基于核心素養的教學案例《用點差法解圓錐曲線問題》

楊竹青

涉及圓錐曲線的弦的中點、斜率時，一般都可以用點差法來解，但高中人教版課本并沒有直接出現“點差法”。 為此，在講完數學選修2—1雙曲線的性質后， 我專門設計了一節點差法解決圓錐曲線問題的拓展課，現把 2019年12月中旬我上課的案例實錄如下：

一、 創設情景，引發思維

教師：解析幾何是高中數學的一個重要內容，歷來是高考的重點內容，在近幾年的高考都是2小1大。圓錐曲線的中點弦問題是高考常見的題型，在選擇題、填空題和解答題中都是命題的熱點。前面，我們已經學習了橢圓、雙曲線和直線的位置關系，知道了解決這類問題的主要方法。下面我們先來看一道例題：

例1、過橢圓內一點引一條弦，使弦被點平分，求這條弦所在直線的方程。

師：怎樣求這條直線的方程？

二、 自主探索，暴露思維

問題提出后，猶如一石激起千層浪，學生的探究熱情被激發起來，開始了對問題的探索。教師巡視后請學生說例1的解題思路。

學生1：將直線方程與圓錐曲線方程聯立。通過研究聯立之后的方程的解來研究直線與圓錐曲線的問題。

學生2：老師，涉及到解決圓錐曲線中點弦的問題，可采用"點差法"來求解。

師：有的同學可能第一次聽到點差法，不知道點差法解題方法，我們今天就通過這節課來解決。下面請同學1和同學2板演解答。兩位同學用了二種方法，一種韋達定理，一種點差法。解法1：當直線斜率不存在時，A點不可能為弦的中點，故可設直線方程為y-1=k（x-2），聯立方程組，將直線方程代入橢圓方程，消去y得并整理得顯然此方程的根的判別式大于0.又設直線與橢圓的交點為，則是方程的兩個根，于是又因為M為AB的中點，所以，解得故所求直線方程為x+2y-4=0.

師：以上兩種解法就是求解以定點為中點的弦所在直線方程的常用方法，我們不妨稱之為“點差法”和“聯立法”（又叫韋達定理法）。那么，使用“點差法”時要注意什么問題呢？請同學們按學習小組分組討論上述解法的優劣。

生：解法1是其中聯立直線與橢圓方程消去y（或x）再由韋達定理求出k雖然思路很清晰，但運算比較復雜。解法二巧用代點做差，結合中點坐標公式，很容易求出所求直線的斜率，從而達到解題的目標，兩法比較，高下立現。

師：點差法的解題技巧是什么？

生：若設直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）坐標為、，將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦AB的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”。

師：請學生總結韋達定理法和點差法到底哪一種更好？

生：點差法好，設而不求，形式有美感。還能起到化繁為簡、出奇制勝的效果。

三、 辨析錯誤，正本清源

師 ：在圓錐曲線中涉及中點弦問題時，“點差法”往往發揮很大作用。那么，使用“點差法”時要注意什么問題呢？接下來我們再看例2（課本62頁B組第4題）：

已知雙曲線，經過點能否作一條直線，使與雙曲線交于、，且點是線段的中點。若存在這樣的直線，求出它的方程，若不存在，說明理由。

師：這是一道探索性習題，一般方法是假設存在這樣的直線 ，然后驗證它是否滿足題設的條件。本題屬于中點弦問題，應考慮點差法或韋達定理。

師：同學們。從例2你們發現了什么？

生：題如果忽視對判別式的考察，將得出錯誤的結果，請務必小心。

師：這又是什么原因呢？

生：“點差法”可以簡化計算，前提是直線與圓錐曲線必須要有兩個不同的交點。忽略了對"直線是否與雙曲線有交點"這個問題討論很可能導致產生增解，如雙曲線的中點弦就經常出現增解，利用點差法解題時一定要注意點差法的不等價性 。

師：使用點差法的有哪些步驟？

生：使用“點差法”時，一般分三個步驟進行：設點、作差、檢驗。

四、當堂訓練，活學活用

練習1：（2013年高考新課標1）已知橢圓E： （a>b>0）的右焦點為F（3，0），過點F的直線交橢圓于A，B兩點.若AB的中點坐標為（1，-1），則E的方程為（ ）

A.? ?B.? ?C.? ? D.

師：同學們，這個題只是點差法的初級應用。

五、深入探究，拓展延伸

師：請同學們根據以上例1和練習，觀察、思考、探索弦的中點與坐標原點連線斜率和直線斜率的積與橢圓的基本量a，b之間有什么關系呢？

生：有著密切關系。若已知直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）坐標，將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦 的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算量。

師：請說具體一點。大家小組討論總結一下。

歸納總結得結論1：在橢圓中，若直線不過原點且不平行于坐標軸，直線與橢圓相交于、兩點，點是弦MN的中點，弦MN所在的直線的斜率為，則

師：同學們，真棒！下面我們一起證明點差法公式。（教師課件出示以下證明過程）。

師：圓錐曲線中點弦公式太神奇了，你必須要掌握。這些神奇性質可秒殺相關選擇題、填空題，達到事半功倍的效果。高中數學有許許多多靚麗的風景線，你們有意識、有目的地去發現。

六、 類比推理，橫向拓展

同學們，若把定理1中的橢圓改為雙曲線，又會有怎樣的結論？

生：用類比方法很快得出結論2：已知雙曲線，若直線不過原點且不平行于坐標軸，直線與雙曲線相交于、兩點，點是弦MN的中點，弦MN所在的直線的斜率為，則。請同學課后自己完成證明。

總結：同學們，我們可以把結論1、2可以統一歸納成：若線段AB是橢圓（或雙曲線）的弦，AB中點為M，則，其中e為離心率，且均存在. 通過這一簡單的結論，我們可以秒殺一些在選擇和填空題中有關橢圓或雙曲線中點弦的問題，我們只需要以上結論，即可做到秒殺該類型的題目，大大縮短了做題時間。

七、隨堂練習，強化技巧

1.（2010年高考新課標）已知雙曲線E的中心為原點，F（3，0）是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N（-12，-15），則E的方程為

2、（2014年江西高考題）過點作斜率為的直線與橢圓C： 相交于，兩點，若是線段AB的中點，則橢圓的離心率為__________.

八、課堂小結，有助提升

教師總結：同學們，本節課，我們主要研究了利用“點差法”求解以定點為中點的弦所在的直線方程問題。通過大家的努力，不僅掌握了用“點差法”求直線斜率的方法，而且了解到中點弦是否存在只與中點（定點）的位置有關，并對于所求結果是否為增根找到了檢驗方法。由“點差法”還得到了與橢圓、雙曲線的中點弦相關的一些有用的重要結論。

九、課后作業 鞏固消化

1.已知橢圓+=1（a>b>0）的右焦點為F，過點F的直線與橢圓交于點A、B，若AB中點為（1，- ），且直線AB的傾斜角為45°，則橢圓方程為

3、（2015年高考）已知橢圓的離心率為，點在上。（1）求的方程;（2）直線不過原點且不平行于坐標軸， 與有兩個交點，線段的中點為.證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值.

十、課后反思，助力教學

本節課從常見的兩道例題和一道習題入手，從引導學生發現問題起，通過師生互動、合作探究的方式，在解決例1中找到了簡便易行的方法。在例2的教學使學生認清了產生增根的根源，從而認識到用點差法要進行檢驗。最后在教師的引領下把橢圓、雙曲線中點弦問題的研究推向一般化，不僅實現了教學任務，而且所得結論對于學生系統掌握直線與圓錐曲線的中點弦問題具有一定的指導意義，學生主體核心素養得到培養。當然，本節課因容量大，給學生思考時間不夠，今后還需繼續努力。