小學高段學生幾何識圖能力培養路徑探析

李愛蓮

[摘要]幾何識圖能力的培養不僅有助于指導小學高段學生學習幾何知識、鍛煉空間想象能力，而且有助于培育小學高段學生的圖形信息搜索能力和數形結合能力。教師應通過轉化、數形結合、小組合作等方式不斷提高學生的空間觀念與幾何識圖能力，進而培養其數學核心素養。

[關鍵詞]小學數學;高段;幾何識圖能力;轉化;數形結合

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020）11-0032-03

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中“圖形與幾何”板塊主要包括四個方面，即圖形的認識、圖形的測量、圖形的運動、圖形與位置，目標是培養學生的幾何直觀和空間觀念。幾何識圖能力的培養與“圖形與幾何”的課程內容有著密切聯系，創新小學高段學生幾何識圖能力的培養路徑，須進一步培養學生讀圖、析圖、畫圖、用圖的能力，從而提高學生利用數形結合解決問題的能力。

一、走進生活，提高讀圖能力

數學源于生活，但又具有一定的抽象性。空間與圖形相關知識的教學要以學生的認知水平與經驗為起點，為其形成良好的空間、抽象觀念提供更多元、更豐富的感性素材。

教材中就有十分豐富的幾何圖形.教師教學時要注意數形結合，特別是在算術教學中指導學生觀察圖形、認識圖形，通過模型或者圖片參與到幾何識圖的過程中，從而感受到幾何知識是對現實問題的抽象。例如，在講解三角形具有穩定性時，先出示大橋圖片，指出相鄰兩根斜拉索與橋面形成三角形;再出示校門口的伸縮門圖片，學生觀察得出組成伸縮門的基本圖形是四邊形，門可以伸縮，說明四邊形是不穩定的;最后再舉例生活中的桌子晃動問題，通過釘上木條，形成三角形，使桌子停止晃動。通過這些例子，使學生充分認識到三角形具有穩定性的特性。

教師也可以指導學生多方位、多角度地對照、觀察、識別各種實物、模型、直觀圖，從而了解并熟悉構成幾何圖形的基本元素，讓學生能夠熟練地將直觀圖分解為基本的幾何元素，并且能動手畫出一些常見的幾何圖形。例如，在認識長方形的過程中，先引導學生觀察生活中常見的長方形物體，如課本、課桌、門窗等，并用直尺、量角器等測量工具測量圖形，初步認識長方形的基本特征（4個角都是直角，對邊相等）;再引導學生觀察不同的長方形以及與長方形相似的幾何圖形（平行四邊形、梯形），讓學生進行對比、識別，從而掌握長方形的基本特征。

二、圖形轉化，提升析圖能力

小學高段學生逐漸從具體形象思維轉向抽象邏輯思維，但仍以具體形象思維為主去認識事物。在提升學生幾何識圖能力之初，教師可以將直觀圖進行分解，抽出一部分讓學生先認識圖形各方面的特征，再從整體上對圖形進行認識。從部分到整體的教學也是融人圖形轉化的策略，如平行四邊形、三角形以及梯形的面積公式都是通過將原圖形切割、移補或組合，轉化為長方形、平行四邊形來推導的;圓柱的體積公式是通過轉化為長方體來推導的。

1.“靜”轉化為“動”，分析關系

圖形變換其實可以看作圖形運動。例如，教學“圓的周長”時，筆者通過圖形轉換，讓學生感受到圓的周長可能與直徑存在一定關系。筆者還讓學生根據之前學習的知識思考：“正方形的周長是邊長的4倍，長方形的周長是其長寬之和的2倍，那么圓的周長和直徑會不會存在一定的倍數關系？如果存在，會是幾倍呢？”筆者讓學生觀察圖l，并在正方形里畫出一個最大的圓，再在圓內畫出一個最大的正六邊形，最后提出自己的猜想。

問題1：哪個圖形的周長最長，哪個圖形的周長最短？

問題2：正方形、正六邊形的周長分別是圓的直徑的多少倍？

問題3：圓的周長大約是其直徑的多少倍？

前兩個問題學生只需觀察與分析就可以得出正確答案：圓的周長比正方形的短，比正六邊形的長;正方形的周長是圓的直徑的4倍，正六邊形的周長是圓的直徑的3倍。由此可以分析出問題3的答案：圓的周長與直徑的倍數關系應該在3-4之間，所以圓的周長，直徑=3.（？）。通過多種幾何圖形的特征對比實現圖形間的轉化，古代圓周長計算正是這樣探索出來的。啟發式的設問讓學生將腦海中靜態的幾何圖形轉為動態，從而理解圓周長與其直徑的關系，為學生進一步掌握圓周長計算公式打下了基礎。

2.畫圖分割轉化，分析信息

數學學習中，僅憑顯性數學信息往往很難解決問題，有很多必要的數學信息是內隱的，需要學生充分利用經驗和所學知識去多角度解讀。放在“圖形與幾何”中，則需要學生通過分割和轉化，分析有關信息。例如：如圖2所示，你能算出陰影部分的面積嗎？

圖中繁多的數據讓學生頭昏眼花，有些學生還沒有分析題目就已經放棄了。教師可以對已有圖式做出改進，幫助學生將題目中的信息進行恰當的演變，如啟發學生進行想象，或是對圖形進行相應的移補，又或是畫上幾條輔助線將圖形進行分割，就能把復雜的數學問題剖析透徹，降低問題的難度，從而輕松整理出解題思路。

方法1：想象

把兩個一模一樣的正方形如圖3所示疊在一起，空白部分是兩個相同的小正方形，陰影部分的面積就等于兩個大正方形的面積減去兩個小正方形的面積。因此，解題所需要的信息只是大正方形的邊長和小正方形的邊長。

方法2：移補

把其中一個正方形向上或向下平j方形（如圖4）。學生一眼就能夠看出長方形的長是9厘米，寬是6厘米，此時利用長方形面積公式就能計算出陰影部分的面積。

方法3：分割在圖中添加適當的輔助線，把陰影部分分割成6個完全相同的小正方形，陰影部分的面積就是這6個小正方形面積之和。因此，解題時只需要知道小正方形的邊長。

從以上案例可以發現，將圖形進行適當的運動，如想象、移補、分割等，把不規則圖形變成規則圖形，有利于降低問題的難度，從而整理出解題思路。“圖形與幾何”的有關問題中經常會出現一些多余的數學信息，對學生思維產生干擾。當學生能正確判斷哪些數學信息是多余的，哪些是需要轉化的時候，就說明學生真正地領悟了數學信息之間的聯系。而明辨數學信息既是學生對數學知識掌握的過程，也是學生個體智慧的訓練過程。

三、數形結合，提升辨圖能力

“數”與“形”兩者之間是相對應關系，數形結合就是把抽象、復雜、難懂的數學符號、語言、關系與直觀形象的幾何圖形結合起來。換句話說，數形結合就是把復雜抽象思維與直觀形象思維相結合。這樣做可以把復雜的問題變簡單，把抽象的問題變得具體形象。數形結合數學思想方法在小學數學教學中有著十分廣泛的應用，在幾何圖形教學中更為突出，對比辨析地運用這種教學思想，可以獲得事半功倍的效果。

1.巧用圖形組題，讓學生明辨其規律

例如：圖6中，擺1個正方形用了4根小棒，擺2個正方形用了7根小棒，像這樣擺下去，擺5個正方形用（）根小棒，擺n個正方形用（）根小棒。

筆者讓學生接著畫一畫擺3個正方形、4個正方形，觀察各需要幾根小棒。學生發現，每增加1個正方形就多用3根小棒，由此很快得到第一個結論：每增加1個正方形就多用3根小棒，因此擺5個正方形需要16根小棒。筆者再引導學生觀察數據，學生發現從4→7→10→13→16，這組數據的變化規律可以用算式表示：3x1+1→3x2+1→3x3+1→3x4+1→3x5+1。筆者問：“每個算式里都有一個‘+1，這個‘1代表什么呢？”學生回答：“可以代表最左邊的1根小棒，也可以代表最右邊的1根小棒。”筆者接著提問：“擺8個正方形需要幾根小棒？用算式怎么表達？擺21個呢？擺99個呢？擺n個呢？”學生回答：“8x3+1 =25，2lx3+1=64，99x3+1=298. 3n+l。”筆者通過追問，把學生的思維從具體的算式發展概括成一般規律。

在此基礎上，筆者把正方形變成正六邊形（如圖7），問：“擺1個正六邊形要6根小棒，擺2個正六邊形要11根小棒，擺3個呢？擺8個呢？擺n個呢？”學生分析每增加1個正六邊形，就要多用5根小棒，所以擺3個要3x5+1=16（根），擺8個要8x5+1=41（根），擺n個正六邊形所需的小棒根數就可以用5n+l來表示。式子里“1”也表示圖形中最左邊或最右邊的1根小棒。

筆者繼續提問：“1006根小棒可以擺多少個正六邊形？”學生思路清晰地回答：“先減掉最左邊或最右邊的1根，再除以5，列式為（1006-1）÷5=201（個）。”

在學生掌握該類型題的解題思路后，筆者出示練習題：如圖8所示，某小學使用的是正六邊形實驗桌，每張實驗桌可以坐12人（每邊坐2人），將實驗桌拼起來，2張實驗桌能坐20人，按這樣的拼法，5張實驗桌拼成一排后可以坐（）人，x張實驗桌拼成一排可以坐（）人。

學生觀察發現每增加1張桌子就多了8人，其中上面和下面各多了4人，而左右兩邊的人數是不變的，所以5張實驗桌這樣拼在一起后一共可以坐5x8+4=44（人），x張實驗桌就可以坐（8x+4）人。筆者問：“8x+4中的‘4表示什么？”又指著算式3n+1問：“求小棒根數與求人數這兩個算式區別在哪里？”再一次讓學生明晰兩種算法的異同點：不同點在于求小棒根數要加左邊或右邊的根數，求人數要加左右兩邊的人數;相同點在于每次增加的根數（人數）都與正方形個數（實驗桌張數）成倍數關系。

2.畫出圖式，讓學生明辨其概念

小學生的數學思維正處于成長階段，他們對很多數學概念都比較模糊，特別是對面積與周長。這部分知識本身就較為抽象，理解難度大。把這兩個概念放一起形成數學問題，問題難度就會提高好幾個層次。這時，圖式就體現出了它的價值，我們可以利用直觀的圖式來表達題目中抽象、概念性的東西。

例如：周長相等的一個正方形和一個長方形，它們的面積（）。

A.相等 B.不相等C.可能相等，也可能不相等

解決問題時不妨假設長方形和正方形的周長都是12cm，在方格圖（每個小正方形的面積是lcm2）中畫出幾個圖形（如圖9）。顯然，周長相等的正方形和長方形，面積并不相等。

通過畫圖，將枯燥的文字和形象的圖式有機結合，使抽象問題變得形象直觀、簡潔明了，同時也能幫助分析題意、明辨概念，將模糊的概念清晰化。

“圖式”在解釋問題現象時帶來的視覺沖擊使我們對知識的理解超出了通竅的范圍。教師教學時運用數形結合思想與辨析對比方法，將復雜難懂的數學問題轉化成簡單的問題，促使學生對知識的認識、理解逐步深化。

四、交流合作，打破識圖定式

傳統小學數學幾何教學為教師示范、學生操作的感知形式，但沒有哪種途徑比學生自己去探索、去發現新知更為高效，通過各類存在可能性的實驗得出的結論最能夠提升學生的幾何識圖能力。因此，教師應打破傳統的教學思維模式，為學生設計合理的探究活動，指導學生展開探究式學習，以小組學習的形式探索新知。

例如，在教學“圓柱的認識”時，筆者提問：“剛才我們用這張長方形紙通過旋轉得到圓柱，還可以用什么方法得到圓柱呢？”筆者讓學生先思考再動手操作。學生動手操作后明確，還可以通過卷長方形紙得到圓柱。筆者趁機拋出一個具有挑戰性的問題：“卷成的圓柱的側面積跟長方形有什么關系？”有效地激發學生進一步思考。在小組討論中，學生各抒己見，有的說圓柱側面展開就是長方形;有的補充說圓柱側面的面積與長方形的面積是相等的;有的說如果豎著卷，長方形的寬就是圓柱的底面周長，長方形的長就是圓柱的高;還有的說如果橫著卷，那么長方形的長就是圓柱的底面周長，長方形的寬就是圓柱的高。在小組討論和演示中，學生全面認識了長方形和圓柱側面之間的關系，學會了把陌生的曲面轉化成熟悉的平面圖形。通過小組合作積極探究問題的本質，教學過程變成一個動態的學習整體。

綜上所述，不難發現當前很多高段學生并不重視鍛煉自身的幾何識圖能力，教師也不太關注和培育學生的幾何識圖能力，致使學生對“圖形與幾何”的課程內容不夠熟悉，空間觀念和幾何直觀能力都不理想，嚴重影響其數學核心素養的提升。因此，教師一定要明確空間觀念與幾何識圖能力培養的重要價值，努力激發學生學習空間與幾何圖形的興趣，有針對性地培養小學高段學生的幾何識圖能力，全面提升學生的數學核心素養。

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（責編吳美玲）