔祥宏 胡夢遙 陶炯明

(上海衛(wèi)星工程研究所，上海 201109)

空間站、深空探測等航天任務(wù)是當(dāng)前及后續(xù)航天活動的重要內(nèi)容，大型化模塊化是其主要特征。這些航天器在發(fā)射過程中要經(jīng)受嚴(yán)酷的力學(xué)環(huán)境，其中重要的一部分就來源于通過星箭對接面?zhèn)鬟f的低頻振動環(huán)境[1-2]，為了防止結(jié)構(gòu)受到損壞，航天器的固有頻率應(yīng)避免與運載火箭的固有頻率發(fā)生耦合，因而在設(shè)計時就要對航天器的固有頻率給予考慮。運載研制方對航天器研制方提出的基頻要求是針對整星的要求，但航天器各個模塊的設(shè)計常常是分配給各分系統(tǒng)研制單位的，例如擬于2020年發(fā)射的火星探測器，其環(huán)繞器和著陸器就是由不同單位研制的。因為當(dāng)前理論研究的缺失和工程方法的不完備，還缺乏有效的分解方法，很容易出現(xiàn)單個模塊設(shè)計指標(biāo)難以明確或反復(fù)調(diào)整，航天器整體固有頻率不滿足要求導(dǎo)致重復(fù)設(shè)計的情況。所以在研制初期，設(shè)計人員往往為了避免上述情況發(fā)生，制定更保守的指標(biāo)，留出較大的余量，但這樣會帶來不必要的設(shè)計代價。

文獻[3]提出開展結(jié)構(gòu)動態(tài)設(shè)計的研究，力爭在初樣階段就全面地考慮對結(jié)構(gòu)的靜、動等各方面的要求，是提高設(shè)計水平的一個重要途徑。文獻[4]認(rèn)為在航天器研制過程中，如何通過設(shè)計要求分配和指標(biāo)分解等頂層設(shè)計實現(xiàn)整形動力學(xué)特性的優(yōu)化和控制，一直是亟待攻克的技術(shù)難題。因此，在總體方案制定初期，應(yīng)通過對整星進行合理的動力學(xué)研究和設(shè)計[5-8]，實現(xiàn)各模塊研制單位設(shè)計的“快、好、省”，進而縮短研制周期，避免“過設(shè)計”，提高衛(wèi)星載重比。

為了解決彈性連續(xù)體基本固有頻率分解的問題，文獻[9]提出了一種基于約束子結(jié)構(gòu)法的剛度分解方法。此方法雖然成功地求出了連續(xù)體結(jié)構(gòu)基本固有頻率的下限，但下限公式中的參數(shù)實際物理意義并不明確，難以在工程中進行測量和判斷，限制了可操作性。文獻[10-11]也根據(jù)分解剛度法，分別對某衛(wèi)星和30 m望遠鏡三鏡系統(tǒng)的基頻進行了分解，但兩者在應(yīng)用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)時誤差都較大。文獻[12]基于懸臂梁假設(shè)，求得一般情況下串聯(lián)懸臂梁結(jié)構(gòu)基頻的解析解，并將其簡化為3種極端情況下的理想模型，定性分析了理想模型與實際模型之間基頻的誤差，但沒有給出嚴(yán)格理論證明，而且沒有對復(fù)雜模型的適應(yīng)性進行分析。

本文在參考文獻[12]的基礎(chǔ)上，從簡單的串聯(lián)懸臂梁分析到復(fù)雜的衛(wèi)星結(jié)構(gòu)，利用蒙特卡洛算法評估誤差大小，從工程上為航天器總體設(shè)計提出一種行之有效、操作簡便且不失精確的頻率指標(biāo)分解方法。

1 理論證明

多自由度系統(tǒng)振動的基頻滿足如下瑞利商公式

(1)

式中：K和M分別表示系統(tǒng)的剛度陣和質(zhì)量陣；φ表示振型空間Η內(nèi)的任意振型。當(dāng)φ使瑞利商取極小值時，ω0對應(yīng)系統(tǒng)的基頻，φ對應(yīng)基頻的振型。

對于底部固定的航天器而言，K和M均為對稱正定陣。定義系統(tǒng)參數(shù)變化ΔK和ΔM，系統(tǒng)參數(shù)變化后的基頻表達式為

(2)

如果ΔK正定，ΔM負定，對?φ∈Η

(3)

所以必有

(4)

式(4)表明，將系統(tǒng)中的任意一個局部區(qū)域剛度增大或者質(zhì)量減小，同時保持該區(qū)域與其它部分的連接關(guān)系不變，則新系統(tǒng)的基頻必定高于原系統(tǒng)的基頻。

對于大型串聯(lián)模塊航天器而言，發(fā)射狀態(tài)下為底部固支結(jié)構(gòu)，如圖1所示。

圖1 航天器串聯(lián)模塊示意圖Fig.1 Schematic diagram of satellite tandem structure

圖1以連接界面為分割線，上部為附加模塊，底部為基礎(chǔ)模塊。選擇將附加模塊的剛度提升到無窮大即成為理想剛體，系統(tǒng)基頻必然會提升但只要基礎(chǔ)模塊存在就不會趨于無窮，可以作為逼近策略之一，定義為系統(tǒng)Ⅰ。同理，將基礎(chǔ)模塊的質(zhì)量降低到零即成為理想彈簧，系統(tǒng)基頻必然也會提升但只要附加模塊存在就不會趨于無窮，作為逼近策略之二，定義為系統(tǒng)Ⅱ。在系統(tǒng)Ⅱ的基礎(chǔ)上又提升附加模塊的剛度到無窮大(或者在系統(tǒng)Ⅰ的基礎(chǔ)上又降低基礎(chǔ)模塊的質(zhì)量到零)，系統(tǒng)基頻還會進一步提升但同樣不會趨于無窮，這個簡單系統(tǒng)由理想彈簧和剛體組成，便于快速估算，定義為系統(tǒng)Ⅲ。現(xiàn)實系統(tǒng)定義為系統(tǒng)Ⅳ。那么4個系統(tǒng)之間的基頻必然存在如下關(guān)系：

ω0,Ⅳ<ω0,Ⅰ<ω0,Ⅲ,ω0,Ⅳ<ω0,Ⅱ<ω0,Ⅲ

(5)

或

ω0,Ⅳ

(6)

至此，我們嚴(yán)格證明了文獻[12]基于數(shù)值分析提出的猜想，即對于多自由度系統(tǒng)，3種理想模型的基頻為真實模型基頻的上限。同時還要指出，文獻[12]計算的9種狀態(tài)所繪制的個別曲線圖出現(xiàn)了系統(tǒng)Ⅳ基頻略高于系統(tǒng)Ⅰ、Ⅱ的情況，顯然與理論證明結(jié)果式(6)不符。因為其在計算懸臂梁基頻ω時采用了靜變形假設(shè)，這也是推導(dǎo)過程中唯一的誤差來源，而ω大于懸臂梁基頻的精確解ω＇，進一步導(dǎo)致串聯(lián)懸臂梁的計算結(jié)果也略微偏離了理論證明結(jié)果。

(7)

式中：懸臂梁抗彎剛度為EI；密度為ρ；長度為L。

另外，底部固支的航天器，與懸臂梁特性接近，我們知道其一彎模態(tài)、扭轉(zhuǎn)模態(tài)和縱向模態(tài)振型特征差異鮮明，各自的振型空間是彼此無交集的，可將振型空間Η分解出3個不相交的子空間，即一彎振型子空間ΗB、扭轉(zhuǎn)振型子空間ΗT和縱向振型子空間ΗL。式(5)針對指定的子空間仍然適用，這意味著，無論是一彎的基頻、還是扭轉(zhuǎn)或縱向的基頻，都可以借助模型Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ系統(tǒng)分別對一彎、扭轉(zhuǎn)或縱向的基頻進行分析。本研究的基本思想就是用ω0,Ⅰ和ω0,Ⅱ逼近ω0,Ⅳ，并試圖評估逼近誤差。

2 數(shù)值解析計算

用ω0,Ⅰ和ω0,Ⅱ逼近ω0,Ⅳ，關(guān)鍵問題是逼近誤差。量綱分析指出[12]，結(jié)構(gòu)共振頻率與材料模量、密度和結(jié)構(gòu)幾何尺度有關(guān)。分析可知，當(dāng)給定幾何尺度，附加模塊相比于基礎(chǔ)模塊剛度或材料模量越大，其本身就越接近于剛體，則ω0,Ⅳ就會越接近ω0,Ⅰ。基礎(chǔ)模塊質(zhì)量或材料密度相比于附加模塊越小，其本身就越近似于零質(zhì)量彈簧，則ω0,Ⅳ就會越接近ω0,Ⅱ。分割線(連接界面)越靠近底部固支區(qū)域，基礎(chǔ)模塊外形尺度相對于附加模塊就越小，則其質(zhì)量相對于附加模塊就越小，剛度相對附加模塊就越大，對應(yīng)地ω0,Ⅰ就會越偏離ω0,Ⅳ，ω0,Ⅱ就會越接近ω0,Ⅳ，反之，連接界面越遠離底部固支區(qū)域，ω0,Ⅱ就會越偏離ω0,Ⅳ，ω0,Ⅰ就會越接近ω0,Ⅳ。

串聯(lián)懸臂梁模型如圖2所示，其中y(x)為變形位移，基礎(chǔ)模塊梁密度為ρ1，抗彎剛度為E1I1，長度為a，附加模塊梁密度為ρ2，抗彎剛度為E2I2，長度為b，l為串聯(lián)梁總長，y0為懸臂梁末端位移。定義基礎(chǔ)模塊梁和附加模塊梁長度、模量和密度之比分別為

(8)

圖2 串聯(lián)懸臂梁簡化圖Fig.2 Simplified diagram of tandem cantilever

但上述計算中存在以下不足：①基礎(chǔ)模塊和附加模塊梁的密度和模量都是均勻的，而實際工程中結(jié)構(gòu)的材料特性并非如此；②計算所用的公式是利用靜變形推導(dǎo)出來的，存在誤差；③只能計算一階橫向基頻。因此，仍需利用仿真對更一般的情況進行更準(zhǔn)確的分析。

表1 不同材料特性最大頻率誤差和界面位置

3 建模仿真計算

在實際工程設(shè)計中，工程師們不僅需要考慮結(jié)構(gòu)的一階橫向頻率，往往也需要考慮一階縱向頻率和繞縱軸的一階扭轉(zhuǎn)頻率大小。因此為了進一步準(zhǔn)確分析理想模型和實際模型3種頻率之間的誤差大小，現(xiàn)通過有限元分析，結(jié)合Abaqus軟件二次開發(fā)功能，利用python語言編寫腳本，實現(xiàn)在不同結(jié)構(gòu)和材料參數(shù)下的循環(huán)建模仿真，并分析數(shù)據(jù)。

3.1 串聯(lián)懸臂梁建模仿真

將均勻截面串聯(lián)懸臂梁分成數(shù)個單元，劃分基礎(chǔ)模塊和附加模塊的界面在單元間連續(xù)變化，同時借鑒蒙特卡洛算法的思想，以最底部1個單元為基準(zhǔn)，隨機對其余單元賦材料密度和剛度特性，共計9000種情況，通過計算分別得到理想模型與實際模型3種頻率對應(yīng)的散點圖，如圖3所示，其中橫坐標(biāo)為界面位置，縱坐標(biāo)為對實際模型歸一化后頻率(無量綱)大小。

圖3 變界面串聯(lián)懸臂梁頻率曲線圖Fig.3 Frequency curve of tandem cantilever beam with variable interface

由計算所得離散數(shù)據(jù)可得：一階橫向彎曲頻率最大誤差約為14.12%，一階縱向頻率最大誤差約為14.40%，一階扭轉(zhuǎn)頻率最大誤差約為14.40%。由前文分析可知，當(dāng)結(jié)構(gòu)材料確定，ω0,Ⅰ=ω0,Ⅱ時，理想模型與實際模型的頻率誤差最大，但離散數(shù)據(jù)點對應(yīng)的ω0,Ⅰ和ω0,Ⅱ不一定相等。

因此為獲得更準(zhǔn)確的誤差上限，利用離散數(shù)據(jù)求得立方插值曲線(見圖3)，找出兩理想模型頻率曲線的交點，視為最大誤差對應(yīng)位置。其中，一階橫向彎曲頻率最大誤差為14.12%，一階縱向頻率最大誤差約為14.61%，一階扭轉(zhuǎn)頻率最大誤差約為14.61%。

綜上所述，對于任意的串聯(lián)懸臂梁結(jié)構(gòu)，我們進行了大量的仿真計算，得到了足夠多的數(shù)據(jù)表明：在工程應(yīng)用范圍內(nèi)，將其在任意界面劃分為基礎(chǔ)模塊和附加模塊，其兩種理想模型和實際模型的一階頻率誤差上限為15%。但這一結(jié)論背后的理論原理尚不明了。

而對于串聯(lián)模塊式復(fù)雜結(jié)構(gòu)而言，我們可以提出猜想，其兩種理想模型和實際模型的一階頻率誤差上限也為15%，并利用仿真分析進行驗證。

3.2 串聯(lián)艙段衛(wèi)星建模

串聯(lián)艙段衛(wèi)星雖然一定程度上可以近似簡化為懸臂梁結(jié)構(gòu)，但兩者之間必定存在誤差，為驗證前文的結(jié)果，本節(jié)進行復(fù)合材料串聯(lián)艙段衛(wèi)星不同材料參數(shù)情況下的循環(huán)仿真分析。

表1為不同材料參數(shù)下(θ、β)理想模型與實際模型3種頻率的最大誤差。

表2 串聯(lián)衛(wèi)星不同材料頻率最大誤差

由表2可知，在串聯(lián)艙段衛(wèi)星尺寸固定時，改變其材料參數(shù)，當(dāng)θ=10,β=25時，理想模型與實際模型一階橫向彎曲頻率的誤差最大，為13.04%；當(dāng)θ=25,β=20時，一階縱向頻率誤差最大，為14.96%；當(dāng)θ=3,β=20時，一階扭轉(zhuǎn)頻率誤差最大，為13.33%。圖4分別為β=25和β=20時的歸一化后頻率曲線圖，其中橫坐標(biāo)為θ以10為底取對數(shù)，縱坐標(biāo)為頻率大小。

由上述誤差可知3.1節(jié)的猜想成立，即串聯(lián)艙段衛(wèi)星理想模型與實際模型一階頻率的誤差上限為15%。

4 結(jié)論

根據(jù)上述分析，可以提出一種串聯(lián)艙段衛(wèi)星一階頻率總體指標(biāo)的分解方法。

在衛(wèi)星研制初期階段，各分系統(tǒng)研制部門應(yīng)估算附加模塊的質(zhì)量特性，包括質(zhì)量、質(zhì)心和慣量，以及整星的外形尺寸，再利用單自由度彈簧振子原理，結(jié)合估算出的質(zhì)量特性和運載對整星的頻率要求ω0，估算出基礎(chǔ)模塊的等效靜剛度，包括線剛度、角剛度和耦合剛度，最后對各分系統(tǒng)研制部門有如下要求。

(1)對于基礎(chǔ)模塊研制部門：基礎(chǔ)模塊在頂部連接了質(zhì)量特性與附加模塊完全相同的剛體之后，一階橫向彎曲(縱向、扭轉(zhuǎn))頻率應(yīng)高于1.15ω0，且界面連接剛度要大于估算出的基礎(chǔ)模塊等效靜剛度。

(2)對于附加模塊研制部門：附加模塊在底部連接了剛度特性與估算所得基礎(chǔ)模塊等效靜剛度相同的無質(zhì)量彈性單元后，一階橫向彎曲(縱向、扭轉(zhuǎn))頻率應(yīng)高于1.15ω0，且附加模塊的質(zhì)量特性應(yīng)小于估算值。

本文結(jié)合懸臂梁理論提出了一種串聯(lián)艙段衛(wèi)星總體頻率指標(biāo)的分解方法，對于一階橫向彎曲、一階縱向和一階扭轉(zhuǎn)頻率都有較高的精度。該方法可以有效降低設(shè)計代價和設(shè)計風(fēng)險，提高載重比，為合理設(shè)計衛(wèi)星結(jié)構(gòu)和分配質(zhì)量提供關(guān)鍵性支持。存在不足的地方是該方法的普適性仍需要進一步的理論研究和證明，望在今后的研究中能夠有所突破。