基于傳熱學的爐溫曲線研究

摘? 要：文章針對設計回流焊爐焊接系統各溫區對應下的最優溫度和傳送帶過爐速度，使用牛頓冷卻定律與傅里葉定律，構建了沿傳送帶方向試件經過各溫區溫度的差分模型;進一步設計一種搜索算法，在允許的范圍內，尋求出試件最大傳送帶過爐速度;最終設立合理的指標，使用蒙特卡洛法和模擬退火算法全局尋優，得到了各溫區對應下的最優溫度和傳送帶過爐速度。

關鍵詞：回焊爐;爐溫曲線;傳熱學;差分方程;搜索算法;模擬退火算法

中圖分類號：TP273;TN405? ? ? 文獻標識碼：A 文章編號：2096-4706（2020）20-0018-05

Furnace Temperature Curve Research Based on Heat Transfer

FANG Haohang

（School of Mechanical Engineering Yangtze University，Jingzhou? 434023，China）

Abstract：In order to design the optimal temperature and the conveyor belt passing speed in each temperature area of the reflow furnace welding system，Newtons law of cooling and Fouriers law were used to construct the difference model of the temperature of specimens passing through each temperature area along the conveyor belt direction. A search algorithm is further designed to find the maximum conveyor belt passing speed within the allowable range. In the end，a reasonable index was set up，Monte Carlo method and simulated annealing algorithm were used to search for global optimization，and the optimal temperature and conveyor belt passing speed under each temperature region were obtained.

Keywords：reflow furnace;furnace temperature curve;heat transfer;difference equation;search algorithm;simulated annealing algorithm

0? 引? 言

回流焊是目前應用于集成電路板最廣的焊接工藝，本文對2020年全國大學生數學建模競賽題進一步研究，為提高回流焊接工藝的效益，提出一種設計回焊爐內各溫區最佳溫度的方法。通過測量的電路板在爐內任一位置溫度（爐溫曲線），調整模型中各參數。提出一種搜索算法，尋求出電路板最大過爐速度。由于焊接過程需要滿足一定的要求，建立了合理的評估指標，最終使用蒙特卡洛法與模擬退火算法進行全局尋優，尋求出回焊爐各個溫區的最佳溫度以及電路板的最佳過爐速度。作者基于參加2020全國大學生數學建模競賽的經驗，對回焊爐有一定了解，希望通過建模的方法探尋最佳爐溫系統，在整個過程中主要負責數學模型的推導與構建以及代碼的實現。

1? 回焊爐介紹

1.1? 回焊爐組成

回焊爐分成4個大溫區：預熱區、恒溫區、回流區、冷卻區，如圖1所示。本文中根據賽題中已知的回焊爐尺寸以及一次回流焊數據進行模型的構建，其中含有11個小溫區及爐前區域和爐后區域，小溫區長度為30.5 cm，間隙5 cm，爐前、爐后區域長25 cm。

1.2? 回焊爐內環境與生產要求

回焊爐啟動后，爐內溫度短時間穩定。間隙不做特殊控制，其溫度與相鄰溫區的溫度有關。實際生產時各小溫區設定溫度可以進行±10 ℃調整。調整時要求小溫區1～5中的溫度保持一致，小溫區8～9中的溫度保持一致，小溫區10～11中的溫度保持25 ℃。傳送帶的過爐速度調節范圍為65～100 cm/min。在回焊爐電路板焊接生產中，爐溫曲線應滿足一定的要求，稱為制程界限，如表1所示。

1.3? 回焊爐內溫度分析

小溫區空氣溫度可視為均勻分布。沿著傳送帶方向焊接區域溫度沿著傳送帶方向不盡相同。因此本文僅研究傳送帶中心環境的一維傳熱過程，將回焊爐分為如圖1所示的三類區域：小溫區對應傳送帶上的區域Di（i=1，2，…，11），間隙對應傳送帶上的區域Bj（j=1，2，…，10），單熱源影響區域對應傳送帶上的區域Ck（k=1，2）。

2? 模型的建立

2.1? 模型構建思路

由于電路板溫度與軌道焊接區域溫度直接相關，而焊接區域溫度又與兩邊小溫區溫度相關，則本文建模主要分兩部分：

第一部分構建模型旨在設計回焊爐焊接區域不同位置的溫度分布，考慮在熱傳導與熱對流的兩種熱傳遞方式下，運用牛頓冷卻定律以及傅里葉定律，構建爐內氣體傳熱模型以及間隙環境傳熱模型。分別構建出小溫區環境溫度、間隙環境溫度、爐前爐后環境溫度模型并整合為環境溫度分布模型。

第二部分構建模型旨在探究電路板溫度與焊接區域溫度之間的關系，由于回焊爐主要加熱方式為小溫區持續噴射出的熱風與電路板直接的熱傳遞，因此本文主要考慮對流傳熱，運用牛頓冷卻定律，構建電路板溫度變化差分模型。

綜上所述繪制出本文模型構建的思維導圖，如圖2所示。

2.2? 環境溫度分布模型

2.2.1? 小溫區Di環境溫度模型

小溫區產生的熱量持續向空氣輸入最終趨于平衡。則傳送帶中心位置氣體溫度Uat=Ui。Ui為第i個小溫區溫度。

2.2.2? 間隙Bj的環境溫度模型

由熱力學定律可知，熱量可以自發地從高溫物體傳給低溫物體。工程上任何復雜的傳熱現象都是由傳導導熱、對流傳熱、熱輻射三種基本傳熱方式組成[1]。間隙Bj的環境溫度變化主要通過熱傳導和熱對流產生。為探求間隙的環境溫度變化，進行如下推導。

2.2.2.1? 爐內氣體傳熱

傳送帶不同區域上的溫度變化是以氣體作為介質，易熱傳導的方式熱量交換。設兩個小溫區i、i+1溫度分別為Ui、Ui+1（Ui+1>Ui），間隙的溫度還未平衡時，由熱力學第二定律，熱量能夠自發地從高溫物體傳遞給低溫物體。根據傅里葉定律：單位時間內流過單位橫截面積的熱量q與溫度的下降成正比[2]。

（1）

其中，負號為熱量流動方向與溫度升高方向相反，λ為導熱系數， 為溫度沿x方向變化率。

如圖3所示，設任意位置x0處t時刻的溫度為U（x0，t），如圖做兩個垂直熱流方向的橫截面積ΔS。dt時間內通過x0+dx處ΔS橫截面流入小柱體內的熱量為：

流出小柱體內的熱量為：

由上述兩式可得dt時間內小柱體凈流入量為：

（2）

由于，故可化簡為：

（3）

記dV=ΔSdx，則dt時間內小柱體單位體積內的凈熱量為：

（4）

已知，熱傳導介質的密度為ρ，比熱容為c，dt時間內引起小柱體單位體積溫度升高所需的熱量為dq=cρ（Ut+ dt-Ut），而dt時間內流入小柱體的熱量即為使小柱體溫度升高所需的熱量由于，整理可得一維的熱傳導方程為：

（5）

當溫區間的溫度穩定后，溫度將不隨時間變化，因此爐內空氣溫度是關于位置的函數U（x），溫度梯度? 也不隨時間變化。

2.2.2.2? 間隙氣體對流傳熱模型

通過氣體對流進行熱量交換的方式為熱對流，其能量交換滿足牛頓冷卻定律[2]：

Q=Sα（Uat-U）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（6）

其中，Uat為小溫區焊接區域氣體溫度，U為間隙焊接區域氣體溫度，S為垂直高溫氣流方向的截面積，α為換熱系數，反映對流換熱程度的強弱。

由式（6）可知單位時間小溫區焊接區域氣體吸收的熱量dQ=Sα（Uat-U）dt，與氣體溫度升高dU需要吸收的熱量dQ=ρcVdU相等，即：

Sα（Uat-U）dt=ρcVdU? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（7）

式中，ρ為小溫區焊接區域氣體密度，c為小溫區焊接區域氣體比熱容，V為電路板體積。設時間從t到t+dt時，溫度從U1變化到U2，對式（7）兩邊同時積分得 ，兩邊同時求原函數并取對數得Uat-U1=（Uat-U2） 記 （τ>0），則：

U2=U1+（Uat-U1）（1-）? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

根據以上推導，最終選擇直線U（x）為間隙焊接區域氣體溫度分布：

U（x）=? ? ? ? ? ? ? ? ?（9）

理由如下：式（9）滿足傳導傳熱規律，當溫度不隨時間變化，溫度是關于位置的函數U（x），溫度梯度? 也不隨時間變化;式中U（x）滿足對流傳熱過程中的牛頓冷卻定律;對于回焊爐內間隙長度為5 cm較小，用直線擬合產生的誤差也較小;氣體溫度分布滿足流體的連續介質假說[3]。

2.2.3? 單熱源影響區域Ck溫度

單熱源影響區域是指受單個熱源影響的區域。由于單熱源影響區域一邊溫度較高，熱傳導的能量會從另外一邊散失的很快，該區域氣體溫度升高所需的能量的主要是通過對流換熱，其溫度變化應滿足牛頓冷卻定律。U0為生產車間的溫度，Us為單熱源的溫度，Ux為距離單熱源x位置處的氣體溫度，由式（8）可得溫度在單熱源影響區域的分布為：

Ux=Us+（U0-Us）（1-e-xψi）? ? ? ? ? ? ? ? ?（10）

其中，ψi為第i個單熱源對鄰近區域溫度的影響程度，其大小反映了介質導熱能力的強弱，不同單熱源影響的區域，參數ψi不同。

2.2.4? 環境溫度分布模型

根據上述模型的推導，聯立式（9）（12）可得爐內環境溫度在傳送帶上的一維分布：

（11）

2.3? 爐溫曲線差分模型

由于電路板附近熱氣流從小溫區噴射出，最終到達電路板表面與其發生熱傳遞。傳送帶周圍的氣體與電路板之間熱傳遞的方式為熱對流，則電路板表面溫度應滿足對流換熱式（8）。

將式（8）寫成差分形式：

（12）

其中，U（t）為t時刻電路板的表面溫度，Uat（vt）為電路板在t時刻的位置所對應的環境溫度，β為電路板與環境的換熱系數。

實際電路板表面的溫度隨時間的變化有一定的滯后性[4]，即：

U′（t）=U（t-γΔt）=U（t-Δt-γΔt）+[Uat（vt-vγΔt）

-U（t-γΔt-Δt）]（1-）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （13）

將此模型記為模型Ⅰ，式中，γ為電路板表面溫度的延時常數。

3? 參數確定

本文根據賽題中第一問數據：各溫區設定的溫度分別為175 ℃（小溫區1～5）、195 ℃（小溫區6）、235 ℃（小溫區7）、255 ℃（小溫區8～9）及25 ℃（小溫區10～11），傳送帶的過爐速度為70 cm/min的實際與理論爐溫曲線的偏離程度作為評判，利用實驗數據調整爐溫曲線差分模型中各參數，最終得到的ψ1=0.160，ψ2=0.014，ψ3=0.019，β=50，γ=2，最終理論與實際爐溫曲線對比圖如圖4所示。

4? 尋求最大過爐速度

實際生產過程中，電路板的過爐速度越快，則電路板焊接數量越多，效益越好。然而過爐速度并不能無限制增大，還需滿足制程界限如表1所示。因此為了使效益最大化，本文選取各溫區溫度的設定值分別為182 ℃（小溫區1～5）、203 ℃（小溫區6）、237 ℃（小溫區7）、254 ℃（小溫區8～9）爐溫曲線滿足制程界限的情況下，尋求出符合要求的最大傳送帶過爐速度。

4.1? 最大過爐速度模型建立

約束條件可由制程界限推導出。目標函數：需尋求出符合要求的最大傳送帶的過爐速度。則目標函數為：max v，v為傳送帶過爐速度。

最大過爐速度模型（模型Ⅱ）：

max v

（14）

其中，t1為第一次達到150 ℃對應的時間，t2為第一次達到190 ℃對應的時間， 為降溫至150 ℃時間， 為降溫至190 ℃時間。

4.2? 最大過爐速度模型求解

4.2.1? 搜索算法的構建

模型Ⅱ本質上是一個單變量最優化問題，提出一種搜索算法其過程為：

（1）確定初始搜索區間[v1，v2]，搜索步長為Δv;

（2）在搜索區間[v1，v2]內按步長Δv從大到小搜索，記錄第一個滿足約束條件的速度v;

（3）更新搜索區間[v-Δv，v+Δv]，并縮小搜索步長Δv，使其變為? ;

（4）重復步驟（2）、（3），直到Δv

上述算法流程圖如圖5所示。

以上算法初值與參數的設定：

傳送帶過爐速度調節范圍為v∈[65，100]，初始搜索步長設定為1。參數n=10，即每次更新后步長變為原來的? ;參數p=10-4，即最終輸出速度的精度為10-4。

4.2.2? 模型Ⅱ運算結果

模型Ⅱ通過以上搜索算法利用Matlab軟件編程求解，得到允許的最大傳送帶過爐速度為：

vmax=75.76 cm/min

5? 最優爐溫系統設計

理想的爐溫曲線還應使超過217 ℃到峰值溫度所覆蓋的面積盡可能小，進一步還希望以峰值溫度為中心線的兩側超過217 ℃的爐溫曲線應盡量對稱。因此合理調節回焊爐各個溫區溫度，既能保證電路板的焊接質量，又能使得效益最大化。

5.1? 最優爐溫系統模型建立

首先要求在制程界限求出最優爐溫曲線以及其對應各溫區設定溫度、傳送帶過爐速度即可得對應約束條件。各溫區最合適溫度表示為Ub=[Ub1，Ub2，Ub3，Ub4]，其中Ub1∈[165，185]表示小溫區1～5的設定溫度，Ub2∈[185，205]表示小溫區6的設定溫度，Ub3∈[225，245]表示小溫區7的設定溫度，Ub4∈[245，265]表示小溫區8～9的設定溫度。最合適的傳送帶速度為vb。

目標函數的確定：

設A為超過217 ℃到峰值溫度所覆蓋的面積，ta為第一次到達217 ℃的時間，tb為溫度到達峰值的時間，則覆蓋面積為：

令Δt=，則原式表達為：

（15）

為描述兩邊曲線的對稱程度，令（Ti，Ui）與（ti，ui）分別是差分方程U′（t）上距離對稱軸（峰值所在的x軸垂線）最近的第i個點。當Δx較小時，Ti與ti重合，要使得峰值溫度兩側超過217 ℃爐溫曲線盡可能對稱，即是使得|Ui-ui|足夠小，則：

Ui-Ui+1≈ui-ui+1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（16）

由式（16）可得 ，εi為第i個方程的偏差。方程偏差越小，說明中心線兩邊曲線的對稱性越好。根據方差的定義，該方程每一個偏差越小說明偏差的方差也越小。即研究對稱性目標函數為：

（17）

為建立更合理的評價指標，本文將綜合考察曲線對稱性和面積大小兩個因素。

將爐溫曲線超過217 ℃到峰值所覆蓋的面積映射到[0，1]，消除量綱的影響，避免面積的數值遠大于斜率偏差方差所造成的“大數吃小數”現象，所以面積大小比率為：

（18）

此外，由于焊接材料熔點為217 ℃左右，溫度在217 ℃到峰值溫度覆蓋的面積意義在于：若電路板溫度高于217 ℃時間過短或者溫度峰值太低會導致焊接材料融化不完全，焊接效果較差;若電路板溫度高于217 ℃時間過長或溫度峰值太高會導致焊接材料最終融化為液體四處流動，焊接效果較差。然而，使得超過217 ℃的爐溫曲線盡可能對稱的意義在于焊接材料不會發生驟冷或者驟熱，從而避免焊接材料由于降溫太慢或太快導致其最終形成的焊接材料韌性太差或者脆性太強，實際材料的驟冷驟熱對材料的性能雖有影響，但影響并不是很大。權衡上述兩方面因素，材料溫度條件的重要性高于超過熔點部分爐溫曲線的對稱條件。所以衡量爐溫曲線優劣程度的指標Assess，取權重為ω1，ω2作為衡量這兩個因素的重要性，本文取ω1=0.7，ω2=0.3。最終，得到綜合評價指標：

Assess=0.7η+0.3σ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （19）

其中，面積大小比率η由式（18）求得，斜率偏差方差σ由式（17）求得。

則計算超過217 ℃到峰值溫度的最小覆蓋面積的模型Ⅲ為：

minAssess=0.7η+0.3σ

（20）

5.2? 最優爐溫系統模型求解

本文使用退火算法求解，其優點在于其會按照一定概率跳出局部最優，以達到尋找全局最優解的目的，并且算法收斂速度很快，用于求解多變量組合優化問題十分有效。通過退火算法，運用計算機求解，可得各溫區對應下的最優溫度和傳送帶過爐速度如表2所示。

計算出斜率偏差方差σ=0.533 6，面積比率η=0.583 8，模型的評價指標為Assess=0.568 7。對應爐溫曲線如圖6所示，其中虛線是電路板已經離開回焊爐或已經通過回焊爐。

6? 結? 論

本文針對一種型號的回焊爐的爐溫曲線進行研究，首先根據機理構建了一維的爐溫曲線差分模型，使用一次實驗測量的數據進行模型各參數的調整后，模型的理論爐溫曲線與實際爐溫曲線基本重合，因此本文模型較為精確。在模型精確的前提下，進一步使用搜索算法，蒙特卡洛法以及模擬退火算法全局尋優，尋求出了使得經濟效益最大時對應的試件的最大過爐速度以及各溫區應被控制穩定的溫度。

因此，若要探究其他型號回焊爐的最優爐溫系統，只需測量一次該種型號回焊爐爐溫曲線，然后根據實驗數據調整本文模型內各參數，本文模型即可適用于該種回焊爐。若制程界限有所不同，對應調節本文模型Ⅱ與模型Ⅲ的約束條件，采用相同的研究方法即可設計出不同型號回焊爐對應的最優爐溫系統。

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作者簡介：方灝航（1999.05—），男，漢族，湖北黃岡人，本科在讀，研究方向：機械工程。