應(yīng)用型本科院校線性代數(shù)課程教學(xué)改革與實踐*

王圣祥，郭雙建

(1. 滁州學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，安徽 滁州 239000； 2. 貴州財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計學(xué)院，貴州 貴陽 550000)

線性代數(shù)是高等院校理工科與經(jīng)濟管理類各專業(yè)開設(shè)的一門公共(專業(yè))基礎(chǔ)課，以中學(xué)數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，是學(xué)習(xí)后續(xù)數(shù)學(xué)課程和專業(yè)課程的重要基礎(chǔ)，主要討論線性方程組、線性空間和線性變換.隨著信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用，作為處理離散型數(shù)學(xué)問題的線性代數(shù)，特別是矩陣理論已成為從事科學(xué)研究、工程設(shè)計和經(jīng)濟管理必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容主要包括行列式、矩陣、線性方程組、矩陣的特征值與特征向量和二次型等.

應(yīng)用型本科院校在大力發(fā)展工科專業(yè)特別是新工科專業(yè)的同時始終強調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)理基礎(chǔ)，在第一到第五學(xué)期分別開設(shè)《高等數(shù)學(xué)》、《線性代數(shù)》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》、《復(fù)變函數(shù)與積分變換》等課程.在每年的春學(xué)期開設(shè)《線性代數(shù)選講》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計選講》，秋學(xué)期開設(shè)《高等數(shù)學(xué)選講》等課程，滿足學(xué)生對大學(xué)數(shù)學(xué)課程的差異性需求.針對線性代數(shù)課程概念多、理論抽象、計算復(fù)雜等特點，結(jié)合師生實際情況，近年來做了一些教學(xué)改革與探索，取得了一定的教學(xué)效果.

1 根據(jù)學(xué)校“應(yīng)用型、信息化”辦學(xué)的實際需求，確定本課程的教學(xué)定位

隨著學(xué)校“信息化”辦學(xué)定位的確立，利用信息化手段改造線性代數(shù)課程勢在必行.許多學(xué)校早已將線性代數(shù)建設(shè)成校級精品課程，在項目建設(shè)中較早地吸收了大規(guī)模在線教學(xué)(MOOC)的思想，在教學(xué)視頻的制作過程中，采取短視頻的形式呈現(xiàn)，給學(xué)習(xí)者帶來方便，有著較好的MOOC課程建設(shè)的基礎(chǔ).目前在國內(nèi)線性代數(shù)MOOC課程由清華大學(xué)、同濟大學(xué)等985高校制作，名師主講，體系完備，證明嚴謹.但這對于應(yīng)用型本科的學(xué)生來說要求偏高，因此著手建設(shè)一套適合地方應(yīng)用型本科院校學(xué)生的線性代數(shù)MOOC課程勢在必行.該項目已經(jīng)獲批2018年安徽省省級大規(guī)模在線開放課程示范項目，目前已經(jīng)完成前期制作，即將面向校內(nèi)外師生開放，旨在逐步提高全校理工科學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和信息化水平，為地方應(yīng)用型院校理工科專業(yè)發(fā)展提供更有效的數(shù)學(xué)支撐.同時，為了提高學(xué)生的實際動手能力，在每章結(jié)束添加一個Matlab數(shù)學(xué)實驗，將線性代數(shù)基本理論與實際應(yīng)用結(jié)合，既提高了本課程的應(yīng)用范圍，又為學(xué)生后續(xù)專業(yè)課程學(xué)習(xí)夯實基礎(chǔ).

2 基于后續(xù)專業(yè)課程對線性代數(shù)課程的差異性需求，調(diào)整課程設(shè)置，優(yōu)化教學(xué)大綱

在過往的教學(xué)過程中，學(xué)生針對線性代數(shù)課程教學(xué)提出一些疑問，比較集中的問題包括學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程有什么用，后續(xù)哪些專業(yè)課程需要線性代數(shù)知識，需要學(xué)習(xí)到什么程度.為此需向相關(guān)工科專業(yè)的專業(yè)負責(zé)人與專業(yè)教師了解，了解學(xué)生后續(xù)專業(yè)學(xué)習(xí)對線性代數(shù)課程的切實需求.例如，在園林設(shè)計、工業(yè)設(shè)計、制藥工程等專業(yè)取消線性代數(shù)課程，增設(shè)《線性代數(shù)選講》課程，滿足部分學(xué)生后期的考研實際需求.同時，根據(jù)專業(yè)大類修訂了線性代數(shù)課程教學(xué)大綱，按照電子、機械、計算機、化工、生物食品、經(jīng)濟管理將線性代數(shù)課程教學(xué)大綱分為六大類，并為對口專業(yè)的學(xué)生單獨設(shè)置線性代數(shù)課程教學(xué)大綱，給對口專業(yè)的學(xué)生講解一些基本的矩陣、向量與線性方程組理論，幫助他們培養(yǎng)初步的空間想象能力與邏輯思維能力.

3 課程教學(xué)以線性方程組求解為主線，強調(diào)矩陣及其初等變換的核心作用

傳統(tǒng)的線性代數(shù)(以同濟版為例)教材追求理論的完整性與證明的嚴密性，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中普遍反映概念抽象難于理解，方法靈活不易掌握，計算繁瑣容易出錯.那么可自編與學(xué)校辦學(xué)定位的相吻合的線性代數(shù)教材[1]，注重呈現(xiàn)線性代數(shù)的幾何背景，將抽象的理論與具體直觀的圖形有機結(jié)合，突出線性代數(shù)的應(yīng)用性，即以線性方程組的求解為主線展開，把線性方程組作為課程體系的出發(fā)點和落腳點[2～3]，明確告訴學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程的主要目的是求解一般的線性方程組.客觀地說，以線性方程組為主線構(gòu)建的教學(xué)體系邏輯性更強，教學(xué)效果更好.從本質(zhì)上說矩陣、向量組與線性方程組三者是互相等價的，矩陣概念的提出是為了更簡潔地給出線性方程組解的存在性定理(通過矩陣的秩)，向量組的引入可以理解為更好地了解線性方程組解的結(jié)構(gòu)并給出漂亮的解的表達式.而行列式的提出只是為了解決一類特殊的線性方程組，通過Crammer法則加以體現(xiàn)，如此便清楚的知道行列式只是線性方程組求解的一個工具，不是教學(xué)重點，自然也就無需學(xué)習(xí)太多的求解技巧，復(fù)雜的計算完全可以通過Matlab實現(xiàn).二次型的核心理論是二次型的標準形，其中最關(guān)鍵的一步是求對應(yīng)的對稱矩陣特征值和特征向量，而求特征向量實質(zhì)上就是解一些齊次線性方程組.

同時，在教學(xué)過程中，始終強調(diào)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，注重不同章節(jié)和知識點之間的串聯(lián)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中形成完整的知識結(jié)構(gòu).本文受到文獻[4]的啟發(fā)，對線性代數(shù)知識點做成了一結(jié)構(gòu)圖，并應(yīng)用到教學(xué)中，大大地提高了教學(xué)效果.線性代數(shù)知識點結(jié)構(gòu)圖如圖1所示.

圖1 線性代數(shù)知識點結(jié)構(gòu)圖

4 通過專業(yè)案例引入線性代數(shù)課程中的抽象概念，提升學(xué)生對線性代數(shù)課程的認知度

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程特別是線性代數(shù)課程過程中經(jīng)常會問這些概念、理論在專業(yè)學(xué)習(xí)中有哪些體現(xiàn)和作用.為此，可安排教師相對固定地承擔(dān)某些專業(yè)的線性代數(shù)課程教學(xué)，鼓勵教師與對接的專業(yè)教師開展教學(xué)科研交流合作，從專業(yè)課程中尋找相關(guān)數(shù)學(xué)理論的原型與應(yīng)用背景[5～8].經(jīng)典的線性理論包括矩陣、行列式、向量組、線性方程組、特征值、二次型等，這里以矩陣為例加以說明.大多數(shù)的線性代數(shù)教材都是通過線性方程組引入矩陣的概念，這樣引入自然沒有什么錯誤，就是無法引起學(xué)生的共鳴.實際上，矩陣在幾乎所有領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，例如經(jīng)濟學(xué)中的投入產(chǎn)出模型、管理學(xué)中的人口遷徙模型、通信中的信源熵和信息加密、化學(xué)化工中的原子矩陣、生物學(xué)中的萊斯利矩陣、計算機存儲數(shù)據(jù)庫等等.同時，教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模的思想，注重概念的提出背景，強調(diào)理論的應(yīng)用范圍.針對不同應(yīng)用型專業(yè)學(xué)生的專業(yè)背景，尋找并提煉與后續(xù)專業(yè)課程有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，給出基于線性代數(shù)的數(shù)學(xué)模型，在求解模型的過程中強調(diào)線性理論的使用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣，提高專業(yè)課程的學(xué)習(xí)效果, 逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

5 適應(yīng)工科專業(yè)工程認證的現(xiàn)實需求，完善教學(xué)方法，優(yōu)化教學(xué)考核方式

近年來，越來越多的工科專業(yè)著手進行工程認證工作，工程認證的關(guān)鍵是要求本科四年培養(yǎng)的畢業(yè)生達到行業(yè)認可的質(zhì)量標準，是一種以培養(yǎng)目標和畢業(yè)出口要求為導(dǎo)向的合格性評價體系，對學(xué)生在本科畢業(yè)的時候所具備的能力有明確的要求.線性代數(shù)作為一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，對學(xué)生各項能力要求的達成具有重要的支撐作用.滁州學(xué)院首批進行工程認證的是測繪工程專業(yè)，為此數(shù)學(xué)與金融學(xué)院遴選骨干教師組建團隊，系統(tǒng)研究測繪工程專業(yè)的人才培養(yǎng)方案，仔細研讀工程認證中各項能力指標的達成條件，制定測繪工程專業(yè)線性代數(shù)課程教學(xué)大綱，并以此為契機在全校范圍進行推廣.

在線性代數(shù)課程教學(xué)大綱中，根據(jù)專業(yè)認證的指標要求，進一步優(yōu)化了課程目標及其對測繪工程專業(yè)畢業(yè)要求的有效支撐，在教學(xué)方法上以講授法和案例法為主，輔之以多媒體教學(xué)、網(wǎng)絡(luò)教學(xué)等手段，介紹用MATLAB數(shù)學(xué)軟件求解線性代數(shù)中一些問題的方法，在授課過程中力求從實際問題出發(fā)，精心安排教學(xué)案例，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵學(xué)生利用本校圖書館資源和泛雅、畢博及AHMOOC等教學(xué)平臺進行課外自主學(xué)習(xí).

同時，在考核方式上加大了過程性考核比重，平時成績占30%，期中考試成績占30%，期末考試占40%，每一塊考核內(nèi)容的設(shè)置都要與工程認證中的課程目標和畢業(yè)要求指標點相對應(yīng).以平時成績?yōu)槔綍r成績由理論課老師整理評定，其中考勤占30%，課堂表現(xiàn)占30%，課后作業(yè)占40%.學(xué)生考勤由教師在每次課堂授課前進行現(xiàn)場點名，并將情況登記到記分冊，無故曠課1/4者，不允許參加期末考試；課堂提問是在授課過程中，教師與學(xué)生互動，根據(jù)學(xué)生回答情況給出成績，實時記錄到記分冊，所有授課內(nèi)容結(jié)束后，每個學(xué)生至少被提問過一次，實現(xiàn)全覆蓋；作業(yè)包括課后作業(yè)和任課教師根據(jù)實際需要隨機布置的作業(yè)，每次的作業(yè)均要求學(xué)生獨立完成，作業(yè)未交1/4者，不允許參加期末考試.具體見表1.

表1 測繪工程專業(yè)《線性代數(shù)》考核內(nèi)容及分值分配表

以上是在應(yīng)用型本科院校線性代數(shù)課程教學(xué)過程中的一些改革與實踐，取得了一定的教學(xué)效果.然而，課程建設(shè)與教學(xué)改革是一項復(fù)雜艱巨的系統(tǒng)工程，并且隨著時代的發(fā)展需要賦予新的內(nèi)涵，這需要結(jié)合新的教學(xué)實際不斷創(chuàng)新，持續(xù)研究，勇于實踐.