對(duì)于圓錐形號(hào)筒聲學(xué)輸出的研究

張睿智

摘 要

本文對(duì)圓錐形號(hào)筒輸出聲音的聲學(xué)屬性進(jìn)行了理論與實(shí)驗(yàn)的探究。通過對(duì)傳統(tǒng)假設(shè)進(jìn)行分析，給出傳統(tǒng)假設(shè)的優(yōu)化，得到了較為接近實(shí)際的號(hào)筒傳聲模型。理論分析了圓錐形號(hào)筒的輸入聲音與輸出聲音在聲壓、頻率、波形上的關(guān)系。并且從實(shí)驗(yàn)上探究了圓錐形號(hào)筒的形狀、大小、材質(zhì)，對(duì)于輸出聲音的聲壓的影響。

關(guān)鍵詞

圓錐形號(hào)筒;聲學(xué)輸出;接近實(shí)際的號(hào)筒傳聲模型

中圖分類號(hào)： TM46? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457 . 2020 . 10 . 10

0 前言

一個(gè)簡(jiǎn)易的錐形或牛角形裝置可以優(yōu)化人聲向遠(yuǎn)處收聽者的傳遞。人們利用該現(xiàn)象制作了各式各樣的號(hào)筒。而在生活中最常見的就是指數(shù)形、雙曲線形和錐形的號(hào)筒。

前人對(duì)號(hào)筒中聲音的傳播大都基于假設(shè)：傳播的聲波的波陣面按照截面的規(guī)律變化。該假設(shè)存在以下的不足：首先，沒有考慮過聲音可以“透過”號(hào)筒壁進(jìn)行傳播，或被號(hào)筒壁吸收;其次，由于假設(shè)中的條件，后人在研究號(hào)筒時(shí)，大都假設(shè)號(hào)筒“無限長(zhǎng)”，這也與實(shí)際情況不符。

本文將以圓錐形號(hào)筒為例，利用能量守恒定律，對(duì)傳統(tǒng)模型中的“忽視能量損失”的假設(shè)進(jìn)行修正，并對(duì)“有限長(zhǎng)”號(hào)筒內(nèi)外的聲學(xué)輸出進(jìn)行探究。

1 緒論

我們先回顧一下傳統(tǒng)的號(hào)筒模型。由傳統(tǒng)假設(shè)，我們得到號(hào)筒內(nèi)的波動(dòng)方程應(yīng)為：

S為號(hào)筒在x處的截面積，P為聲壓，而該圓錐形號(hào)筒的形狀，如圖1所示：

若用P=P（x）ejwt來表示輸入聲波，那么（1）式變?yōu)椋?/p>

其中，k為輸入聲波的波矢。

當(dāng)該號(hào)筒無限長(zhǎng)時(shí)，在號(hào)筒內(nèi)的反射波不存在，故而，上方的微分方程，解得：

上述過程存在如下的問題：

（1）聲音在號(hào)筒內(nèi)的傳輸過程是有損耗的。

（2）現(xiàn)實(shí)生活中無限長(zhǎng)的號(hào)筒是不存在的，號(hào)筒外的輸出聲波也要探究。

2 理論分析

2.1 號(hào)筒內(nèi)

首先，我們來解決問題1，當(dāng)聲波“撞擊”到號(hào)筒壁時(shí)，將會(huì)有三個(gè)去向：被反射、發(fā)生透射或者被吸收。雖然絕大部分的聲能會(huì)通過反射保留在號(hào)筒內(nèi)，但還有相當(dāng)?shù)穆暷芤驗(yàn)橥干浠蛭斩鴵p失掉，如圖2所示：

這部分損失的聲能，我們假設(shè)與該截面處的側(cè)面積微元和聲強(qiáng)值成正比，比例系數(shù)我們?cè)O(shè)為α，并定義該系數(shù)為耗散系數(shù)（α<1）。于是，我們可以利用能量守恒定律，得到以下方程：

W0是初始的聲功率，I（x）是x處的聲強(qiáng)值。

聲強(qiáng)與聲壓的關(guān)系：

Pe為聲壓有效值，ρ0為空氣介質(zhì)密度，c0為聲速。由（4）與（5）我們得到：

忽略其波形失真（在后面會(huì)解釋原因），我們最終有：

其中P1（x）是x處的聲壓最值，P1（0）是喉部的聲壓最值。

（8）式是我們相對(duì)于傳統(tǒng)的理論所給出的修正，相對(duì)于傳統(tǒng)的（3）式，（8）式考慮到了材質(zhì)因素的影響。

現(xiàn)在我們來討論有關(guān)于號(hào)筒內(nèi)聲波的失真現(xiàn)象。由先前的推導(dǎo)過程我們發(fā)現(xiàn)P=P（x）ejwt中的時(shí)間項(xiàng)始終不受影響，故而對(duì)于號(hào)筒傳聲，是不存在頻率失真的，即號(hào)筒內(nèi)的輸入頻率與輸出頻率始終相同。但是號(hào)筒在傳聲過程中會(huì)存在諧波失真，原因主要有兩點(diǎn)：

（1）當(dāng)號(hào)筒口部的聲壓滿足人們要求時(shí)，其喉部聲壓級(jí)大到十分可觀。前腔中的空氣發(fā)生很大的壓縮（稠密）和膨脹（稀疏），這一過程十分迅速，以致空氣來不及進(jìn)行熱交換。此時(shí)，空氣的壓縮和膨脹是一絕熱過程，前室中PV滿足：

PVγ=C（P為氣壓，C是常數(shù)）

P和V之間的關(guān)系如圖三，若聲源振幅較大時(shí)，在喉部形成的壓力波不再是正弦波。聲源向前振動(dòng)（壓縮）時(shí)，前室壓強(qiáng)增大，并且大于聲源向后振動(dòng)（膨脹）時(shí)的壓強(qiáng)降低，這種失真的壓力波由喉部向號(hào)筒口部傳播出去，便產(chǎn)生非線性失真。

（2）即使在喉部獲得一個(gè)不失真的正弦波，聲波在傳播中也會(huì)產(chǎn)生失真。究其原因是大振幅時(shí)壓力大的部分（壓縮區(qū)）傳播速度要比壓力小的部分（稀疏區(qū)）傳播速度大，從而造成波形失真（見圖 2），其中包括 2次諧波失真。由此可以估算由于空氣壓縮和膨脹的不對(duì)稱性而產(chǎn)生的2次諧波失真系數(shù)：D圓錐

上式中，D圓錐和D指數(shù)代表高度相同，兩端開口面積相同的號(hào)筒：γ是空氣的絕熱系數(shù)，約為1.4;P（0）是喉部聲壓，若對(duì)應(yīng)聲壓級(jí)為85dB，則聲壓為0.37Pa;L為號(hào)筒高度，設(shè)為1m;f為輸入頻率，設(shè)為1000Hz;P0是大氣壓，約為103kPa;聲速c0常溫下約為340m/s，由此估算得：D圓錐<5.74×10-3%

由此可見，對(duì)于圓錐形號(hào)筒，其非線性失真可以忽略不計(jì)。在下面的實(shí)驗(yàn)部分我們會(huì)針對(duì)號(hào)筒內(nèi)頻率和波形的穩(wěn)定進(jìn)行驗(yàn)證。

（3）號(hào)筒外

其次，我們來解決問題2，在號(hào)筒外的聲波的波陣面屬于活塞輻射，喇叭口看為圓形活塞平面。

對(duì)于號(hào)筒外的聲波的傳導(dǎo)應(yīng)是三維的，但考慮到幾何的對(duì)稱性，我們將其降到二維（如圖四）其中，是到號(hào)筒端口中心的距離，θ是r與號(hào)筒軸線的夾角，d為號(hào)筒口部的半徑。對(duì)于遠(yuǎn)聲場(chǎng)活塞輻射滿足：

條件：遠(yuǎn)聲場(chǎng)（r>>d）。其中P1（L）是號(hào)筒口部的聲壓最值，由號(hào)筒內(nèi)的聲波的傳導(dǎo)決定，將號(hào)筒的高度L帶入（7）得。d為號(hào)筒口的半徑。J1（）表示1階貝塞爾函數(shù)。對(duì)于（r，θ）處存在聲壓的最大值P1（r， θ）。

通過P1（r，θ）柱坐標(biāo)系圖像，我們可以對(duì)（11）有更直觀的理解。（上圖五是P1（L）對(duì)應(yīng) 94.2dB，d=0.15m，K=18.5/m，時(shí)利用Matlab模擬的圖像）

3 實(shí)驗(yàn)探究

（1）通過實(shí)驗(yàn)說明，號(hào)筒傳導(dǎo)的聲波發(fā)生的頻率失真和諧波失真較少。實(shí)驗(yàn)器材：鐵架臺(tái)，小型音響，2.60mm厚的PVC塑料材質(zhì)號(hào)筒（母線斜率a值為0.144，b為20.25mm，號(hào)筒高L為35cm），聲壓計(jì)。

方案：在號(hào)筒喉部放置小型音響作為聲源（號(hào)筒與音響不接觸），用鐵架臺(tái)進(jìn)行固定，保證輸入聲波為500Hz正弦聲波，在號(hào)筒口部放置聲音示波器，觀察輸出聲波的波形;移去號(hào)筒，在同一位置處再次測(cè)量進(jìn)行對(duì)比。

對(duì)比兩幅圖像，我們發(fā)現(xiàn)，聲音在號(hào)筒中傳播時(shí)的頻率失真和波形失真都較小，與理論相符合。

（2）驗(yàn)證理論輸出壓強(qiáng)的函數(shù)形式。

號(hào)筒內(nèi)：方案：選擇形狀已知，材質(zhì)固定均勻的號(hào)筒，首先測(cè)出輸入的聲壓最值P1（0），再測(cè)量任意位置x處的聲壓，帶入式（6），得α。然后測(cè)量不同位置處的聲壓，將實(shí)驗(yàn)值與理論值進(jìn)行比較。

在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中我們用到的是：鐵架臺(tái)，小型音響，2.60mm厚的PVC塑料材質(zhì)號(hào)筒（母線a值為0.144，b為20.25mm），聲壓計(jì)。

經(jīng)測(cè)量x=0.3m時(shí)，當(dāng)輸入聲壓級(jí)的最大值為82.5dB時(shí)，輸出聲壓級(jí)為69.5dB（鑒于聲壓級(jí)滿足：Γ=201g■，實(shí)驗(yàn)中我們使用的都是相對(duì)聲壓），故PVC塑料的α=0.044 ，故各處聲壓最大值滿足：

號(hào)筒外：方案：固定r，驗(yàn)證P1與θ關(guān)系。固定θ，驗(yàn)證P1與r關(guān)系。

在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中我們用到的是：鐵架臺(tái)，小型音響，2.60mm厚的PVC塑料材質(zhì)號(hào)筒（母線a值為0.144，b為20.25mm），聲壓計(jì)。其口部輸出聲壓級(jí)為94.2dB，號(hào)筒口半徑d為0.15m。

首先固定r為1.5m，驗(yàn)證P1與θ關(guān)系。由輸入?yún)?shù)，我們得到理論函數(shù)：

理論值與實(shí)驗(yàn)值相差較小，理論與實(shí)驗(yàn)符合得較好。

其次固定θ=0，驗(yàn)證P1與r關(guān)系。（控制其他參數(shù)不變）

我們得到：■=■

（3）驗(yàn)證號(hào)筒形狀、大小、材質(zhì)對(duì)號(hào)筒內(nèi)外輸出聲壓的影響。

號(hào)筒內(nèi)：由（7）我們可以知道號(hào)筒內(nèi)的輸出聲壓與位置x、形狀（母線形式）、材質(zhì)都有關(guān)。由于與位置的關(guān)系在前面已經(jīng)證明，故而只要探究輸出聲壓與形狀和材質(zhì)的關(guān)系。

形狀：控制號(hào)筒材質(zhì)和高度不變，只改變其母線的函數(shù)（為方便起見，我們控制截距b不變，只改變斜率a），測(cè)量號(hào)筒端口處的輸出聲壓，將測(cè)量值與實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行比較。

實(shí)驗(yàn)器材：鐵架臺(tái)，小型音響，0.075mm厚的牛皮紙材質(zhì)號(hào)筒（高為30cm，b=1.5cm，a值為0.258、0.305、0.354、0.405、0.458、0.516、0.577），聲壓計(jì)。

a值為0.258的紙?zhí)柾玻叨萀為0.3m，在輸入最大聲壓級(jí)為75.3dB時(shí)，口部聲壓級(jí)為50.2dB，故0.075mm牛皮紙的α=0.147 ，此時(shí)保持高度，輸入聲壓，號(hào)筒材質(zhì)不變，口部聲壓的最大值滿足：

理論值與實(shí)驗(yàn)值相差較小理論與實(shí)驗(yàn)符合得較好。

材質(zhì)：耗散系數(shù)與材料的隔聲性能和吸聲性能有關(guān)。隔聲性能越差，吸聲性能越好的材料，耗散系數(shù)越大。測(cè)量材質(zhì)不同的號(hào)筒的耗散系數(shù)，并進(jìn)行定性的驗(yàn)證。

號(hào)筒外：由（11）知，P1（r，θ）值與號(hào)筒口部輸出值P1（L）有關(guān)，與口部半徑d有關(guān)。

探究與P1（L）的關(guān)系：

我們知道P1（L）則與號(hào)筒的高度、形狀、材質(zhì)都有關(guān)，因此探究P1（L），便間接探究形狀、材質(zhì)對(duì)號(hào)筒外輸出聲壓的影響。控制r=1.5m，θ=0，d=0.15m，則有：

探究與d的關(guān)系。控制r=1.5m，θ=0，P1（L）對(duì)應(yīng)的聲壓級(jí)為70dBA，則有：

改變d，測(cè)量對(duì)應(yīng)P1（1.5，0），將實(shí)驗(yàn)值與理論值進(jìn)行比較。

理論值與實(shí)驗(yàn)值相差較小，理論與實(shí)驗(yàn)符合得較好。

4 結(jié)論

在號(hào)筒內(nèi)：

（1）輸出聲壓隨著截面到入口的距離（X）增大而減小（X受號(hào)筒高度L限制）。

（2）輸出聲壓隨著號(hào)筒母線的斜率（a）增大而減小。

（3）輸出聲壓隨著號(hào)筒材質(zhì)的耗散系數(shù)（α）增大而減小。

在號(hào)筒外：

（1）輸出聲壓隨著號(hào)筒外端口的輸出聲壓P1（L）增大而增大;（P1（L）由在號(hào)筒內(nèi)的傳播規(guī)律決定）

（2）輸出聲壓隨著號(hào)筒外端口半徑（d）增大而增大。

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