矩陣微分系統的迭代學習控制*

張群力

(菏澤學院數學與統計學院，山東 菏澤 274015)

1 基本知識

日本學者Uchiyama提出、Arimoto等人完善的迭代學習控制已經成為智能系統中有著嚴格數學描述的一個分支[1～4].近幾年，迭代學習控制在諸多方面得到了發展，取得了一些可借鑒參考的結果[2～5].

考察矩陣微分系統

(1)

的迭代學習控制，式中xk(t)=(xij(t))k∈Rn×n是第k次迭代狀態矩陣，A,B,C,D,M是適當維數的矩陣，uk(t)是第k次迭代輸入矩陣，yk(t)是第k次迭代輸出矩陣，yd(t)是目標矩陣函數.

定理對于系統(1)中滿足迭代初值xk+1(0)=xk(0)，如果A,B,C,D,M的范數滿足：

證明：由系統(1)知：

于是有：

由Beesack 不等式和二重積分交換積分次序得到：

‖xk+1(t)-xk(t)‖≤

于是有:

(2)

ek+1(t)=ek(t)+yk(t)-yk+1(t)=(I-DM)ek(t)-C(xk+1(t)-xk(t))

(3)

由(2)、(3)得‖ek+1(t)‖=‖(I-DM)‖‖ek(t)‖+‖C‖‖xk+1(t)-xk(t)‖.

‖ek+1(t)‖λ=‖(I-DM)‖‖ek(t)‖λ+‖C‖‖xk+1(t)-xk(t)‖λ≤

于是有‖ek+1(t)‖λ≤δ‖ek(t)‖λ，進一步得到

下面根據函數的單調性討論λ和矩陣A,B的范數配置關系.

令h(λ)=e(a-λ)T((λ-a)T+1)-1,則h′(λ)=e(a-λ)T(a-λ)T2.由h′(λ)=0得λ=a,且h(λ)在λ∈(0,a]上是增函數，在λ∈[a,+∞)上是減函數，于是有hmax(λ)=h(a)=0.

說明：若系統(1)中Ax(t)+x(t)B變為f(x(t))∈Rn×n，且‖f(x(t))‖≤ρ‖x(t)‖時，可以得到與上述類似的結果.

2 實例

圖1 狀態矩陣xk(t)的分量(x11(t))k追蹤sint誤差變化情況

圖2 狀態矩陣xk(t)的分量(x21(t))k追蹤2cost+0.5誤差變化情況

圖3 狀態矩陣xk(t)的分量(x12(t))k追蹤cost誤差變化情況

圖4 狀態矩陣xk(t)的分量(x22(t))k追蹤0.5sint誤差變化情況.

3 結論

本文結合λ范數和矩陣范數研討了實線性矩陣微分系統的迭代學習控制以及兩種范數之間的配置關系，實例演示所構造算法的有效性、可靠性.