淺談整體思想在初中數學解題中的應用

姜華文

[摘 ?要] 新課改風向標下，數學思想的滲透始終是數學教學的核心，而整體思想在數學思想中占據主要地位，有著廣泛的應用性，是貫穿初中數學解題領域的主線之一. 因此，關注到整體思想在解題中的應用具有重要的現實意義. 對此，文章的重點從求值問題、方程問題和應用問題入手，引導學生展開解題思維，滲透整體思想，最終讓數學的核心素養在數學課堂落地生根.

[關鍵詞] 整體思想;數學解題;思想方法;數學思維

新課程改革推進下，明確提出了“四基”理念，體現了數學思想在數學學習中的重要意義. 數學思想是數學學習中的核心內容，也是數學解題中最具生命力的存在，是遺忘數學知識或數學方法之后還需保留的思維方式.

初中階段常見數學思想眾多，整體思想則占據主要地位，有著廣泛的應用性，是貫穿初中數學解題領域的主線之一，對數學問題的解決有著意想不到的作用，也是后續高中數學解題中的基本內容之一，因此整體思想一直是中考命題的重心. 整體思想就是對問題進行整體處理的解題方法，它的表現形式多種多樣，有整體代換、整體變形、整體設元等. 本文將以數學解題中的整體思想為主線進行全面梳理，充分挖掘其中蘊含的解題策略，以期在解題教學中能更充分地發揮數學思想的教育教學價值，有助于培養學生分析和解決問題的能力，提升學生的數學思維和數學學習水平.

求值問題中運用整體思想可化繁為簡

用整體的觀點認識數學公式和數學法則，用整體的觀點分析和解決數學問題，進而培養學生思維的發散性、靈活性、敏捷性，從而提高解決問題的效率. 初中數學中的代數式求值問題是初中數學“數與式”中的重點題型，往往在歷年中考中扮演著極其重要的角色. 這類題目呈現的是一個含有未知變量的等式，然若通過常規思維去求未知變量并代入求解，則會生成相當大的計算量，過程相當煩瑣，有些甚至無法下手. 但若運用整體思想靈活進行整體代換，則可以簡化解題過程.

例1 ?已知4c2-c-6=0，試求出8c2-2c-5的值.

分析 ?該題涉及代數式的求值問題，而學生較為熟悉的常規解題思路則是求出具體的c的值，然后代入得出代數式的值. 其一，觀察求值式子可以看出所求的是一個關于c的多項式，自然就需要挖掘條件4c2-c-6=0去求出具體的值. 而很顯然條件4c2-c-6=0無法輕易進行因式分解，那么未知數c的值就很難得出了. 再轉換思路，從一元二次方程的求根公式著手進行求解，盡管理論上是可行的，但解題過程相當的煩瑣，也極易出錯. 于是這兩種常規的解題思路自然是不可行的. 再深入觀察并分析，可關注到未知式中的部分“8c2-2c”剛好是已知式中的部分“4c2-c”的兩倍，那么這里就很顯然考查了學生的整體思想. 不難想到進行恒等變形，將已知式變形為4c2-c=6，未知式中的8c2-2c變形為2（4c2-c），那么問題便迎刃而解了.

例2 ?已知x2-3x=6，試求出6x-2x2的值.

分析 ?本例題乍一看已知式與未知式之間似乎毫無關聯，而深入觀察則可發現之間存在著密切的內在聯系. 事實上，未知式是已知式相反數的2倍，有了這一思路，我們便可以將已知式x2-3x=6變形為3x-x2=-6，再將式子兩邊同時乘以2，即可快速求得未知式的值.

上述兩道例題關注到了整體思想的合理運用，同時也是對學生數學學習方法和解題能力的一種考查，對學生數學思維的提升有一定助推作用. 由此可以看出，不少代數求值類問題若拘泥于常規解法，則很難進行突破，易形成舉步維艱的局勢. 而用整體思想進行解題，則可以快速而準確地把握解題的方法和策略，則可以達到柳暗花明、一舉成功的效果，讓問題解決得清晰明了，使復雜的問題簡單化.

解方程問題中運用整體思想可曲徑通幽

在初中階段的數學代數學習中，整體換元法是時常會用到的一種數學思想方法，一般運用于解方程或方程組問題中，掌握并應用好這一思想方法可以提高解題能力. 所謂的整體換元法，就是在解題過程中，將某個式子視為一個整體，以一個變量取而代之，從而使問題簡化解決. 事實上，整體換元法的運用不僅可以培養學生的數學思維，幫助學生減少不必要的運算量，達到提升運算速度，掌握速算技巧的目的，還有助于學生創新思維的培養，從而為學生在中考取得較好的成績謀求最大利益.

例3 ?已知12x2-4x+1= ，試求出x的值.

分析 ?該題涉及方程問題的解決，若從一般思路出發謀求解題路徑，則需去除等式右側的分母，那么式子兩側就需同時乘以6x2-2x，并整理. 很顯然，此時式子的未知數的最高次項為四次，等式的復雜不言而喻，對下一步的計算造成了較大的壓力. 而從式子的整體著手，認真觀察方程的結構可以看出6x2-2x是12x2-4x的一半，那么只需令y=6x2-2x，所以2y=12x2-4x，化簡式子可得2y+1= ，等式兩側同時乘以y，整理可得2y2+y-3=0，這樣一來，y的值即可快速求出. 而又因為y=6x2-2x，那么再求出x的值就十分簡捷了.

例4 ?解方程組2x+3y=12①，7x-17y=97②.

分析 ?本題若從常規換元出發進行求解，則可設2x=6+t，3y=6-t，則有x=3+ ，y=2- . 很顯然，這樣一來分式也隨之出現了，為進一步運算帶來了很大的麻煩. 而我們換一種換元思路，去設2x=6+6t，3y=6-6t，則有x=3+3t，y=2-2t，這樣一來則可以達到化繁為簡的解題效果.

以上題型熟悉且不常見，較易入手且又富有一定的思考價值，重點考查了學生整體思想的運用，并與新課標理念相融合，這樣的題型指引為后面的中考復習指明了正確的方向. 由此可見，整體換元法具有廣泛的應用性和普遍性，熟練掌握換元法可以為數學解題創造更多的契機. 合理應用整體換元法可化難為易、化繁為簡，為解決復雜的方程和方程組問題供給重要的解題工具.

應用問題中運用整體思想可另辟蹊徑

數學解題推崇的就是簡捷，因此在解決一些數學應用題時若能著眼于整體深入觀察，則可以觸及問題本質，獲得簡捷的解法. 在應用問題中運用整體思想，不僅達到另辟蹊徑、出奇制勝的效果 ，還有助于學生思維敏捷性的培養.

例5 ?小明、小紅和小剛是好朋友，小紅和小明從各自的家中出發，并朝著對方家的方向前進，小紅與小明兩家相距30 km，小紅的步行速度為1 km/h，小明的步行速度為2 km/h. 而小剛與他們不同，三人同時出發，但它在小紅與小明相遇前騎著自行車以5 km/h的速度在二人之間進行往返運動，直至兩人相遇. 那么，小剛從小紅和小明出發直至相遇共騎行路程為多少？

分析 ?通過反復解讀不難得出這里要求的是小剛一共所騎行的距離，那么就需得出小剛在遇到小紅與小明二人其中之一時所走的路程，然后將各段所行路程相加即為所求距離. 這一方法進行解題則是源于小剛在不斷往返中與小紅和小明多次遇見，若逐個分析并累計計算路程，不少學生會因為次數繁多而造成疏忽，顯然計算錯誤是無法避免的. 若此處利用整體思想進行解決，根本不需經歷煩瑣的計算，只需根據公式“路程=速度×時間”計算即可. 因為小剛的行駛速度是已知的，時間即為小紅與小明兩人相遇所用時間，這樣一來，解題思路清晰明了，解題策略也甚是巧妙，更不可能出現計算上的錯誤，真是一舉兩得.

解題的目標就是為了達到思維和能力提升的目的，此處通過整體思想對該問題進行“再創造”即達到培養數學思維的目的. 通過以上例題可以看出整體思想在應用問題中的作用，這一方法應用所取得的效果是其他解題策略所無法達到的，從而體現了“整體思想”的重要性.

總之，數學思想是形成數學能力的催化劑，是促進數學解題的靈魂. 在中考中，幾乎每一個把關題和探究題都蘊含著一種以上的數學思想. 我們只有在教學中不斷滲透整體、轉化、數形結合等多種數學思想，引導學生勤于總結，勇于反思，從解題策略中反復提煉理論精華，促進數學思想的靈活運用，達到提升數學思維的目的，最終讓數學的核心素養在數學課堂落地生根.