帶非齊次項和變指數橢圓方程邊界爆破解問題

孔豪杰，沃維豐，馬飛遙

(寧波大學數學與統計學院，浙江 寧波 315211)

橢圓邊界爆破問題已經被大量國內外研究者研究[1-4]，其中含非齊次項的問題近年來受到較多關注[5-8].文獻 [5]中Melin和Rossi研究了變指數的橢圓方程邊界爆破問題

得到了該方程解的存在性，邊界漸進行為和唯一性．

本文基于文獻 [5]和文獻 [6],研究了具有非齊次項的變指數的橢圓方程邊界爆破解

(1)

其中,Ω是N中的光滑有界區域，以及h(x)∈C(Ω)且可能無界和異號．

定理1假設q(x)>1，且h(x)滿足

(2)

則問題(1)至少存在一個解u．

定理2假設q(x)>1，且存在常數C>0，使得h(x)滿足

(3)

其中0<β<1，則問題(1)存在一個正解．

定理3假設q(x)>1，且h(x)滿足

(4)

其中x0∈?Ω，則問題(1)不存在正解.

1 定理的證明

(5)

至少存在一個正解.

證明首先考慮邊值問題

(6)

下面將證明{un}在區域Ω的緊子集里是有界的.

(7)

(8)

根據引理1，問題(8)存在一個解，記vk.那么vk很明顯是問題(8)的一個上解．

接下來構造下解，利用條件(2)，取一個常數A，在區域U(?Ω)內使得α(x)(α(x)+1)A>Aq(x)+L.選取ε充分小，在區域U(?Ω)內使得

α(x)(α(x)+1)A>Aq(x)+L+ε.

(9)

為了證明wk是一個下解，只需要在區域Ωk內檢驗下面不等式成立：

(10)

由條件(2)在區域Ωδ0={x∈Ω|d(x)<δ0}內，取足夠小的δ0使得

因為d在區域Ωδ0內是C2函數和|d|=1.令δ∈(0，δ0).在區域Ωδ={x∈Ωk|d(x)<δ}∩U(?Ω)內由條件(9)有

2Adkααlndkd-

2Adkα

Aq(x)+L+ε.

在區域Ωδ內，當dk足夠小時，有

(11)

另一方面，在區域Ωδ=ΩΩδ內，存在一個正常數C，使得

(12)

在區域Ωδ內，當t≥t0且t0足夠大時，有

(13)

通過(11)，(12)和(13)式顯然不等式(10)成立.因此，wk是問題(7)的一個下解．

在區域Ωk內，由比較原理得wk≤vk.因此，應用上下解方法可得問題(7)存在解uk，且區域Ωk內滿足:wk≤uk≤vk.

定理2的證明首先考慮問題

(14)

根據文獻[5]的定理3，問題(14)存在唯一正解V.令w是問題

的解，其中h+(x)=max{h，0}.由于在區域Ω內w<0，通過條件(3)，取C充分小，使得|w|<η，其中η為問題(14)解的最小下界，有V+w>0.則

Δ(V+w)=Vq(x)+h+(x)≥(V+w)q(x)+h(x),

所以V+w是問題(1)的下解.由定理1可知問題(1)存在一個解u，通過比較原理可得在區域Ω內u>V>0，因此問題(1)存在一個正解．

(15)

的一個下解.V表示問題(14)的唯一正解，所以V是問題(15)的一個上解，通過比較原則，在區域Ω0內u≤V.因此利用上下解的方法可得問題(15)存在一個正解，記v.在區域Ω0內且滿足

v(x)≤Cd0(x)-α(x)，

(16)

其中d0(x)=dist(x，?Ω0).

接下來將證明問題(15)滿足(16)的條件下不存在任意非負解.不失一般性，假設x0=0，且在x0點從內部指向邊界?Ω的單位法向量υ=e1(其中e1表示正則基中第一個向量).設{cn}是任意一個收斂到零的正序列.令xn=cne1，并引入函數

其中Dn={y∈N|cny∈Ω0}.當n足夠大時xn∈Dn，d(xn)=cn和當n→∞時，N|y1>0}.很明顯，函數vn(y)滿足:

(17)

和

(18)

(19)

(α(x0)(α(x0)+1))μ-(2α(x0)+1)μ′+μ″=

μq(x0)+C0.

(20)