事件空間中Birkhoff系統的兩類廣義梯度表示

王嘉航,鮑四元

(1.蘇州科技大學土木工程學院，江蘇 蘇州 215011；2.河海大學土木與交通學院，南京 210098)

梯度系統是微分方程和動力學系統中的一類重要系統，梯度系統特別適于研究系統解的穩定性問題[1-3].若系統中其矩陣和函數都不顯含時間，則稱其為基本梯度系統，若其矩陣和函數都顯含時間，則稱其為廣義梯度系統.Birkhof系統是Hamilton系統的一個自然發展，它廣泛應用于物理、力學和工程等領域[4].在位形空間中，梅鳳翔等[5]研究了Birkhoff 系統的廣義斜梯度表示，李彥敏等[6]研究了非自治Birkhoff 系統的廣義斜梯度表示，李彥敏等[7]還研究了廣義Birkhoff系統的兩類廣義梯度表示，關于廣義梯度系統與約束力學系統之間的關系研究，已有一系列重要的成果[8-15].在事件空間中，坐標和時間是處于同等地位的，可靈活選取參數，得到更為簡單的方程，事件空間是位形空間的擴展.但在事件空間中，關于梯度系統與約束力學系統的關系研究成果較少，吳惠彬等在事件空間中研究了完整力學系統的梯度和分數維梯度表示[16].本文進一步研究事件空間中Birkhoff系統的廣義斜梯度系統和具有對稱負定矩陣的廣義梯度系統表示.首先，給出了事件空間中 Birkhoff系統的參數方程；其次，給出了事件空間中Birkhoff系統轉化成兩類廣義梯度的條件；最后，舉例說明結果的應用．

1 廣義梯度系統

1.1 廣義斜梯度系統

廣義斜梯度系統的微分方程為[2]

(1)

(2)

1.2 對稱負定矩陣的廣義梯度系統

對稱負定矩陣的廣義梯度系統其微分方程為[2]

(3)

(4)

2 事件空間中Birkhoff系統的參數方程

在位形空間中，Birkhoff系統有2n個Birkhoff變量aμ(μ=1，2，…，2n)，建立(2n+1)維擴充的位形空間，也就是事件空間，在事件空間中，點的坐標是時間t和變量aμ(μ=1，2，…，2n).引入記號

xμ=aμ(μ=1，2，…，2n) ，x2n+1=t,

(5)

則變量xα(α=1，2，…，2n+1)可作為某參數τ的已知函數，設xα=xα(τ)是C2類曲線

(6)

不同時為零，則有

(7)

在位形空間中，B=B(t，aμ)為Birkhoff系統的Birkhoff函數，Rμ=Rμ(t，aμ)為Birkhoff函數組，在事件空間中，系統的函數組Bβ(xα) (β=1，2，…，2n+1)為

Bμ(xα)=Rμ(x1，x2，…，x2n+1)(μ=1，2，…，2n)
B2n+1(xα)=-B(x1，x2，…，x2n+1).

(8)

在事件空間中，Birkhoff系統的參數方程為

(9)

式(9)中的(2n+1)個方程不是全部獨立的，其第(2n+1)個方程可由前面2n個方程聯合導出，假設從式(9)的前2n個方程解出

(μ，ν=1，2，…，2n)，

(10)

其中

(11)

3 事件空間中Birkhoff 系統的廣義梯度表示

一般情況下，事件空間中的Birkhoff系統(10)不是廣義梯度系統.對于系統(10)，如果有反對稱矩陣(bij(τ，a))和函數V(τ，a)使得

(μ，ν=1，2，…，2n)，

(12)

則系統(10)轉化為廣義梯度系統(1).如果有對稱負定矩陣(sij(τ，a))和函數V(τ，a)使得

(μ，ν=1，2，…，2n)，

(13)

則系統(10)轉化為廣義梯度系統(3)．

事件空間中的Birkhoff系統轉化為廣義梯度系統(1)或(3)后，即可利用廣義梯度系統的性質來研究力學系統解的穩定性問題.

4 舉例

例1事件空間中的Birkhoff系統為

B1=x2， B2=0，

(14)

試將其轉化廣義梯度系統，并對零解的穩定性進行分析．

解由事件空間中Birkhoff系統的參數方程(9)得

x′1+2x2(1+x3)x′3=0，

x′1-2x2(1+x3)x′2=0.

(15)

由前2個方程，可解出

x′1=-2x2(1+x3)x′3，

(16)

取τ=x3，則有x′3=1，則方程(16)為

x′1=-2x2(1+τ)，

(17)

令a1=x1，a2=x2，則

(18)

式中矩陣是反對稱的，則系統轉化成廣義斜梯度系統(1)，函數V為

(19)

V在a1=a2=0的鄰域內正定的、漸減，且

因此，解a1=a2=0是一致穩定的.

例2事件空間中的Birkhoff系統為

B1=x2，B2=0，

(20)

試將其轉化為廣義梯度系統，并對零解的穩定性進行分析．

解由事件空間中Birkhoff系統的參數方程(9)得

(21)

由前2個方程，可解出

(22)

取τ=x3，則有x′3=1，則方程(22)為

(23)

令a1=x1，a2=x2，則

(24)

式中矩陣是對稱負定的，則系統轉化成廣義梯度系統(3)，函數V為

[1+exp(-τ)],

(25)

但V不是Lyapunov函數，其特征方程有正實根，因此解a1=a2=0是不穩定的.

5 結語

對于事件空間中的Birkhoff系統(10)，如果系統滿足條件(12)，則可化為廣義梯度系統(1)，如果系統滿足條件(13)，則可化為廣義梯度系統(3).如果廣義梯度系統(1)或(3)中的函數V為Lyapunov函數，則可以利用式(2)或(4)來判斷事件空間中 Birkhoff系統解的穩定性，算例表明了結果的有效性．

致謝感謝張毅教授對本論文提出的修改意見．