概括測量平差模型及其解算*

謝 波，肖東升，徐俊國，賈晨琛

(1．合肥職業技術學院，安徽 合肥 23800；2．西南石油大學土木工程與建筑學院，四川 成都 610050)

引言

在測量問題中，描述未知量和觀測量以及已知量之間的函數關系表達式就是測量平差模型.按照建模方法的不同，經典的測量平差模型可以分為條件平差、間接平差、附有限制條件的條件平差、附有限制條件的間接平差等；按照已知起算數據的個數的不同，又可以分為自由網平差、經典自由網平差和附合網平差.大地測量工作者一直致力于找出各種測量平差模型的統一或概括形式，進而揭示各種不同的平差模型之間的內在聯系和簡化計算.

目前，測量平差模型的概括形式主要為附有限制條件的條件平差模型[1,2]和附有限制條件的間接平差模型[3～7]，但是，上述兩種概括形式中的條件方程或參數方程都包含有已知數據，限制條件也是由已知數據建立的，因此，兩種組合模型并沒有區分觀測數據和已知數據兩類不同性質的數據.事實上，在測量平差問題中，觀測數據決定了控制網的形狀或者網點的相對位置，已知數據決定了測量控制網的絕對位置或基準[8,9].所以，建立一個能夠有效的區分測量控制網中的兩類不同性質數據的概括測量平差模型，可以更好的理解測量控制網的內部噪聲[10,11]和參考系效應[12].

文獻[13,14]區分了控制網中的觀測數據和已知數據，以觀測數據建立誤差方程，以已知數據建立基準方程，二者組合成測量平差概括模型.但是，文獻[13]僅考慮了已知數據的個數為必要起算數據的個數，建立的基準方程的個數等于參數方程系數的秩虧數，所以整個平差問題僅僅局限為獨立網或經典自由網，并沒有考慮已知數據的個數多于必要起算數據的個數，即平差問題為附合網的情形.文獻[14]在解算附合網平差模型時，將限制條件分解為由充分必要起算數據構成的基準方程，以及由其它多余起算數據構成的非基準約束方程，事實上，基準方程和非基準約束方程都是利用已知數據建立的，都是基準方程，是不可區分開來的[15,16].

本文概括測量平差模型為誤差方程和基準方程的組合模型，其中誤差方程由觀測數據建立，基準方程由已知數據建立，并通過矩陣變換，解決了誤差方程的系數陣是秩虧而無法直接求解分塊矩陣的逆矩陣的問題，進而推導出概括測量模型的通解.數據驗證了本模型和算法的正確性.

1 概括測量平差模型及其解算

對任意測量控制網，將網中所有的點均視為未知，按照觀測數據建立誤差方程、已知數據建立基準方程的方法，建立測量平差的組合模型為：

(1)

(2)

式(1)中，由于將所有點視為未知參數，因此誤差方程的系數矩陣是秩虧的，設系數矩陣的秩R(B)=td時，則方程式(1)和(2)組成附合網.因此，秩虧的自由網和基準方程構成了概括測量平差模型.

由誤差方程(1)可得相應的法方程：

(3)

式中，N=BTPB，W=BTPl，R(N)=t

考慮基準方程(2)，按最小二乘原理，由

VTPV+2KT(Cx-Wx)=min

(4)

得到基礎方程

N·x-BTPl+CTK=0

(5)

C·x-Wx=0

(6)

用矩陣形式表示為

(7)

則

(8)

式中由于N為秩虧矩陣，所以無法直接求得上式中分塊矩陣的逆.假設分塊矩陣Q滿足

(9)

即

(10)

則

NQ11+CTQ21=I

(11a)

NQ12+CTQ22=0

(11b)

CQ11=0

(11c)

CQ12=I

(11d)

將式(11c)左乘CT后和式(11a)相加，可得

(N+CTC)Q11+CTQ21=I

(11e)

同理，將式(11d)左乘CT再和式(11b)相加，可得

(N+CTC)Q12+CT(Q22-I)=0

(11f)

聯立上述方程式(11c)～(11f)，可得

(12)

設

N′bb=N+CTC

(13a)

(13b)

由于矩陣N+CTC的逆存在，所以分塊矩陣

(13c)

根據(12)式，可得分塊矩陣

(13d)

(13e)

將(13d)、(13e)帶入式(10)，可得

(14)

上式和常用的附有限制條件的間接平差模型的解的形式是完全一樣的，差別在于法方程的系數矩陣不同.

將參數x帶入誤差方程可得V，單位權方差為

(15)

參數的協因數矩陣

(16)

2 算例

如圖1，高程控制網中A、B的高程已知，P1、P2、P3點的高程待求，已知數據與觀測數據列于表1.

圖1 水準網

路線編號觀測高差/m路線距離/km已知高程/m11.3591.1HA=5.01622.0091.7HB=6.01630.3632.341.0122.750.6572.460.2381.47-0.5952.5

方法一：間接平差模型計算

Q=P-1=diag[1.1 1.7 2.3 2.7 2.4 1.4 2.6]

將所有觀測值表示成未知參數的誤差方程：

依據最小二乘原理，計算得到

方法二：概括平差模型計算

實際上，A、B為已知點，可以組成基準方程：

寫成矩陣形式，則

根據文中公式(13)、(14)計算

= [5.016 0 6.016 0 6.374 8 7.027 9 6.612 1]

可見，本文方法的計算結果和按照一般的間接平差模型是一致的，證明了本文提出的建模方法和解算方法是正確的.

3 結論

本文通過以觀測數據建立誤差方程，以已知數據建立基準方程，從而建立了測量平差概括模型，有效區分了控制網中的觀測數據和起算數據兩類不同性質的數據.根據基準方程的個數，概括測量平差模型涵蓋了自由網、經典自由網和附合網等網型，因而更具有一般性.通過矩陣變換，解決了概括測量平差模型中誤差方程式的系數陣是秩虧而無法直接求解分塊矩陣的逆矩陣的問題，推導出概括測量平差模型的通解.水準網的數值實驗表明建模方法和算法是正確的，該方法在大地測量數據處理中具有一定的實用價值.