Φ-τ-可補子群對p-超可解性的刻畫

施智杰， 毛月梅

山西大同大學數學與統計學院， 山西 大同 037009

0 引言

Skiba A N和郭文彬教授在文獻[1]中介紹了子群算子的概念，并列舉了它在子群的廣義擬正規性和可補性中的一些應用，比如文獻[2]提出的S-擬正規子群，文獻[3]介紹的SΦ-可補子群以及文獻[4]給出的S-半置換子群等各種子群的應用.另外，文獻[1]和文獻[5]還給出了關于有限群結構一些新的研究方法，利用這些新的手段統一和發展了許多已有的廣義擬正規子群，并產生了一系列新的成果.從這些成果中我們可以看出子群算子的性質能更深入地揭示子群性質和群結構的聯系.文獻[6]利用子群算子并結合SΦ-可補子群的定義，給出了Φ-τ-可補子群這一新的概念，通過討論子群的Φ-τ-可補性給出p-冪零群一些新的成果.本文在此基礎上繼續研究子群的Φ-τ-可補性，主要通過討論群G的準素數子群的Φ-τ-可補性給出p-超可解群一些新的刻畫.本文中所討論的群均是有限群，符號Up指所有p-超可解群組成的群類.未交待的概念和符號參見文獻[7,8].以下我們將介紹本文中用到的一些概念.

定義2 子群算子τ稱為

(1) 商群遺傳的：對于任意群G，如果H∈τ(G)是一個p-子群且N是G的正規子群,那么HN/N∈τ(G/N)；

(2)子群遺傳的：對于任意群G，如果H∈τ(G)是一個p-子群且H≤E≤G，那么H∈τ(E)；

(3)正則(擬正則的)：對于任意群G，如果H∈τ(G)是一個p-子群且N是G的一個極小正規子群(交換的極小正規子群)，那么|G：NG(H∩N)|是p的方冪.

(4)Φ-正則(Φ-擬正則)：對于任意的本原群G，如果H∈τ(G)是一個p-子群且N是G的一個極小正規子群(交換的極小正規子群)，那么|G:NG(H∩N)|是p的方冪.

1 預備知識

以下將介紹本文用到的一些引理.

引理1[6，引理2.1]設H是G的一個p-子群且τ是一個商群遺傳的子群算子.假定H在G中是Φ-τ-可補的.

(1)如果N是G的正規子群滿足N≤H或(|H|,|N|)=1,那么HN/N在G/N中是Φ-τ-可補的.

(2)如果τ是子群遺傳的并且滿足H≤K≤G，那么H在K中是Φ-τ-可補的.

引理2[9，引理2.16]設F是一個包含所有超可解群的非空飽和群系.設N是G的正規子群且滿足G/N∈F，如果N是循環的，那么G∈F.

引理3[8，第IX章，定理3.3]設P是G的一個Sylowp-子群，N是G的正規子群.如果N∩P≤Φ(P)，那么N是p-冪零群.

引理4[1，引理4.4]設F是一個包含群系，P是G的正規p-子群，C是P的Thompson臨界子群.如果C≤ZF(G)，那么P≤ZF(G).

引理5[10，引理2.10]設C是非平凡p-群P的Thompson臨界子群.

(1)如果p是奇素數，那么Ω1(C)的方次數為p.

(2)如果P是一個非交換2-子群，那么Ω1(C)的方次數為2.

(3)如果p=2，那么Ω2(C)的方次數至多為4.

2 主要結論

定理1 設p是|G|的一個素因子，P是G的一個Sylowp-子群.假定τ是一個Φ-正則子商群遺傳的子群算子，并設G的每個包含于P的τ-子群都次正規嵌入于G.如果P的每個極大子群在G中是Φ-τ-可補的，那么G是p-超可解的.

證明 假設定理的結論不正確，對|G|用極小階反例.

(1)Op′(G)=1

假設Op′(G)≠1，由引理1和定理的假設知G/Op′(G)滿足定理假設.因此G/Op′(G)是p-超可解的，并由此得G是p-超可解的，矛盾.所以Op′(G)=1.

(2)如果P≤K≤G，那么K是p-超可解的.

由引理1知P的每個極大子群在K中是Φ-τ-可補的，那么由G的極小性知K是p-超可解的.

(3)G有一個唯一極小正規子群N滿足G/N是p-超可解的，G=NM并且MG=1,其中M是G的一個極大子群.

(4)Op(G)=1.

假設Op(G)≠1,那么由(3)知N≤Op(G).因此由(3)易得N=Op(G)=CG(N)且G=N×|M.從而G是p-可解的.令Mp是M的一個Sylowp-子群滿足P=NMp,設N1是N的一個極大子群滿足N1在P中正規，那么P1=N1Mp是P的一個極大子群且P=NP1. 如果(P1)G≠1，那么由(3)知N≤P1，并因此有P=P1，矛盾.因此(P1)G=1,所以由定理假設G有一個次正規子群T和一個包含于P1的τ-子群S滿足G=P1T和P1∩T≤SΦ(P1).因為τ是一個Φ-正則商群遺傳的子群算子，所以由(3)知|G:NG(S∩N)|是p的方冪.若S∩N≠1，那么N≤(S∩N)G=(S∩N)P≤P1，這是不可能的.因此S∩N=1.假設S≠1.由于S在G中是次正規嵌入的，所以存在G的一個次正規子群H使得S是H的Sylowp-子群.令L是G的包含于H的極小次正規子群.因為Op′(L)在G中是次正規的，所以由(1)知Op′(L)=1.又因為L是p-可解的,所以L=OP(L)≤OP(G)=N，從而有L∩S≤L∩N=1,這顯然是不可能的,因此S=1.從而得P1∩T≤Φ(P1).又因為T是G的次正規子群且|G∶T|為p的方冪,所以由(3)知N≤Op(G)≤T,從而有P1∩N≤Φ(P1).所以P1=P1∩NMp=Mp(P1∩N)=Mp,并由此得N1=P1∩N=Mp∩N=1，從而知|N|=p.那么由(3)及引理2知G是p-超可解的，與假設矛盾.因此Op(G)=1.

(5)N∩P真包含于P

假設N∩P=P，那么P≤N.如果N

(6)最后的矛盾

由(5)知P有一個極大子群P1滿足N∩P≤P1. 顯然有(P1)G=1.所以由定理假設知G有一個次正規子群T和一個包含于P1的τ-子群S滿足G=P1T且P1∩T≤SΦ(P1).我們將證明S=1.假設S≠1.因為τ是Φ-正則商群遺傳的子群算子，所以|G∶NG(S∩N)|是p的方冪.如果S∩N≠1，那么N≤(S∩N)G=(S∩N)P≤P1,矛盾.因此S∩N=1.利用類似于(3)的討論，我們可以設S是G的一個次正規子群H的Sylowp-子群，并設L是G的包含于H的一個極小次正規子群.由(1)和(3)知L是一個非交換單群，于是易得L∩N=1或者L≤N.如果L∩N=1，那么由(2)知L?LN/N≤G/N是p-超可解的,這是不可能的.因此L≤N，從而推得S∩L≤S∩N=1，即L是一個p′-群，故L=1，但這是不可能的.因此S=1.又因為N≤T，所以N∩P≤N∩P1≤Φ(P1)，那么由引理3知N是p-冪零的，這矛盾于(1)和(4).定理得證.

推論1 假定τ是一個Φ-正則商群遺傳的子群算子.如果G的每個非循環Sylowp-子群P的每個極大子群在G中是Φ-τ-可補的，并且G的每個包含于P的τ-子群都在G中是次正規嵌入的，那么G是超可解的.

證明 由定理1知這是顯然的.

命題1 假定τ是一個擬正則商群遺傳的子群算子，P是G的正規子群p-子群.如果P的每個極小子群或4階循環子群(當P是一個非交換2-群)在G中是Φ-τ-可補的，那么P≤ZU(G).

證明 假定結論不正確，對(G,P)用極小階反例.首先證明G有包含于P的唯一極小正規子群N滿足P/N是G的主因子.設P/N是G的任一主因子，顯然(G,N)滿足定理的假設，那么由(G,P)的選擇知N≤ZU(G).如果|P/N|=p，那么P/N≤ZU(G/N)，并因此有P≤ZU(G)，矛盾.所以|P/N|>p.現假定P/R是G的另主因子滿足N≠R，類似于上面的討論有R≤ZU(G)，這就推出P=NR≤ZU(G)，這又是一個矛盾，所以N是G的滿足P/N的G-主因子的唯一極小正規子群.

設C是P的臨界子群，如果Ω(C)1,所以存在包含于P/N∩Z(Gp/N)的一個p階子群V/N,其中Gp是G的Sylowp-子群.現在令x∈VN，并記H=〈x〉，那么V=HN.由定理假設知|H|=p或4.如果V正規于G，那么有P=V，從而有|P/N|=p,這是不可能的，所以V不正規于G.顯然，HG≤VG=N.因此由定理假設知G/HG有一個次正規子群T/HG和一個包含于H/HG的τ-子群S/HG滿足G=HT并且H/HG∩T/HG≤S/HGΦ(H/HG).現假定H/HG=S/HG.因為τ是一個擬正則商群遺傳的子群算子，所以SN/N是G/N的一個τ-子群，并且|G:NG(V)|=|G:NG(HN)|是p的方冪.從而有V正規于G，這又是一矛盾.因此我們假定H/HG≠S/HG，那么H/HG∩T/HG≤Φ(H/HG).顯然H≠HG.因此H∩T≤Φ(H).在這種情況下顯然有P∩T

定理2 設p是|G|的一個素因子，Gp是G的一個Sylowp-子群，并且τ是一個Φ-正則商群遺傳的子群算子.如果P的每個極小子群或4階循環子群(當P是一個非交換2-群)在G中是Φ-τ-可補的,那么G是p-超可解的.

證明 設M是G的任一極大子群，那么由引理1易知M滿足定理的假設，因此由G的選擇知M是p-超可解的，從而知G是一個極小非p-超可解群.所以由文獻[11，第VII章，定理6.18]知G有一個正規的p-子群P滿足P=GUp，由命題3知P≤ZU(G).因為G/GUp是p-超可解的，所以G是p-超可解，定理得證.