高等代數在數學建模中的應用探討

陳宇航

摘要：作為高等院校一門重要的基礎課程，高等代數旨在培養大學生的思維能力、推理能力和抽象能力，對后續其它課程學習與理解具有重要作用。高等代數在日常生活中有非常廣泛的應用，能夠解決現實生活中的諸多難題。鑒于此，本文通過日常生活案例探討高等代數在數學建模中的應用，為大學生高效率、高質量學習高等代數提供借鑒。

關鍵詞：高等代數;數學建模;應用

數學源于生活，也要回歸生活，其主要目的是讓學生學會用數學的思維方式解決生活中的問題。隨著課程改革的深化，數學教學的要求也在發生變化——教師不再只關注知識傳授，更注重學生綜合能力發展。其中，最為重要的便是如何培養學生解決問題的能力。建模思想作為教師在教學中著重培養學生的數學思想之一，強調用數學的思想分析并解決問題，與數學抽象和數學推理有著密切聯系。建模教學以發展學生的數學應用能力為主，以發現問題、分析問題、解決問題、提煉模型、實際應用為主線，將數學知識與具體問題相結合，構建具有真實意義的數學學習情境，讓學生體驗數學建模的價值。伴隨教育信息化深入發展，計算機、互聯網、智能軟件等作為重要的教學輔助工具逐漸應用于數學建模教學，這不僅優化了教師教學方式，而且直觀地呈現了數學模型，幫助學生發現數學規律，理解數學本質。

1 高等代數與數學建模思想概述

高等代數是代數發展到高級階段的總稱，一般包括多個分支，如線性代數和多項式代數等。隨著時代的發展，高等代數的內容和應用領域進一步拓展，相關理論研究愈加豐富。然而，高等代數中有大量概念和定理需要掌握，且抽象性較強難于記憶，因而尋找更適合的學習方式和教學方式成為學習高等代數的重中之重。

數學建模思想是按照現實問題，抽象出相關理論依據并構建起數學模型來達到解決現實問題的目的。因此，通過理論聯系實際，將數學建模思想融入到高等代數學習中是一種有效方式。首先，高等代數應用范圍廣，能夠快速建立起相應的數學模型，對解決問題具有顯著作用;其次，高等代數較為抽象，而數學建模具有將知識形象化、實用化等特點，便于理解記憶，快速掌握相關知識點。

2 高等代數在數學建模中的應用案例

現如今，高等代數已在多個學科領域均有廣泛應用，例如經濟學、物理學、信息技術等領域，并在解決現實問題中取得重大進步。因此，本文以日常生活中的案例來說明高等代數在數學建模中的應用。

案例：某商店出售A、B、C三種商品，顧客1分別購買了A、B、C三種商品各1千克，共花費10元;顧客2購買A商品2千克、B商品1千克、C商品3千克，共花費22元;顧客3購買A商品1千克、B商品3千克、C商品2千克，共花費21元。問：A、B、C三種商品的售價分別是多少？

對此問題解法，在學高等代數之前，可以通過列三元一次方程組求解結果：

解法一：三元一次方程組

根據題干信息，可以得到如下三元一次方程組：

通過解該方程組可得，X1=2，X2=3，X3=5，即A商品售價為2元/千克，B商品售價為3元/千克，C商品售價為5元/千克。上述是利用三元一次方程組求解過程，該題是現實生活中的常見問題，也可以通過高等代數的相關知識進行解答，具體過程如下：

解法二：高等代數解法

借助題干中所得信息，可以抽象出該題的理論模型，從而用高等代數中的矩陣構建起問題模型進行求解。依題意可得：

要解得最終結果，首先需要求解系數矩陣A的逆矩陣A-1，利用矩陣相關知識可以解得系數矩陣的逆矩陣A-1為：

將等式左右兩邊同時乘系數矩陣A的逆矩陣A-1，A-1AX=A-1B，可以得到：

由此可以解得，X1=2，X2=3，X3=5，即A商品售價為2元/千克，B商品售價為3元/千克，C商品售價為5元/千克，表明利用高等代數求解結果與三元一次方程組所得結果一致。綜合上述兩種解法，高等代數在數學建模中的應用具有重要意義。首先，有利于為大學生解決現實問題提供一種新的方式，掌握一種新的解題工具，提高大學生學習的積極性和主動性;其次，有利于大學生更高效地掌握高等代數知識，提高思維能力、提升抽象能力。

3 高等代數在數學建模中的應用對策建議

高等代數不僅是一種科學知識，也是一種科學工具，更有利于人類解決現實問題，因而對大部分大學生而言是一門必須掌握的課程。因此，本文從兩個方面提出學習建議：

第一，培養大學生利用高等代數與數學建模思想解決問題的思維。首先，要求大學生對高等代數相關理論知識有一定的理解，只有掌握牢固的基礎知識，才能學會靈活運用，并學習好更多更深的高等代數知識;其次，能夠有效地將現實問題或理論問題轉化為數學模型，只有具備將現實問題聯系到相關知識點的能力，才能以最快速度建立起合適的數學模型;最后，要慢慢培養起學習高等代數的興趣，才能有充足的積極性、主動性去獲取更多知識，并在日常學習與解決問題時注重總結規律積累、經驗。

第二，重視信息科學技術在解決高等代數問題時的作用。當今世界信息技術發展速度異常迅猛，大學生作為年輕且富有朝氣的新一代，不僅要學會掌握信息技術，還要積極擁抱信息技術，充分利用計算機等輔助技術解決各類難題。當前，在解決高等代數相關問題時，也有大量軟件為計算矩陣等結果提供便利，例如Matlab、Mathematica等數學工具軟件，極大提高了人類運算效率。

參考文獻

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