基于微分平坦與MPC的智能車換道控制算法

白成盼，惠 飛，景首才

(長安大學 信息工程學院，陜西 西安 710064)

0 引 言

隨著車輛數量的不斷增加，越來越多的交通事故發生，其中大多數是由于駕駛人員操作不當造成[1]。研究表明，由于車輛換道引發交通事故的可能性有4%～10%，同時10%的道路堵塞和延遲由換道車輛造成[2]。智能車輛能夠準確檢測周圍車輛的實時動態信息，并通過有效的控制方法實現車輛的自主駕駛，提高交通安全和控制效率。

目前，智能車換道的控制算法有很多。在軌跡規劃方面，文獻[3]將車輛表示為多個以車身寬度為直徑的動態圓，實現車輛的碰撞檢測，并利用多項式方法實現車輛換道的軌跡規劃；文獻[4]將軌跡規劃問題轉化為對變道時間和變道距離約束的優化問題，為正常變道、緊急變道和超車變道規劃參考軌跡；文獻[5]將路徑局部最小曲率變化作為約束條件，利用彈性帶理論對車輛緊急路徑進行規劃，提高了車輛的操縱穩定性；文獻[6]提出了一種基于環境識別的自動變道算法，利用車載傳感器檢測多種信號，并對變道后的本車與周圍車輛的最終位置進行估計；文獻[7]針對運動開始瞬間的軌跡規劃問題，將障礙物表示為簡化的s-topes，利用五次多項式結合動力學約束條件求得優化軌跡。在跟蹤控制方面，文獻[8]提出基于機器視覺和模糊控制的方法實現智能車輛駕駛軌跡跟蹤控制；文獻[9]利用滑模控制方法計算車輛的行駛速度和橫擺角速度進而實現跟蹤目的。

模型預測控制(MPC)能夠有效克服模型精度誤差等不利因素，保證被控對象具有良好的穩定性，因此被廣泛應用于智能車控制領域。文獻[10]利用MPC設計了一種主動轉向控制器，使車輛在滿足約束條件的情況下對目標軌跡進行跟蹤；文獻[11]基于行車環境勢場建模與車輛動力學建模，利用MPC的優化控制算法生成最優參考軌跡，在實現軌跡規劃的同時進行跟蹤控制。

文中將微分平坦理論和模型預測控制算法相結合，提出了一種安全高效的換道軌跡規劃和跟蹤算法并對其進行驗證。

1 智能車換道軌跡規劃

由于一次性的軌跡規劃計算量大且不易實現，因此文中利用路徑-速度分解的方法對智能車實現換道軌跡規劃。對智能車輛換道行駛軌跡的生成，按照現有的道路線形條件規劃出一條適合其行駛的軌跡，然后根據軌跡上的點來引導智能車輛行駛，同時軌跡規劃曲線的平坦性保證了智能車輛軌跡生成的可執行性。結合車輛行駛狀態的各項約束求解得到滿足車輛行駛目標的sigmoid函數，將其作為控制算法中的全局參考路徑；同時，利用微分平坦理論，構造目標優化函數進而對車輛的行駛速度進行規劃。

1.1 路徑規劃

車輛在行駛過程中的路徑規劃需要滿足安全約束、曲率連續約束以及側向位移約束等條件，sigmoid函數本身具有曲率連續的性質，且滿足側向加速度約束。因此文中提出在sigmoid函數的基礎上實現對智能車的軌跡規劃算法，其安全換道路徑曲線如圖1所示。

圖1 基于sigmoid函數換道曲線

圖中O為被控車輛，L為被控車行駛過程中的障礙車輛。sigmoid函數表達式為：

其中，x,y為車輛的縱向和側向位移；k為縱向比例增益，表示車輛安全行駛的最大側向偏移；a,b分別表示從源車道換至目標車道之間過渡軌跡中心的水平偏移量和陡度參數；c為側向偏移量，根據仿真需求設計。通過求解下列約束方程即可獲得滿足車輛安全行駛的參考路徑曲線參數a,b,c,k：

(1)安全距離約束。

(2)起始點車輛側向位移約束。

其中，ymax是車輛初始時刻最大側向位移。

(3)車輛最大側向加速度約束。

在側向位移k=3.5 m換道工況下，對上述約束進行求解即可得到任意兩點之間光滑且可微的sigmoid函數，可將其作為一項平坦輸出進行速度規劃，其路徑曲線如圖2所示。

圖2 換道路徑曲線

1.2 速度規劃

依據智能車輛運動學模型微分平坦性質，運用多項式參數化曲線進行軌跡生成，這種方法只需變換曲線的參數就可以實現車輛不同的軌跡規劃行為，從而使智能車輛軌跡規劃更具實時性、靈活性。

如果一個系統能夠找到平坦輸出，使得系統的輸入和狀態可以由平坦輸出及有限微分項表示出來，這樣的系統稱為平坦系統[12]。利用微分平坦實現軌跡規劃既可以降低規劃空間的維數同時也能保證規劃處的軌跡對系統的可執行性[13]。利用微分平坦進行軌跡規劃具體步驟如下：

(1)確定平坦輸出：利用微分平坦進行軌跡規劃的核心部分就是平坦輸出的選定。文中將z=[x,y]作為平坦輸出，利用其表示車輛系統運動學模型的表達式為：

對于該模型，u=[v,δ]為控制輸入，具體平坦輸出表示如下：

(2)平坦輸出參數化：軌跡是輸入和狀態關于時間的函數，因此，將平坦輸出變量參數化為適當的時間函數，可以確保產生參考軌跡的可行性。由于sigmoid函數自身曲率連續且滿足側向加速度約束的特點，文中利用簡單多項式與sigmoid函數結合，將系統平坦輸出參數化為：

(3)軌跡生成。

對上述平坦輸出進行參數化后，需要對某一系統性能指標進行優化求解得到一組對應的系統參數，從而獲得滿足約束條件的軌跡參數作為目標平坦輸出軌跡。文中對智能車行使時間以及能量函數進行目標優化，使其在最短的時間內完成高效的換道運動。具體目標函數及約束條件如下所示：

在一般情況下，非線性規劃問題只能對其計算解析解，因此，需要將無限維的優化問題進行有限離散化，常用的離散化方法將優化時間域N等分，在N+1個離散點上對狀態、控制輸入和路徑等進行約束。然后利用非線性規劃算法求解最優參數，得到滿足約束的最優軌跡。將得到的平坦輸出直接帶入車輛模型中，可以得到對應的控制輸入u=[v,δ]，控制智能車速度和轉向完成換道。本次微分平坦非線性優化求解得到最優時間tf=19 s，其橫縱向加速曲線如圖3所示。

從圖中可以看出，求得的優化軌跡其加速度均在其約束范圍之內。由于微分平坦理論控制車輛是一個完全離線操作的過程，實時性較差，因此文中選擇模型預測控制算法對智能車進行在線實時軌跡跟蹤實現換道。

圖3 加速度曲線

2 智能車換道軌跡跟蹤

在上一節中，利用微分平坦理論只需經過簡單的微分和函數運算即可得到期望的智能車換道狀態軌跡和控制輸入軌跡，方便對其是否滿足約束條件進行檢驗。為滿足智能車換道控制系統的實時性，本節將利用動力學模型構造目標函數以實現智能車換道的軌跡跟蹤控制。

動力學模型作為對車輛系統動態分析的數學模型，其中典型的三個自由度的車輛模型與車輛運動學模型相結合，詳細反映了車輛各項狀態變量之間的非線性關系[14]，該模型具體表達式如下所示：

ξ(t+1)=ξ(t)+T·f(ξ(t),u(t))

模型預測控制的核心就是對優化問題的求解，其主要組成部分有目標函數和約束條件，前者確保對自主車輛控制的某些特性需求，后者則主要是對控制量或控制增量等進行附加約束。由于微分平坦中選擇的平坦輸出[x,y]均是對時間函數的參數化，為實現對智能車的有效跟蹤，利用模型預測控制算法設計如下目標函數：

其中，各項分別表示預測時域(Np)內被控車的實際縱向與側向軌跡和參考軌跡之間的偏差；控制時域(Nc)內對控制增量的要求；第四項中ε為松弛因子，它可以保證在優化求解過程中不會出現沒有可行解的情況[15]；Q,S,R,ρ分別為各項權重系數。另外，對控制量和控制增量加以適當的約束能進一步確保車輛穩定行駛。

在每個優化求解周期內將得到的控制序列中首個元素作為實際的控制輸入并作用于CarSim整車系統繼而進行下次循環，直到完成換道。

3 算法驗證結果分析

本節利用車輛動力學仿真軟件CarSim與MATLAB/Simulink聯合仿真對提出的軌跡規劃算法進行驗證。

實驗場景中所涉及的車輛使用CarSim整車模型，具體模型參數見表1。文中將微分平坦優化得到的平坦輸出軌跡帶入到S函數中結合模型預測控制對被控車進行跟蹤控制，對軌跡規劃算法完成驗證，具體Simulink仿真圖如圖4所示。

表1 車輛模型參數

圖4 Simulink仿真圖

場景中車道寬度為3.5 m，將第一節中得到的具有安全性的sigmoid函數作為參考路徑進行換道，結合微分平坦求解得到的系統輸入對被控車的速度進行實時控制，安全高效地完成換道。在軌跡跟蹤過程中，模型預測控制器的參數設置如表2所示。

表2 控制器參數設置

在仿真過程中，將規劃層中利用約束求解以及微分平坦得到滿足加速度約束的路徑曲線和參考速度作為下層跟蹤控制的參考，利用表2參數對提出的代價函數進行優化求解，從而將求解得到的前輪轉角輸出至CarSim整車模型以實現車輛的換道控制。經驗證，智能車在換道場景中的行駛軌跡和速度曲線(a)、航向角與前輪轉角變化曲線(b)、實際跟蹤軌跡與參考軌跡的位移偏差(c)如圖5所示。圖6為Carsim仿真動畫效果截圖，可以直觀地反映車輛在換道過程中的7個時刻的狀態。結合圖5、6可以看出，控制參數轉向角在約束范圍之內，同時其軌跡跟蹤誤差極小，證明了該算法有效。

(a)軌跡和速度曲線

(b)航向和前輪轉角曲線

(c)位移偏差

圖6 Carsim仿真動畫

4 結束語

針對智能車換道安全控制問題，提出了一種基于sigmoid函數與微分平坦理論相結合的換道軌跡規劃算法，并利用基于車輛動力學模型預測控制算法對智能車參考軌跡進行跟蹤控制，使其能夠及時有效地完成換道。相較于其他軌跡規劃的算法，系統的微分平坦特性和全狀態反饋線性化特性是等價的，因此，在軌跡規劃過程中會完全再現系統的動力學特性；sigmoid函數本身的優越性質加上微分平坦理論簡化了整個系統的復雜性，同時經仿真驗證，該算法適用于對智能車換道行為的軌跡規劃。