基于通用發生函數與成功流法的多態系統可靠性分析算法研究

曹慧， 段富海， 江秀紅

(1.大連理工大學 機械工程學院， 遼寧 大連 116024；2.沈陽航空航天大學 電子信息工程學院， 遼寧 沈陽 110136)

0 引言

傳統可靠性分析方法主要應用于二狀態系統，如故障樹分析法、二元決策圖等。但由于環境、負載、老化等問題，部件存在退化、突發等多種失效形式，使系統呈現多態性質，導致傳統二狀態分析方法難以適應實際工程應用[1]，因此需要有針對性地研究多態系統可靠性分析問題。

成功流(GO)法是一種以成功為導向的系統可靠性建模方法[2]，迄今已成功應用于系統可靠性分析[3-6]。但GO法定量計算方法(如概率公式算法)在分析多態系統可靠性問題時較為復雜，因此傳統GO法只適用于分析二狀態系統或簡單多態系統的可靠性問題[7-8]。近年來關于GO法的研究大多集中在GO法對多態系統的擴展應用上，如 Zhou等[9]通過重新定義GO法中操作符3與操作符15，定量分析了縮式致動器多態系統可靠性。王海朋等[10]將GO法與模糊數學模型相結合，提出了適應不確定性多態系統可靠性分析的模糊GO法。GO法雖然能夠對多種系統結構圖直接建模，但其計算過程含有共有信號，大大增加了計算復雜度。因此，許多學者針對GO法共有信號修正問題進行了研究，如文獻[11-12]利用概率矩陣算法(PMA)改進了共有信號修正算法，提出一種新的多態GO操作符，并基于改進GO法建立了多態慣性導航系統可靠性模型。Ren等[13]提出了一種基于多值決策圖的多態GO模型高效算法，避免了復雜共有信號修正過程，并可通過定性計算直接獲得系統最小路集和割集。上述研究方法成功地將GO法應用在復雜多態系統中，并形成了多種可靠性計算方法。但基于GO法的大多數相關研究中，實際技術應用較多，而針對GO法計算效率改進算法的研究仍顯不足。

目前，適用于多態系統分析的方法有多態故障樹、多值決策圖、蒙特卡洛算法、通用發生函數(UGF)等[14]。其中 UGF方法是一種分析系統可靠性的有效代數方法，該方法最早由Lisnianski等[15]應用于電力系統可靠性分析中。Lisnianski等[16]結合可靠性框圖與UGF，對多種復雜多態系統結構可靠性進行分析，為UGF在可靠性領域應用提供了較完整的基礎理論。Lisnianski等[17]將UGF與隨機過程相結合，準確預測了冗余結構多態系統的短期和長期性能。Larsen等[18]利用UGF方法評估了性能加權的k/n系統可靠性。

本文結合傳統GO法和UGF，提出適用于多態系統可靠性計算的UGF-GO算法，以有效提高復雜系統可靠性計算效率。UGF-GO算法的基本思想是利用GO法對復雜系統結構進行建模，得到由系統部件操作符及信號流構成的系統可靠性分析GO圖；利用u函數表征GO圖中各操作符及其狀態概率，分析GO圖結構得到系統輸出狀態函數U(z)，進而直接得到系統可靠性。UGF-GO算法的共有信號修正基于UGF分層計算思想，在計算過程中可消除共有信號對后續操作符的影響，通過對含共有信號的子系統輸出信號進行修正，得到準確系統輸出狀態概率。與傳統GO法相比，UGF-GO算法的計算過程簡便靈活，易于編程實現。

1 基本理論

1.1 GO法基本原理

GO法可以通過分析系統結構直接建立GO圖。GO圖中操作符代表部件及其邏輯關系。GO法主要步驟是建立GO圖和進行GO運算。GO圖建立時，要求標明操作符類型和編號，至少有一個輸入操作符(類型4或5)，其余操作符輸入輸出信號流連通且不存在反饋環節[7]。GO運算有狀態組合算法(定性)及概率公式算法(定量)。定性運算根據操作符運算規則分析系統輸出信號狀態及各狀態可能的組合。定量運算在定性運算基礎上，計算輸出信號各狀態概率，由于系統輸出信號各狀態相互獨立，可直接計算得到系統狀態概率。定量計算過程中，若某操作符輸出信號為后續兩個或多個操作符的輸入信號，則該信號為共有信號，需要修正。

1.2 UGF方法

UGF方法[19]以離散信號分析中的z變換為理論基礎，是一種解決系統多態可靠性分析問題的有效方法，同時該方法能夠較好地解決多態系統的共有信號修正問題。在多態系統中，利用發生函數描述部件狀態和狀態概率的關系，通過系統部件狀態u函數構成系統結構U函數，采用發生函數運算法則計算系統的U函數，從而得到系統可靠性[20]。假設系統部件各狀態間統計獨立，則描述部件隨機變量X的u函數可定義為

(1)

式中：u(z)為X的u函數；z為輔助變量；xj為X的狀態參數，j=0,…,k；pj為相應狀態概率。

通過定義系統結構算子?f可將(1)式中u函數形式作更一般化地推廣，得到描述系統各部件結構關系的U函數[21]：

(2)

式中：?f(·)為系統結構函數；f(xij1,…,xnjn)為與?f有關系統各部件的狀態組合。令Xi的u函數為ui(z)，則系統關于結構函數f(X1,X2, …,Xn)的U函數還可表示為

U(z)=?f(u1(z),u2(z),…,un(z)).

(3)

定義結合z變換與結構算子?f的系統分析方法為UGF方法。本文系統結構由GO圖建立，因此系統結構算子定義為?g形式。UGF對系統或部件參數的狀態形式及數量沒有限制，因此這種方法更適合于多態系統分析，GO法對系統可靠性建模簡單方便。本文結合二者的優勢提出UGF-GO算法，用以解決系統多態可靠性分析問題。

2 UGF-GO算法

2.1 UGF-GO算法過程

UGF-GO算法是結合UGF，對傳統GO法的擴展性應用。UGF-GO算法所有操作符的狀態組合由u函數表示，同時可根據系統u函數的結構關系直接計算系統狀態概率。

UGF-GO算法的計算過程：

1) 根據系統結構建立GO圖，確定輸入操作符及其狀態概率，建立系統部件輸入信號u函數：

(4)

式中：ui(z)為系統部件i的u函數；xij表示部件i處于j(j∈{0,1,…,ki})狀態；pij(∑pij=1)為相應狀態概率。

2)分析GO圖系統結構關系，利用系統結構算子?g建立系統U函數：

U(z)=?g(u1(z),u2(z),…,un(z)).

(5)

3)根據u函數運算法則，對系統U函數進行分步計算，得到U函數成功狀態概率，對系統U函數成功狀態求導，即可得系統可靠性：

R=U′(z).

(6)

2.2 UGF-GO算法共有信號修正

GO圖中，某信號同時參與多個操作符的運算，則稱該信號為共有信號。共有信號作為多個操作符的輸入信號，因此后續相關操作符的輸出信號都會含有或部分含有該共有信號。存在共有信號的系統必須進行共有信號項的修正，否則會產生較大的計算誤差[7]。

概率公式算法[7]的共有信號修正方法是對輸出信號狀態累積概率AR進行修正。AR可表示為

AR=N(AS1,AS2,…,ASM)，

(7)

式中：N(·)為多項式函數；AS1,AS2,…,ASM為M個輸入信號Si的狀態累計概率。

當系統只有一個共有信號Sa時，第i個部件輸入信號狀態概率和共有信號修正精確算法公式分別為

ASi=a0i+a1iASa，

(8)

(9)

式中：a0i、a1i與共有信號無關，a0i=0表示Si完全包含共有信號Sa，a0i≠0表示部分包含共有信號。

系統有L個共有信號Sl時，輸出信號AR的計算公式為

(10)

本文將共有信號以及后續操作符劃分為子系統，并認為子系統的狀態概率是整體以共有信號為前提的條件狀態概率，在子系統內部不考慮共有信號的影響，只對子系統整體輸出信號進行修正。設共有信號Sa故障狀態為xSa，相應狀態概率為vSa，含有單個共有信號Sa的子系統u函數為uSa(z)，則子系統輸出信號修正算子ξ定義為

ξ(uS(z))=(1-vS)uS(z)+vSzxS.

(11)

在同一系統GO圖出現多個共有信號Sl時，則根據計算時序將系統劃分為多個包含共有信號的子系統，分層計算各子系統并修正。設包含共有信號的子系統u函數為

(12)

設共有信號故障狀態概率為vSl，輸出信號修正算子π定義為

(13)

UGF-GO算法將共有信號作為子系統條件概率，不再對輸出信號累積狀態概率進行修正，而直接對輸出信號狀態概率進行一次修正，即可得到精確輸出狀態概率。這樣不僅有效消除了共有信號對后續操作符的影響，簡化了共有信號修正過程，還降低了系統GO圖的計算復雜度，使其更適用于多態系統的可靠性分析。

2.3 UGF-GO算法改進

在UGF-GO算法中，根據GO法給出的標準操作符類型定義，各操作符的邏輯運算關系可用u函數直觀描述。常用的GO操作符有類型1(兩狀態單元)、類型2(或門)、類型5(信號發生器)、類型6(有信號導通)、類型10(與門)、類型11(M取K門)等，其中部分操作符u函數計算過程如下：

1)類型1(兩狀態單元)。圖1中類型1操作符u函數只有成功(1)和故障(0)兩種狀態，輸入u函數有0,…,k種狀態，其中0表示故障狀態。

圖1 類型1(兩狀態單元)操作符Fig.1 GO operator of Type 1 (two-state units)

類型1操作符輸出狀態u函數為

(14)

式中：p表示操作符1成功輸出狀態概率；j表示uS函數狀態值，j= 0, …,k.

2)類型2(或門)。圖2中類型2操作符表示M個輸入u函數uS1,uS2,…,uSM的或邏輯關系。

圖2 類型2(或門)操作符Fig.2 GO operator of Type 2 (OR gate)

根據(2)式任意兩個輸入u函數uSb、uSc，經或邏輯運算后輸出狀態u函數為

(15)

式中：pbjb表示uSb的輸出狀態概率，jb表示uSb的狀態值，jb=0, …,kb；pbjc表示uSc的輸出狀態概率，jc表示uSc的狀態值，jc=0, …,kc.

3) 類型10(與門)。圖3中類型10操作符表示M個部件u函數uS1,uS2,…,uSM的與邏輯關系，輸出狀態值是M個輸入信號的最小狀態值，根據(2)式，類型10操作符輸出狀態u函數為

(16)

圖3 類型10(與門)操作符Fig.3 GO operator of Type 10 (AND gate)

4) 類型11(M取K門)。圖4中類型11操作符為M取K門邏輯，表示M路通路中K路信號成功，系統即為成功狀態。此時將系統輸出狀態值按降序排列，系統成功狀態概率為各通路成功狀態概率之和。

圖4 類型11(M取K門)操作符Fig.4 GO operator of Type 11 (K out of M gate)

設操作符算子為Uφ，φ(M,K)=1(M≥K)。類型11操作符輸出狀態u函數為

(17)

式中：uSi表示操作符11的M路輸入u函數。

3 基于UGF-GO算法的系統可靠性分析

3.1 算法基本應用

圖5 電源開關系統GO圖Fig.5 GO chart of power switch system

圖5是電源開關系統GO圖，該系統是由5個操作符組成的串聯與并聯多態系統，其中信號輸入操作符1、2含有(2)、無(0)信號兩種狀態。操作符1的輸出信號為后續操作符3、4的輸入信號，因此輸出信號1是該系統的共有信號。操作符3、4除成功(2)、故障(0)狀態外，還存在異常狀態(1)。系統GO圖中各操作符功能及狀態概率如表1所示。

表1 電源開關系統操作符數據Tab.1 Operator data of power switch system

根據UGF-GO算法，得到電源開關系統U函數為

(18)

U(z)即為系統的狀態概率，將各操作符狀態概率代入(18)式，可得電源開關系統可靠性為U′(2)=0.857 7. 該結果與文獻[7]中概率公式算法結果一致，驗證了UGF-GO算法的有效性。算例中雖然串/并聯系統存在多態部件，但UGF-GO算法計算操作符2、3、4的過程不受共有信號1的影響，只對系統輸出信號5進行一次修正，即可得到準確的串/并聯系統可靠性。

3.2 共有信號修正

圖6給出了一個含共有信號的供水系統GO圖，系統由14個操作符組成。各操作符只有成功(1)和故障(0)兩個狀態。其中操作符11是(4取2門)操作符，信號1、5、11是后續操作符的共有信號，在計算系統輸出狀態概率時需要修正。

圖6 供水系統GO圖Fig.6 GO chart of feed water system

設各操作符成功狀態概率為p1=0.999 99,p4=p10=0.999 9，p2=p3=p6=p7=p8=p9=p12=p13=0.999，p5=p11=0.99. 假設共有信號1、5、11相互獨立，考慮到共有信號的影響，經過(13)式修正后最終輸出狀態概率U函數可表示為

(19)

式中：

d6(z)=〈v5z0+(1-v5)u(z),u(z)〉；

(20)

(21)

操作符7、12、13輸出狀態u函數與操作符6類似。將各操作符狀態概率代入(19)式，得到系統輸出成功概率精確值為U′(1)=0.999 796，此結果與文獻[2]分析的結果一致，證明了UGF-GO算法的共有信號修正方法有效。UGF-GO算法可利用計算公式直觀描述GO圖系統結構，因此可在MATLAB等軟件中對GO圖進行一次建模，直接通過系統各部件狀態概率得到系統輸出狀態概率，提高計算效率，若已知系統部件可靠性分布，則可利用采樣計算得到系統可靠性分布規律。

3.3 系統可靠性分析

圖7 某型飛機供電系統GO圖Fig.7 GO chart of an aircraft power supply system

某型號飛機電氣系統如圖7所示。圖7中270 V質量供電系統可以減小載流導線尺寸，從而將質量、壓降和功耗減至最小。系統中大功率發電機產生270 V直流電，其中部分轉化成115 V交流或28 V直流，為特定設備或負載供電[22]。對該系統建立系統GO圖，采用UGF-GO算法分析其系統可靠性。

設該系統為多態系統，即系統輸出信號有正常(2)、老化故障(1)和突發故障(0) 3種狀態。其中匯流條設備為老化故障狀態，老化可由微小接觸電阻阻值累積導致的性能退化表征，各設備退化可靠性Ri(t)由Gamma過程建模仿真。發電機和變流器輸出信號為正常和突發故障兩種狀態。操作符10、16輸出信號分別包含共有信號3、4，計算輸出信號10、16時需要修正。某型號飛機供電系統操作符數據如表2所示。

表2 某型飛機供電系統操作符數據Tab.2 Operator data of an aircraft power supply system

注：α、β為Gamma過程參數，p0為突發故障概率。

由于系統結構呈對稱分布，分別含有共有信號3、4的子系統也為對稱形式，具有相同u函數，兩個子系統u函數分別為

(22)

共有信號3、4的u函數分別為

(23)

共有信號修正為

u10(z)=ξ3(ug1(z))，u16(z)=ξ4(ug2(z))，

(24)

GO圖系統U函數為

(25)

可得某型號飛機供電系統可靠性為U′(1)。根據UGF-GO算法計算得各部件可靠性及系統退化過程可靠性如圖8所示。

圖8 某飛機供電系統可靠性Fig.8 Reliability of aircraft power supply system

供電系統部分部件可靠度隨時間變化數據如表3所示。

表3 部件和系統可靠性隨時間變化數據Tab.3 Time-variant reliability data of components and system

從仿真結果可以看出，通過結合系統各部件退化可靠性分布模型， UGF-GO算法可以有效地對系統可靠性進行評估。本文算法通過采樣各操作符關于時間的可靠性數據，直接得到系統可靠性精確結果，這是UGF-GO算法的優點。且本文在保證計算效率的前提下，使系統可靠性分析結果考慮全部系統部件的退化性能影響，這也為后續系統維修策略優化提供了研究基礎。

4 結論

本文在傳統GO法基礎上結合UGF提出了UGF-GO算法，并給出了GO法常用操作符的基本計算過程及共有信號修正算法。得出以下結論：

1) UGF-GO算法改進了GO法操作符計算過程，通過直觀描述GO圖系統結構關系，有效簡化了系統可靠性分析過程；UGF-GO算法采用分層分析思想，簡化了系統輸出狀態的共有信號修正過程。

2)UGF-GO算法與概率公式算法計算結果對比，驗證了UGF-GO算法用于靜態系統可靠性分析的準確性；通過結合系統部件可靠性分布函數，UGF-GO算法可直接得到系統動態可靠性變化規律。