單自由度碰振模型擦邊分岔分析

盧裕木， 吳文澤

百色學院數學與統(tǒng)計學院，廣西 百色 533000

機械振動產生一類特殊的動力學行為——擦邊. 因為擦邊，系統(tǒng)可以由周期運動進入混沌狀態(tài)，產生各種各樣的動力學現(xiàn)象. 許多學者也對系統(tǒng)擦邊行為產生豐富的動力學行為的機理進行了深入研究. Nordmark[1]首次引入Poincaré-Nordmark局部映射對單自由度碰振系統(tǒng)的擦邊運動進行了分析. 謝建華和羅冠煒[2～5]對一類碰撞振動系統(tǒng)的周期系統(tǒng)、環(huán)面分岔、余維二分岔等動力學行為做了詳細分析以及混沌控制. Hu H Y[6]通過研究系統(tǒng)的擦邊分岔，證實擦邊分岔是系統(tǒng)由周期運動進入混沌狀態(tài)的一種途徑. 譚潔燕[7]通過Lyapunov指數譜分析了一類含對稱剛性約束兩自由度碰撞振動系統(tǒng)擦邊軌道的穩(wěn)定性. G W Luo[8，9]研究了一類含間隙受周期外力的兩自由度碰振系統(tǒng)的參數多樣性對周期運動的影響.李群宏和陳玉明在文獻[10，11]中引入相對坐標討論了對碰系統(tǒng)的Lyapunov指數譜穩(wěn)定性判定問題. 本文針對一般的帶剛性約束單自由度碰振系統(tǒng)，給出系統(tǒng)滿足擦邊余維二分岔的條件，數值模擬系統(tǒng)擦邊余維二分岔點附近區(qū)域的開折圖，用Lyapunov指數驗證系統(tǒng)由于擦邊分岔是系統(tǒng)進入混沌的一種方式.

1 力學模型

1.1 系統(tǒng)力學模型

單自由度碰振系統(tǒng)微分方程可表示為

(1)

無量綱化后，方程為

(2)

其中

振子M的沖擊方程為

1.2 擦邊分岔條件

根據文獻[12]系統(tǒng)發(fā)生擦邊余維二分岔的定義，我們可以歸納出下面的結論：

定理對于系統(tǒng)擦邊點x*附近的碰撞點，如果滿足條件

則系統(tǒng)發(fā)生擦邊余維二分岔.

2 參數分岔分析

固定系統(tǒng)參數ω=3.99，同樣地以變化b做擾動，當b=0.066 7時系統(tǒng)滿足擦邊條件，此時系統(tǒng)作混沌運動(圖1(a)) ，時間歷程圖(圖1(b))和Lyapunov指數圖(圖1(c)) 最大Lyapunov指數大于零．伴隨著逐漸減小b的值，b=0.063時系統(tǒng)為一碰二周期運動(圖2(a))，時間歷程圖(圖2(b))和Lyapunov指數圖(圖2(c))；b=0.05時系統(tǒng)為碰撞一周期運動(圖3(a))，時間歷程圖(圖3(b))和Lyapunov指數圖(圖3(c)).

圖1(a)圖1(b)

圖1(c)圖2(a)

圖2(b)圖2(c)

圖3(a)圖3(b)

另一方面，觀察b從b=0.066 7處逐漸增大，b=0.075時系統(tǒng)作混沌運動(圖4(a))，時間歷程圖(圖4(b))和Lyapunov指數圖(圖4(c))，最大Lyapunov指數為正數；b=0.08時系統(tǒng)作未碰一周期運動(圖5(a))，時間歷程圖(圖5(b))和Lyapunov指數圖(圖5(c))，最大Lyapunov指數為負數. 由以上的分析知，參數變化引起了的相圖變化，擦邊分岔同樣是系統(tǒng)進入混沌的另一種方式.

通過上述數值模擬驗證，最大Lyapunov指數大于零，系統(tǒng)做周期運動；最大Lyapunov指數小于零，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運動，表明了擦邊分岔系統(tǒng)進入混沌的另一種途徑.

圖3(c)

圖4(a)圖4(b)

圖4(c)圖5(a)

圖5(b)圖5(c)

3 結束語

碰撞振動系統(tǒng)由于擦邊從周期運動進入混沌狀態(tài)，產生豐富的非線性動力學現(xiàn)象.本文對一類單自由度含間隙剛性碰撞振動系統(tǒng)進行研究，首先給出滿足系統(tǒng)發(fā)生擦邊余維二分岔的條件. 然后畫出系統(tǒng)滿足余維二分岔點及其附近的運動相圖，并且一一對系統(tǒng)運動相圖的Lyapunov指數進行了驗證，數值仿真表明Lyapunov指數驗證系統(tǒng)周期運動和混沌運動的正確性，證實由參數引起相圖結構的變化的分岔導致系統(tǒng)混沌發(fā)生.