新課標(biāo)下高中函數(shù)值域、最值求解方法的探究

楊煜東 （內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市第二中學(xué)）

函數(shù)值域問題和最值問題是兩個不同的概念。簡單地說，存在最值的函數(shù)，其未必有確定的值域；反之，值域確定的函數(shù)未必有最大值、最小值。只是在常見的一些函數(shù)中，函數(shù)值域與最值的求解方法是相通的、類似的。歸納起來，常用的方法有：觀察法、配方法、分離常數(shù)法、判別式法、反解法、數(shù)形結(jié)合法、換元法、均值定理法、對勾函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法

一、觀察法

某些函數(shù)形式比較簡單，可以通過觀察法較為迅速地得出函數(shù)值域，例如求下列函數(shù)的值域：

（2）f(x)=1-2x，x∈R

分析：以上三個函數(shù)分別屬于含絕對值函數(shù)、一次函數(shù)、分段函數(shù)，其定義域已經(jīng)給定，其各自的值域我們可以通過觀察的方法迅速得到，分別為：（1）{-1，0，1}；（2）R；（3）{0，1}

二、配方法

以二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、圖像為依托，利用數(shù)形結(jié)合思想求解某函數(shù)在給定區(qū)間的最值和值域問題。這種方法一般適用于形如：

求函數(shù)的值域:f(x)=x2-2x-3，x∈［-2， ］2

分析：f(x)=(x-1)2-4

此函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)一元二次函數(shù)，其圖像為

小結(jié)：對二次函數(shù)型值域問題，我們通常可以采用配方并結(jié)合圖像的方法求解。

三、分離常數(shù)法

分析：由x2+x+1＞0 得，該函數(shù)定義域為R

令 u=x2+x+1，則

小結(jié)：分離常數(shù)的方法也可用于上述類型函數(shù)值域的求解，同時，以上解法中整式相除的方法值得關(guān)注，會為我們解題帶來便利。

當(dāng)然上述例題也可以用其他方法求解.

四、判別式法

（1）在△≥0中，應(yīng)考慮“=”是否成立

（2）由于在變形過程中涉及去分母,故應(yīng)考慮函數(shù)的定義域是否為R

（3）應(yīng)討論 f(y)=0 的情形

（4）原函數(shù)定義域應(yīng)為自然定義域

分析：原函數(shù)變形為（x2+x+1）y=3x2+3x+1整理得（y-3）x2+（y-3）x+y-1=0，（*）

（1）y-3=0 時，方程式不成立

（2）y-3≠0 時，（*）式在 x∈R 時有解，

小結(jié)：該解法將函數(shù)值域問題轉(zhuǎn)化為判斷方程根的問題，利用一元二次方程的判別式求解值域。

注：本解法更適用于定義域為R 的兩個二次式相除的值域問題。

五、反解法

分析：原函數(shù)變形得2y+ycosx=2-sinx

即sinx+ycosx=2-2y

小結(jié)：這種方法是利用某些函數(shù)的特性，例如有界性，將原函數(shù)反解，轉(zhuǎn)化為關(guān)于函數(shù)值y 的不等式，進(jìn)而求解出原函數(shù)的值域。

一題多解是數(shù)學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維能力的很有效的一種方法，像上述這道題我們還可以借助于數(shù)形結(jié)合的思想探究該問題。

六、數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中要求學(xué)生掌握的一種重要的思維方法。形是數(shù)的外在表象，數(shù)是形的靈魂實質(zhì)，華羅庚先生曾講：數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。足見數(shù)形結(jié)合思想的重要性。

我們可以給上式賦予一定的幾何含義——斜率k

可以理解為點 P（-cosx，sinx）和點 Q（2，2）連線的斜率，而P 點是單位圓上的點，結(jié)合上圖

由圖可知:PQ 連線介于圖中兩條切線之間，我們可以建立PQ 的直線方程為：

y-2=k(x-2)，即 kx-y+2-2k=0

數(shù)形結(jié)合思想將“數(shù)”與“形”有機地結(jié)合在一起，使得我們的抽象思維具有現(xiàn)實的依托，更便于我們對知識的理解與探究。

七、換元法

很多時候，試題中的已知和待求的結(jié)論很難看出直接聯(lián)系，甚至是相去甚遠(yuǎn)。因此，為了建立已知和未知的聯(lián)系，我們常常會引進(jìn)一個（或幾個）新的變量來替代原有的變量，旨在揭示出已知與未知之間被表面形式掩蓋著的實質(zhì)，從而探究出解題的切入點。換元法是一種重要的解題方法，掌握這種方法的關(guān)鍵是構(gòu)造變換式，常見的換元形式有：代數(shù)換元、三角換元、參數(shù)換元。

小結(jié)：處理上述類型無理函數(shù)常用的方法是將其轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)，通過換元的方法，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為t 的二次函數(shù)問題。

八、基本不等式法（均值定理）

均值定理的核心：如果若干個正數(shù)的積（或和）為常數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)這若干個正數(shù)相等時，它們的和（或積）有最小（或最大）值。

求下列函數(shù)的值域

分析：

分析:

小結(jié)：針對某些函數(shù)，我們可以通過變形，構(gòu)造均值定理的基本形式，利用均值定理求解函數(shù)值域，但應(yīng)注意均值定理適用的條件——“正，定，等”，如果我們遇到“貌合神離”的試題又應(yīng)如何處理呢？比如下面這個例題

九、對勾函數(shù)法

求下列函數(shù)的值域

分析：

若該函數(shù)用均值定理求解值域，不滿足等號成立的條件，于是上法不可取。

該函數(shù)圖像如圖

結(jié)合圖像可知:f(x)在[2，+∞）上單調(diào)遞增

分析：

由對勾函數(shù)可得

課程改革之后，將微分學(xué)的初步知識引入到了高中教材之中，為我們求解函數(shù)值域問題帶來了很大的方便，使得利用導(dǎo)數(shù)知識研究函數(shù)問題成為一種常用的方法。

十、導(dǎo)數(shù)法

求下列函數(shù)的最大值和最小值

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)定義來確定函數(shù)的值域與最值

（1） f(x)=x3-2x2+1，x∈［-1，］2的最大值和最小值

分析：

f'(x)=3x2-4x，令 f'(x)=0，得

得列表

?

由表可得f(x)max=1，

所以，x∈[-1，2]時，f(x)=x3-2x2+1 的最大值為1，最小值為-2

分析：

f'(x)=3x2-3ax=3x（x-a），令f'(x)=0，得x=0或x=a

分析：

∴f(x)在區(qū)間[0，a]上單調(diào)遞減，在[-1，0]和[a，1]上單調(diào)遞增

由f(x)的單調(diào)性可知，f(x)最大值只可能在f(0)和f(1)中選取f(x)最小值只可能在f(-1)和f(a)中選取

分析：

當(dāng) f'(x)＞0，即x＞-ln a 時，f(x)在(-lna，+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng) f'(x)＜0，即x＜-lna 時，f(x)在（-∞,-lna）上單調(diào)遞減；

i）當(dāng) 0 ＜a ＜1 時，-Ina＞0，f(x)在（0，-lna）上遞減，

在（-Ina，+∞）上遞增，

∴f(x)在[0，+∞)內(nèi)的最小值為 f(-1ma)=2+b

ii）當(dāng) a≥1 時，-Ina≤0，f(x)在[0，+∞)上遞增,

以上給出的是求函數(shù)值域的常用方法，有時還要把這些方法結(jié)合起來使用，同時在求解函數(shù)值域時也應(yīng)特別關(guān)注函數(shù)的定義域、奇偶性、周期性、對稱性等一系列性質(zhì)，這將對我們解答試題以及探究函數(shù)問題提供很大的幫助。