一類推廣的φ-(h，e)-凹算子不動點性質及其應用

陳 娟，桑彥彬

(中北大學理學院，太原 030051)

錐映射上的不動點定理受到了人們廣泛關注.李在文獻[1]中通過引入φ-凹算子，統一處理了α-凹，u0-凹等算子，得到不動點的存在唯一性及迭代收斂性.這些結果對于接下來研究非線性算子方程也是十分重要的.李給出的定義是設A:Ph→Ph是一個算子，若存在函數φ:(0，1]×Ph→(0，1]，滿足當0

A(tx)≥φ(t，x)Ax， 0

成立，則稱A是φ-凹算子.在文獻[2]中，Jleli和Samet考慮了算子方程x=Ax+x0，在Banach空間中，給出了遞減算子和凸算子的不動點定理，并且討論了不動點的存在性和兩點邊值問題正解的唯一性.

以上文獻均考慮的是錐映射[1-17].波蘭學者Wardowski[18]在混合單調算子研究中，先定義新的運算，給出(e，u)-凹-凸算子的定義，最終得到非線性算子方程正解的存在唯一性.2017年Zhai等[19]給出了φ-(h，e)-凹算子的定義，即:設A:Ph，e→E是一個給定的算子.對于任意的x∈Ph，e，λ∈(0，1)，存在φ(λ)>λ使得

A(λx+(λ-1)e)≥φ(λ)Ax+(φ(λ)-1)e.

運用Banach空間中的半序方法，建立了解的存在唯一性定理，從而將錐映射推廣至非錐映射[18-21].

接下來對φ(λ)添加參數x，將其變為φ(λ，x)，繼續研究推廣的φ-(h，e)-凹算子非線性分數階微分方程邊值問題的存在唯一性.

1 預備知識

定義1[22]設E是實Banach空間，如果P是E中某個非空凸閉集，并且滿足下面兩個條件：

1)x∈P，λ≥0?λx∈P；

2)x∈P，-x∈P?x=Θ，Θ表示E中零元素；則稱P是E中一個錐.

定義3[19]設e∈P，0≤e≤h，定義集合Ph={x∈E|x～h}和一個新的集合

Ph，e={x∈E|x+e∈Ph}，

可以看出h∈Ph，e，且

Ph，e={x∈E|?μ=μ(h，e，x)>0，

γ=γ(h，e，x)>0s.t.μh≤x+e≤γh}.

注記1[19]如果e=0，然后Ph，e=Ph.此外，Ph?Ph，e.但是對于某些e，Ph，e不是P的子集，因此Ph和Ph，e不同.

引理1[19]如果x，y∈Ph，e，存在0<μ<1，γ>1，使得μy+(μ-1)e≤x≤γy+(γ-1)e.此外，可以取一個小的r∈(0，1)使得

ry+(r-1)e≤x≤r-1y+(r-1-1)e.

2 主要結果

定義4設A:Ph，e→E是一個給定的算子.對于任意的x∈Ph，e，λ∈(0，1)，存在φ(λ，x)∈(λ，1]使得

A(λx+(λ-1)e)≥φ(λ，x)Ax+(φ(λ，x)-1)e，

(1)

其中φ關于x遞減.

注記2如果在(1)中e=0，則A(λx)≥φ(λ，x)Ax.也就是說，A是廣義凹算子.因此，廣義凹算子可以說是φ-(h，e)-凹算子的特例.另外，從(1)可得到

(2)

定理1設P是正規的，A是增加的φ-(h，e)-凹算子，且存在

t0h+(t0-1)e≤Ah≤

(3)

證明因為Ah∈Ph，e，h∈Ph，e.從引理1中，可以取一個充分小的t0∈(0，1)，通過(3)可知，由于φ(t0，h)>t0，可以找到正整數k，使得

(4)

xn=t0xn-1+(t0-1)e，

(5)

從(2)～(5)，可得到

所以有

u0

(6)

由A的單調性和(6)，可以得到

u0≤u1≤…≤un≤…≤vn≤…≤v1≤v0.

(7)

從(7)可得到當tn∈(0，1)時，

un≥tnvn+(tn-1)e.

(8)

通過(7)和(8)可得tn+1≥tn，即tn是遞增的.

當n→∞時，設tn→t*，t*∈[0，1].下面需證明t*=1.如果0

1)存在整數N，使得tN=t*.對于所有n>N，有tn=t*.當n≥N時，

un+1=Aun≥A(tnun+(tn-1)e)=

A(t*vn+(t*-1)e)≥

φ(t*，vn)Avn+(φ(t*，vn)-1)e≥

φ(t*，v0)vn+1+(φ(t*，v0)-1)e.

由此可以得到t*=tn+1≥φ(t*，v0)>t*，這是矛盾的.

2)對于所有整數n，當tn

un+1=Aun≥A(tnvn+(tn-1)e)=

由此得到

現在證明在Ph，e中，x*是A的唯一不動點.

假設在Ph，e中y*是A的不同于x*的不動點，通過引理1，存在τ2>0使得x*≥τ2y*+(τ2-1)e.設

同樣，也可以得到y*≥x*.因此，x*=y*.

最后，對于任何給出的ω0∈Ph，e，設ωn=Aωn-1，n=1，2，…，當n→∞時，證明ωn→x*.x*，ω0∈Ph，e，由引理1可得，存在τ3∈(0，1)使得

(9)

u′0≤ω0≤v′0，u′0≤x*≤v′0，

(10)

從A的單調性，得

u′n≤ωn≤v′n，u′n≤x*≤v′n，n=1，2，…，

進一步，u′1=Au′0=A(τ3x*+(τ3-1)e)≥φ(τ3，x*)Ax*+(φ(τ3，x*)-1)e≥τ3x*+(τ3-1)e=u′0.

通過(2)，得到

因此，證得當n→∞時，ωn→x*.

3 應用

微分方程，積分方程和邊界值問題等可以轉化為非線性算子.分數階微分方程是整數階微分方程的推廣，根據不同的需求，人們也給出了分數階微分方程的不同定義方式.在文獻中，大多數作者都研究了解的存在性和唯一性[3-12，18-19].下面來關注有兩點邊界的分數階微分方程解的唯一性.

(11)

其中n=[α]+1，[α]表示數字α的整數部分[4].

在下文中，為方便起見，將[0，1]上的連續函數全體C[0，1]記為E，則E為 Banach空間且賦予范數

令P={x∈E|x(t)≥0，t∈[0，1]}，很明顯，P是E中正規常數為1的正規錐.對于所有的t∈[0，1]，x，y∈E，由P定義的半序為x≤y?x(t)≤y(t).設

(12)

引理2[3]令3<α≤4，由(12)定義的函數G(t，s)，滿足以下條件

1)G(t，s)≥0，(t，s)∈[0，1]×[0，1]；

2) (α-2)s2(1-s)α-2h(t)≤Γ(α)G(t，s)≤M0h(t)，t，s∈[0，1]，

令

t∈[0，1].

定理2假設

(H1)f:[0，1]×[-e*，+∞]→(-∞，+∞)相對于第二個變量增加，其中e*=max{e(t):t∈[0，1]}；

(H2) 對于任何λ∈(0，1)，有φ(λ，x)>λ,使得

f(t，λx+(λ-1)y)≥φ(λ，x)f(t，x)，

?t∈[0，1]，x∈(-∞，+∞)，y∈[0，e*]；

(H3) 存在t0∈(0，1)，使得

t0h+(t0-1)e≤

當n→∞時，ωn(t)→u*(t).

證明對于t∈[0，1]，

也就是，e∈P.對于t∈[0，1]，

Htα-2=h(t).

因此，0≤e(t)≤h(t)，Ph，e={u∈E|u+e∈Ph}.

從引理2可得

對于任何的u∈Ph，e，

當且僅當u(t)=Au(t)時，u(t)是問題(11)的解.

首先，證明A:Ph，e→E是一個φ-(h，e)-凹算子.對于u∈Ph，e，λ∈(0，1)，從(H2)有

A(λu+(λ-1)e)(t)=

[φ(λ，u)-1]e(t)=

φ(λ，u)Au(t)+[φ(λ，u)-1]e(t).

可以得到

A(λu+(λ-1)e)≥φ(λ，u)Au+

[φ(λ，u)-1]e，u∈Ph，e，λ∈(0，1),

因此，A是φ-(h，e)-凹算子.

其次，證明A:Ph，e→E是遞增的.對于u∈Ph，e，有u+e∈Ph，e，當t∈[0，1]時，存在μ>0使得u(t)+e(t)≥μh(t)，因此u(t)≥μh(t)-e(t)≥-e(t)≥-e*.

從(H1)可知，A:Ph，e→E是遞增的.

接下來，證明Ah∈Ph，e，需要先證明Ah+e∈Ph.通過引理2和(H1)，(H4)，

Ah(t)+e(t)=

tα-2f(s，H)ds≤

設

因為α>β，Γ(α)>0，且從(H1)，(H3)可得

而l2≥l1>0，所以證明得Ah+e∈Ph.

通過定理1，算子A在Ph，e中有唯一不動點u*，且

顯然t∈[0，1]時，u*(t)≠0.因此，u*(t)是一個非平凡解.此外，對于任何ω0∈Ph，e，序列ωn=Aωn-1，n=1，2，…，滿足當n→∞時，ωn→u*.也就是，

當n→∞時，ωn(t)→u*(t).