輔助線在初中幾何解題中的應用與技巧

劉亞萍

摘要：初中幾何數學問題更多的考查學生對數學圖形的分析能力，老師在教學的過程中不能以教學生會解題為目的，要更加注重對學生分析圖形能力的培養，在幾何數學問題中運用輔助線的方法就是一種分析結合問題的過程，巧妙的建立一條正確的輔助線能夠讓幾何問題的難度大大降低，幫助學生理清做題的邏輯思維，使初中幾何數學問題更容易的解決。本文從輔助線添加原則、輔助線在主要題型中的應用對其解題技巧進行分析。

關鍵詞：初中數學;幾何;輔助線

一、 引言

初中數學幾何問題在教學中占據著十分重要的地位，但是許多學生對幾何數學問題常抱著逃避心理，認為初中數學幾何問題很難，一面對初中幾何問題就會下意識地產生抵觸心理。其實幾何數學問題只是一只紙老虎，解決這類數學問題的關鍵就在于能否畫出正確的輔助線，構建相應的輔助圖形，找到問題的突破口，一旦對圖形作出正確的輔助線便很容易將幾何數學問題解決。

二、 輔助線的添加原則和注意事項

為幾何圖形添加輔助線的方法有成百上千種，但能夠產生作用的輔助線只有幾條，在初中數學幾何圖形中對輔助線的作圖與運用也有一定技巧，學生需要通過加強對集合數學問題的訓練，不斷加強對解決幾何數學問題的規律、方法和技巧的掌握。

（一）分析題目隱含條件信息

在解答初中幾何數學題目的過程中，幾乎每道題目中都蘊含著隱含條件，并且，這樣的隱含條件也將成為順利解題的關鍵。在初中幾何數學問題中所給出的數學條件與需證明的結論之間的邏輯關系往往不會很明確，一般需要通過添加輔助線的方式來構建鏈接條件與結論之間的“橋梁”，為幾何圖形問題提供解題思路。做輔助線不能像無頭蒼蠅一般想怎樣就怎樣做圖，如何做出更有價值的輔助線要依靠學生對題目的分析理解能力，老師在教學過程中要不斷培養學生對題目隱含信息的敏感度。如題：“如圖所示，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，點E在AD上，求證：BC=AB+CD。”在這道題中，題目所給條件沒有一個是關于邊的信息，如何構建輔助線將角關系轉化成邊關系，關鍵在于分析幾何問題題目，找到隱含信息。利用題中角平分線信息通過構造全等三角形的方法找到BC與AB、CD的關系，在線段上找到一點E，使BF=AB，只需證明CF=DC即可，即證明△ECF≌△ECD，由于AB∥CD，則∠A+∠D=180°，∠A=∠BFE，∠BFE+∠EFC=180°，因此∠D=∠EFC，即可證明CF=DC。

（二）充分發揮特殊點、線的作用

在初中幾何數學題中的特殊點及線的位置往往是解決幾何問題的突破口，在解題時學生要注意對線段中點、角的平分線、三角形的中線以及高等的把握，對特殊點和線段的性質要熟練掌握與運用。在解決幾何問題時先從特殊點位置對圖形刻畫輔助線入手，不僅有利于學生面對復雜圖形問題能建立起邏輯關系，進行條理化分析，達到化繁為簡的目的，通過這樣的解題方式能夠有效的解決以往學生在解答習題時解題難、沒有解題思路的問題，進一步減少學生對初中幾何數學問題的畏難心理，同時，有利于培養學生的分析問題、總結規律的能力，有利于加深學生對初中數學幾何知識的理解與認識。

三、 輔助線在初中數學幾何問題中的應用分析

輔助線在初中數學幾何問題中按類型可以劃分為延長型、平移型、分隔型輔助線等，在不同類型的幾何問題中輔助線的運用也大不相同，本文針對如何在三角形、四邊形以及圓形幾何問題中運用輔助線進行了分析。

（一）輔助線在三角形中的運用

通過近幾年對初中數學幾何問題的教學，筆者總結出了一些針對三角幾何問題的經驗：第一點，當題目中提供角平分線的信息時，可以向角平分線的兩邊做垂線，找到全等或相似三角形，讓題目的隱含條件和信息顯示出來。第二點，當題目中所給信息為一個角平分線和一條平行線時，可以得到兩個全等的等腰三角形，此時對角平分線做垂線、輔助線或對等腰三角形做三線合一的輔助線往往能找到問題的突破口。第三點，當三角形中出現線段垂直平分線時，可以嘗試將線段兩端相連找到角與線段的關系，當題目讓求證一條線段長度等于另外兩條線段長度之和時，可以采用延長或縮短線段長度的辦法。第四點，當題目要求證線段和差不相等的問題時，同學們可以朝著在三角形中兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊的方向進行思考和論證，并盡量將三個線段放進一個三角形中進行論證。比如，以第四點為例進行分析，“如圖所示，已知：D、E為三角形ABC的兩個內點，求證：AB+AC>BD+DE+CE”通過閱讀題目可以發現，該題屬于求證三角形線段和差不相等類問題，因此我們可以作輔助線連接DC，使四邊形BDEC轉化成兩個三角形BDC和三角形DEC，通過定理：在三角形中兩邊之和小于第三邊，可以得到隱含信息：DE+ECBD+DE+CE得證。

（二）輔助線在四邊形中的應用

對于現實生活中出現的任何問題我們都可以找到或創造出對應的解題模型，對于初中數學平行四邊形幾何問題的解決也是如此，用心解題就能總結出相應的解題方法和技巧：第一點，當題目中出現平行四邊形時，可以從找到平行四邊形旋轉對稱中心入手解決問題，其旋轉對稱中心就是平行四邊形的對角線等分點，方便找到隱含的線段相等信息。第二點，當題目中出現梯形幾何問題時，要注重對圖形轉換技巧的把握，可以通過作梯形腰的平行線的方法，將題型轉化為平行四邊形和三角形，進一步分析角和線段之間的關系。第三點，如果題目中提供的圖形是腰上的中點時，可以嘗試連接兩中線構建平行于圖形上底或下底的輔助線。第四點，充分利用圖形比例式子代換，利用等積等式進行等量代換。比如，以第一點為例進行分析，“如圖所示，AD為三角形ABC的中線，BE交AC于點E，交AD于點F，且AE=EF，求證：BF=AC”，可以通過平行四邊形對角線互相平分的性質構造平行四邊形ABGC，將求證BF=AC轉化成求證同一三角形內BF=BG，構造出兩個等腰相似三角形（三角形AEF與三角形BFG）。

（三）輔助線在圓形中的應用

第一點，當遇到求證有關圓的弦的幾何問題時，可以通過作弦心距的輔助線或者作垂直弦半徑的輔助線找到題目隱含關系。第二點，當遇到計算切線長度或圓的半徑長度的幾何問題時，可以作經過圓心垂直于切線的輔助線，通過半徑和設未知數的方法利用勾股定理計算二分之一切線的長度，進而得到切線長度。第三點，當遇見三角形內切圓的相關幾何問題時，可以利用三角形內切圓的那些性質作出內心到三角形各頂點或垂線的輔助線，得到三角形的三個角平分線以及三條線段相等的關系。第四點，當遇到三角形外接圓的相關幾何問題時，可以利用三角形外接圓的外心性質作出連接外形到三角形各頂點的輔助線，得到三條相等線段，進一步分析圓和三角形的關系。以第二點為例進行分析，“如圖所示，AB為圓O的弦，點P為弦AB上的一點，其中AB=10cm，AP=4cm，OP=5cm，求圓O的半徑。”，作過圓心O垂直于AB的輔助線OC，與AB的交點為C，并連接OA，設圓O的半徑長度為rcm，根據勾股定理得到關系式，解出答案。

（四）輔助線在特殊四邊形中的應用

在初中階段的幾何解題當中特殊四邊形也是非常常見的一類題型，并且這類題型也有著一定的解題困難，但是運用了輔助線之后便可以有效的簡化整個解題過程，促使解題的效率能夠進行相應的提升。在解答關于特殊四邊形的幾何題目當中，可以利用好它們的對角線來進行解題。如下圖，ABCD的對角線BD朝著兩個方向進行延長，分別延長至點E和點F，并且BE=DF。求證：AECF為平行四邊形。

已知平行四邊形的判定原理為：對角線互相平分的四邊形為平行四邊形。因此，根據定理可以連接AC，并且做出如下證明：

證明：在AECF內連接AC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD。

又BE=DF，

∴OB+BE=OD+DF，

即：OF=OE，且OA=OC。

因此，可以證明AECF為平行四邊形。

在添加輔助線之后解題過程也變得簡潔起來，使得原本不是十分清晰的解題思路變得簡單明了，這也更加符合學生的學習水平，促使學生的解題效率也能得到逐步的提升。通過這樣的解題方式也能最大限度地避免學生出現解題難、缺乏解題思路的問題，使學生在解答這類題目的過程中解題思路了然于心。

四、 總結

在初中數學幾何課堂教學中要善于運用輔助線的方法解決幾何問題，在教學過程中老師更要積極引導學生通過邏輯思考找到正確的輔助線，而不是向學生講解一道數學題，告訴學生作輔助線的思路和方法，在初中數學幾何課堂中讓學生掌握解題方法和技巧遠比解出一道題有價值。學生需要通過不斷的練習幾何數學問題來熟練掌握幾何解題技巧，同時，也要善于對做過的題進行總結，找到靈活多變的題型的解題方法，需要注意的是在作輔助線時要畫虛線，學生只要對幾何數學問題多加練習一定可以輕松地應對各種幾何問題題型。此外，學生也不能忽略對數學基礎知識的練習，要熟練記憶并掌握三角形、等腰三角形、圓形、平行四邊形、梯形等幾何圖形的性質，在解題時能熟練運用相關知識。

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