帶有非線性擾動的分數階系統控制

彭雨豪 黃姣茹 陳超波

(西安工業大學電子信息工程學院 陜西 西安 710021)

0 引 言

作為整數階微積分的推廣和延伸，分數階微積分已有300多年的歷史了。分數階微分與整數階微分的本質區別主要在于整數階微分表示物理或機械過程在特定時間內的變化或具體的某一屬性，而分數階微分表示的物理特性，涉及整個時域。因此，相對于整數階微積分，分數微積分為描述各種物質的記憶以及遺傳效應提供了一個強大的工具。近十幾年來，分數階微積分在物理和工程中的應用得到了極大的發展。許多學者認為運用分數階可以更精確地描述某些真實的物理系統。如鋰離子電池模型[1]、帶有儲能原件的電流轉換器[2]、永磁同步電機[3]、電阻器[4]、無人駕駛飛行器系統[5]、粘彈性系統[6-7]等。因此，分數階系統的研究顯得不可或缺。

隨著分數階微分系統描述的物理過程越來越多，分數階系統的綜合分析已成為一個研究熱點。近年來對分數階線性系統的研究，特別是分數階線性定常系統的穩定性和魯棒控制器的設計都有很高的熱度[8-11]。雖然這些分數階系統的控制器設計效果十分良好，但這些結果都只針對某些特定的系統，并沒有考慮到不確定性，而在實際應用中，很多系統都會或多或少的受外部干擾的影響。有時，這些不確定性還會隨時間變化而變化，因此，考慮系統帶有擾動因素是很必要的。

目前，對帶有擾動的分數階系統最常用的控制方法是分數階滑膜控制，雖然其控制效果良好，但滑膜控制也有自身的缺陷。例如文獻[12]提出了一種二階滑膜控制，相對于一階滑膜控制，該控制方法收斂速度快，抗干擾性好，但其設計的滑膜流動面以及控制器都較為復雜，不利于實現。文獻[13]對不確定分數階混沌系統設計了一種自適應控制器，該方法有較好的抗干擾性，對高維數復雜的混沌系統依舊有良好的控制效果，但其方法設計的參數較多，控制方法較多針對混沌系統，導致適用范圍不廣。文獻[14]考慮了參數不確定性及外部擾動等情況，設計了自適應滑膜控制器，其考慮的不確定因素較多，但從最終的控制器效果來分析，該控制器的收斂速度較慢，同時收斂效果不好。文獻[15]研究了分數階集群系統的自適應魯棒控制，由于系統的復雜性，其自適應滑膜控制器的設計也相對復雜，較多針對特定形式下的不確定分數階系統。文獻[16]研究了一類具有不匹配擾動的分數階系統的控制，提出一種新的分數階擾動觀測器以及分數階滑膜控制器。該方法有效地減少了系統抖振，具有良好的控制性能，但其控制器在實施控制時正負的切換值較大，在實際系統中對硬件的要求較高。

本文針對帶有非線性擾動的分數階系統設計了一種計算量較小且控制簡便的狀態反饋控制器。首先應用分數階Lyapunov穩定性定理分析出系統穩定的充分條件，再利用線性矩陣不等式求解出合適的狀態反饋參數。最后應用實例來驗證該控制器的有效性。

1 預備知識

常用的分數階微積分的定義有Grunwald-Letnikov(GL)、Riemann-Liouville(RL)和Caputo。其中，Caputo分數階微分的定義為：

(1)

Riemann-Liouville(RL)分數階微分定義為：

(2)

式中：m-1<α

(3)

RL分數階微分與Caputo分數階微分之間存在如下關系[17]：

(4)

(5)

(6)

式(6)中，b是正常數。

引理1[18](分數階Lyapunov直接法)x=0是非自治系統的一個平衡點，RDαx(t) = f(t,x)，0<α<1。假設存在一個Lyapunov函數V(t,x(t))和K類函數αi(i=1,2,3)滿足：

α1‖x‖≤V(t,x(t))≤α2‖x‖

CDαV(t,x(t))≤-α3‖x‖

那么非線性分數階系統漸進穩定。

引理2[19]有合適維數的矩陣X、Y，當有ε>0時，下式成立：

XTY+YTX≤εXTX+(1/ε)YTY

引理3[17]根據分數階系統Leibniz規則，h(x)=xTx的α階次微分可擴展成：

(7)

其中：

(8)

‖γ‖≤σ‖x‖σ>0

(9)

考慮有一個Lyapunov函數：

V=xTPx

(10)

式中：P為正定對稱矩陣。根據式(4)和引理3可以得出：

CDtαV= [RDtαx]TPx+xTP[RDtαx]-

RDtα[x(0)TPx(0)] +γ

(11)

‖γ‖≤β‖x‖β>0

式中：β=p×σ，p是P的最大特征值。一般情況下，上述不等式等價于‖γ‖≤β‖x‖2。

引理4[20](schur Complement)如果有實矩陣S=ST，那么以下條件等價：

2 含非線性擾動系統的狀態反饋控制

考慮線性不確定線性分數階系統：

RDαx(t)=Ax(t)+Bu(t)+φ(t,x(t))

(12)

‖φ(t,x1)-φ(t,x2)‖≤λ‖x1-x2‖

(13)

φ(t,0)=0

本文針對式(12)設計一種狀態反饋控制器，形式如下：

u=Kx(t)

(14)

則閉環控制系統可以得出：

RDαx(t)=(A+BK)x(t)+φ(t,x)

(15)

(16)

式中：Φ11=QAT+UTBT+AQ+BU+εI+βQQ。那么系統式(15)漸進穩定。

證明：對閉環系統式(15)考慮Lyapunov函數：

V(t,x(t))=xT(t)Px(t)

(17)

CDαV(t,x(t))=

(18)

通過式(18)和引理3得：

CDαV(t,x(t))=

(RDαx(t))TPx(t) +xT(t)P(RDαx(t))-

RDα(xT(0)Px(0)) +γ

(19)

根據式(19)和式(6)，可得：

CDαV(t,x(t))=

(RDαx(t))TPx(t) +xT(t)P(RDαx(t))-

(20)

CDαV(t,x(t))≤

xT(t)(A+BK)TPx(t)+xTP(A+BK)x(t)+

φT(t,x(t))Px(t)+xT(t)Pφ(t,x(t))+γ

(21)

根據引理2和式(21)，可得：

CDαV(t,x(t))≤

xT(t)(A+BK)TPx(t)+

xTP(A+BK)x(t) +εxT(t)PPTx(t)+

(1/ε)φT(t,x)φ(t,x)+γ

(22)

根據式(22)和引理3得：

CDαV(t,x(t))≤

xT(t)(A+BK)TPx(t)+

xTP(A+BK)x(t)+εxT(t)PPTx(t)+

(1/ε)φT(t,x)φ(t,x)+β‖x(t)‖2

(23)

根據式(13)的擴展形式：

φT(t,x)φ(t,x)≤λ2xT(t)x(t)

與式(23)，可以得出：

CDαV(t,x(t))≤

εPPT+(λ2/ε)I+β)x(t)

(24)

因此，如果：

(A+BK)TP+P(A+BK)+

εPPT+(λ2/ε)I+β<0

(25)

那么，系統漸進穩定。取Q=P-1，式(25)左右兩邊同乘Q可得：

QAT+QKTBT+AQ+BKQ+εI+

(λ2/ε)QQ+βQQ<0

(26)

取U=KQ，式(26)可改寫為如下不等式：

QAT+UTBT+AQ+BU+εI+

(λ2/ε)QQ+βQQ<0

(27)

通過引理4不等式與矩陣的等價轉換，得出下列矩陣不等式：

第三，經濟合理。對于規模較大的農村供水工程，一般能做到通過方案比較和技術經濟分析，使得管道綜合造價低，運行經濟，使用壽命長，施工機具解決及安裝容易，維護維修方便、工作量少、成本低。但對于規模較小的工程，這方面做得還不夠。

(28)

式中：Φ11=QAT+UTBT+AQ+BU+εI+βQQ。式(28)與式(16)一致，證畢。

3 仿真結果

為了驗證提出方法的正確性以及有效性，應用設計的控制器對帶有非線性擾動的分數階系統進行控制仿真。

有如下含非線性擾動的分數階系統：

(29)

式(29)可以被重新寫成：

Dαx(t)=Ax(t)+φ(t,x(t))

(30)

式中：

x(t)=[x1x2x3]T

φ(t,x(t))=[x1×sin(2t)x2×sin(x1)x3×sin(2t)]T

在非線性擾動項φ(t,x(t))中，本實例考慮了多種可能情況，其中不但含有隨時間t變化而變化的擾動，而且還增加了隨狀態變量變化的擾動。即每一個系統狀態表達式中都含有自身變量的狀態擾動，同時還考慮了狀態變量互相干擾的情況，使得該實例考慮擾動時，更加全面。

對于非線性擾動項，可以容易地求出：

‖φ(t,x(t))‖=

取初始條件x0=[7 -4 3]T，則得出未加控制的系統式(29)的仿真結果，如圖1所示。

圖1 未加控制的系統狀態響應

從圖1可以明顯看出系統受擾動的影響，系統的狀態變量是不穩定的，不收斂。

現選取參數B=[0.5 0.6 1]T，β=1，λ=1.8。

根據定理1，可以求得：

U=[-11.781 3 -1.726 4 -5.692 7]

根據公式：

K=UQ-1

得出反饋增益系數：

K=[-19.278 3 -1.552 4 -1.405 3]

應用式(14)設計的控制器可得仿真結果如圖2所示。

(a) 總體響應

(b) 狀態變量x1

(c) 狀態變量x2

(d) 狀態變量x3圖2 加入控制的系統狀態響應

其中圖2(a)表示加入控制后的狀態變量x1、x2、x3狀態值的總圖，圖2的(b)、(c)、(d)為各自變量的收斂圖。圖3表示分數階系統的控制器曲線圖。

圖3 系統的控制曲線

可以看出，分數階系統的各個狀態變量在施加控制器后都快速收斂，說明不穩定的分數階系統應用本文設計的狀態反饋控制器可以達到漸進穩定的效果。由各個變量的分圖能看出響應速度比較快，且收斂效果好，驗證了該控制器的有效性、快速性以及較好的魯棒性。由圖3可以看出，控制器的值無正負切換，同時絕對值也較小，有利于實際控制器硬件的設計。至此，由仿真實例證明了本文控制器設計的正確性。

4 結 語

本文針對帶有非線性擾動的分數階系統進行研究與控制。利用分數階Lyapunov直接法得出系統漸進穩定的充分條件，再結合線性矩陣不等式求解出合適的參數，提出一種新的簡便的狀態反饋控制器，解決了分數階系統中帶有擾動的魯棒控制問題。最后通過實例說明本文方法的有效性以及快速性。在分數階系統中含有擾動的問題上開拓了一種新的解決方法與思路。