不確定變時滯線性切換系統(tǒng)的H∞記憶輸出反饋控制

秦燕飛， 包俊東

內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022

0 引言

切換系統(tǒng)是由一族子系統(tǒng)和描述它們之間聯(lián)系的切換規(guī)則組成的混雜系統(tǒng)[1].切換系統(tǒng)在實際工程系統(tǒng)中應(yīng)用很廣泛，如通信系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、航空航天系統(tǒng)、化工系統(tǒng)、交通系統(tǒng)等[2].近年來，切換系統(tǒng)已經(jīng)引起廣大學(xué)者的研究，而帶有記憶的控制器的引入更加符合實際，且為綜合控制器的可行性提供了更好的自由度，因而對此類問題的研究更具有實際應(yīng)用及理論價值.文獻[3]對線性切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析進展進行了綜述.文獻[4]研究了一類存在狀態(tài)時滯和不確定性的線性切換系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制問題,利用公共Lyapunov函數(shù),系統(tǒng)在滿足特定魯棒H∞性能時,狀態(tài)反饋控制器存在的條件和求解方法.文獻[5]利用多Lyapunov函數(shù)方法，針對一類時變時滯的離散切換系統(tǒng)，在切換狀態(tài)反饋控制策略下，給出了魯棒H∞控制器的設(shè)計方案.文獻[6]利用多Lyapunov函數(shù)和Schur補引理，研究了一類具有多時滯的離散切換系統(tǒng)的魯棒H∞控制問題.文獻[7]研究了一類離散線性切換系統(tǒng)的動態(tài)輸出反饋控制器設(shè)計問題和魯棒H∞穩(wěn)定性條件.文獻[8]采用仿射二次穩(wěn)定方法，研究了一類具有一般形式的不確定性時滯系統(tǒng)的魯棒H∞性能下解存在的充分條件.文獻[9]綜合通過構(gòu)造Lyapunov泛函和線性矩陣不等式的方法，對一類廣義不確定性非線性擾動和具有時變時滯的切換系統(tǒng)，設(shè)計了狀態(tài)反饋控制器，得到系統(tǒng)的魯棒H∞鎮(zhèn)定和控制問題.文獻[10]研究了一類不確定性切換系統(tǒng)基于切換時間的動態(tài)輸出反饋魯棒H∞控制.文獻[11]利用Lyapunov-Krasovasklii泛函研究了具有時滯的Lurie控制系統(tǒng)的H2/H∞混合動態(tài)輸出反饋控制問題.

本文將研究參數(shù)不確定性線性時變時滯切換系統(tǒng)，進一步考慮帶有記憶的魯棒H∞控制的綜合問題.運用Lyapunov泛函方法、線性矩陣不等式以及文獻[12，13]所提供的不等式.考慮帶有記憶的控制器使系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及控制綜合擁有了更多的自由度及更好的合理性，并利用線性矩陣不等式形式得到了輸出反饋的魯棒H∞控制器的綜合的充分條件.

1 系統(tǒng)的描述和準備

考慮以下含參數(shù)不確定性的帶有記憶的輸出反饋時變時滯切換系統(tǒng)

(1)

系統(tǒng)(1)的閉環(huán)系統(tǒng)

(2)

(3)

定義1 對于任意給定的常數(shù)γ>0，線性不確定性切換系統(tǒng)(1)具有輸出反饋H∞控制器，如果

(1)當外部擾動輸入ω(t)≡0時，閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；

(2)在系統(tǒng)初始條件φ(t)≡0,t∈[-d1,0]時，對于所有非零的ω成立‖z‖2≤γ‖ω‖2,ω∈L2[0,+∞).

在分析和推導(dǎo)的過程中，我們會用到以下的引理.

引理1[12]給定適當維數(shù)的矩陣Y，D和E，其中Y是對稱的，則Y+DFE+ETFTDT<0，對所有滿足FTF≤I的矩陣成立，當且僅當存在一個常數(shù)ε>0，使得Y+εDDT+ε-1ETE<0.

(i)S<0；

引理3[13]對于任意適當維數(shù)的矩陣X，Y，且存在一個常數(shù)ε>0，有

2 主要結(jié)果

定理1 對于閉環(huán)系統(tǒng)(3)，如果存在矩陣Ki∈Rp×l，P=PT>0,Q=QT>0，R=RT>0且R∈Rn×n，P∈Rn×n,Q∈Rn×n,正實數(shù)h<1,h1<1使得矩陣不等式

(4)

此時系統(tǒng)(1)在任意切換下，均具有魯棒H∞控制.

證明 先證在外部擾動ω(t)≡0時閉環(huán)系統(tǒng)(3)是魯棒漸近穩(wěn)定的.

構(gòu)造Lyapunov泛函如下

(5)

其中P∈Rn×n，Q∈Rn×n,R∈Rn×n.

對(5)式沿著系統(tǒng)(3)求導(dǎo)得

(6)

(7)

(8)

(9)

-(1-h)xT(t-d(t))Qx(t-d(t))+xT(t)PB2iKiDix(t-τ(t))

(10)

當ω(t)≡0時，

-(1-h)xT(t-d(t))Qx(t-d(t))+xT(t)PB2iKiDix(t-τ(t))

-(1-h1)xT(t-τ(t))Rx(t-τ(t))

(11)

即

(12)

由引理3知，其中

(13)

故

(14)

欲使(14)式小于0，則需

(15)

下證閉環(huán)系統(tǒng)(3)滿足魯棒H∞性能.

對給定的常數(shù)γ>0，在零初始條件下，引入性能指標

(16)

當ω(t))≠0時，

(17)

-(1-h)xT(t-d(t))Qx(t-d(t))+xT(t)PB2iKiDix(t-τ(t))

(18)

由z(t)=Cix(t)，故

(19)

又

(20)

由(18)式、(19)式及(20)式得到

(21)

即

(22)

由引理3知

(23)

由(22)式和(23)式得到

(24)

欲使J<0成立，則需

(25)

綜上所述，定理1證畢.

注1：定理1給出了系統(tǒng)(1)的魯棒H∞控制器存在的充分條件，但由于不等式中含有不確定性，因此不能由Matlab中LMI工具求解，所以要把(4)式變?yōu)榭汕蠼獾木€性矩陣不等式.

定理2 對于閉環(huán)系統(tǒng)(3)，給定標量ε，存在Yi∈Rp×l，i={1,2,...}，XT=X>0，S∈Rn×n，T∈Rn×n有下列矩陣不等式成立

(26)

證明 由(4)式及Schur補引理知

及

(27)

(28)

則(28)式等價于

(29)

由引理1可知，要使不等式(29)成立，當且僅當存在一個常數(shù)ε>0

(30)

由(30)式可得

(31)

由Schur補引理知(31)式等價為

(32)

3 數(shù)值仿真

給定魯棒性能指標γ=1，ε=0.15，h=0.25，h1=0.2由(26)式及Matlab求出相應(yīng)的可行解為

給定魯棒性能指標γ=1，ε=0.23，h=0.2，h1=0.1.由(26)式及MATLAB求出相應(yīng)的可行解為

4 結(jié)論

本文綜合利用Lyapunov泛函和矩陣不等式方法，研究了一類不確定性線性時變時滯切換系統(tǒng)及帶有記憶的輸出反饋控制器的魯棒H∞控制問題，通過使用具有記憶的輸出反饋控制器，保證了閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒漸近穩(wěn)定，同時給出了在魯棒性能要求下可行解存在的充分性判據(jù)，最后的結(jié)果轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式給出，通過數(shù)值仿真給出驗證了定理的有效性和實用性.