對偶梯度法在圖像去噪中的應用

沈煒恒，朱永貴

(中國傳媒大學 理工學部，北京 100024)

1 引言

隨著數字圖像的發展，人們在工作和生活中會大量接觸數字圖像。數字圖像在生成、傳輸等環節中會受到多種因素的影響而產生噪聲。例如，圖像生成過程中自然環境的影響、設備環境的影響，圖像傳輸記錄過程，受到干擾也會產生大量噪聲；另外，圖像記錄儲存過程中發生的測量誤差、計算誤差也是造成圖像中摻雜噪聲的另一個原因。這些噪聲會導致信息的丟失，從而降低了圖像質量。

所以，如何從這些圖像中“復原”出原始的圖像就顯得尤其重要。牛頓法是最基本的一種迭代生成的算法，它的特點是好理解、結構簡單同時復原效果也可以滿足基本要求，因而得到廣泛應用。對于保留邊界特征的去噪模型最有效的還是由Rudin-Osher和Fatemi(ROF)在[1]中提出的全變差模型，ROF復原模型可以適應許多實際問題中不適定問題的解。

下文中先介紹一種基本模型，然后介紹正則項的相關知識，以及對偶梯度法的相關知識，主要是介紹它適用的情景，最后介紹和分析用對偶梯度法來求解ROF模型達到圖像去噪的方法。

2 相關數學知識介紹

2.1 相關數字圖像處理的研究背景和相關基本數學知識準備[1，2，3，4，5]

最基本的線性反問題的模型格式如下：

Ax=b+w

其中A∈m×nb∈m都是已知的，w是未知的噪聲(或者干擾)向量，是x“真實圖像”同時也是需要被估計計算的未知圖像，在圖像去噪的問題中b代表觀察圖像即噪音圖像，w代表噪音，在去噪問題中模糊算子A為I是即圖像未被模糊處理模型轉變為：

b=x-w

但是絕大部分復原問題都是病態問題，后引入正則項使問題適定即得到ROF模型但是在某種情況下，全變差模型存在以下幾種缺陷。

1)階梯化現象：去噪后地圖像具有分塊平滑地現象，即某一區域內地灰度值保持不變，呈現塊狀，或者在平滑區出現明顯的邊緣。階梯效應會影響圖像的整體效果，而且還會影響到圖像的觀測和研究。

2)對比度下降：全變差模型是通過最小化圖像梯度的范數式來達到圖像去噪的效果，因此，在有界區域內復原后圖像的全變差值將會下降。

3)幾何形狀變形：在有些情況下，當采用ROF模型進行圖像復原時，可能會導致水平集的幾何形狀發生形變。

4)紋理的丟失：盡管全變差正則化能有效去除噪聲，但是，該方法會造成對比度下降和幾何形變，不能保持圖像的邊緣信息，故而會造成紋理和細節的丟失。

2.2 對偶模型相關知識準備：[6，7]

我們考慮下面的模型：

minf(x)+g(Ax)

(P)

其中f(x)：E→(-∞，+∞]是強凸函數并且強凸系數為σ>0

其中g(x)：V→(-∞，+∞]是凸函數，其中矩陣A：E→V的線性算子

同樣我們可以把P問題變成如下的P′問題

min{f(x)+g(z)：Ax-z=0}

(P′)

引入變量變量y后P′問題可轉變為：

L(x，z，y)=f(x)+g(z)-〈y，Ax-z〉=f(x)+g(z)-〈ATy，x〉+〈y，z〉

轉變為其對偶問題：

2.3 ROF模型相關知識準備

其中ROF的離散定義如下

ROF模型的梯度化的結果如下：[6，7]

首先給出梯度定義：如果有一個函數u=u(x，y)在區域D上是有定義的，而且點P(x，y)∈D的。如果存在一個向量A(x，y)，這個向量所指的方向是u(x，y)在這個點P處各個方向的方向導數取最大值的方向，它的模|Α(x，y)|等于此方向導數的最大值，則稱該向量A(x，y)為函數u(x，y)在點P(x，y)處的梯度，記為gradu|P=A(x，y)。

HΤ(Hf-g)

易得

其中

由此可得全變差正則項的梯度為

至此滿足擬牛頓法的模型轉換完畢。

可以得到全變差的離散模型梯度為

2.4 對偶梯度模型算法相關知識：[6，7]

近似梯度法：

對象：凸函數h

例子：*h(x)=0；proxh(x)=x

*h(x)=‖x‖1這時proxh(x)就是軟閾值迭代算法

對象：minf(x)=g(x)+h(x)其中g是凸函數，可微函數，f是凸函數且有其對應的proxh算法

算法：xk+1=proxtk*h(xk-tk▽g(xk))

*其中tk≥0是步長

令x+=proxth(x-t▽g(x))

例子：*h(x)=0

最后給出算法

Step0.w1=y0V.t1=1

Stepk.(k≥0)Compute

vk=proxLg(Auk-Lwk)

3 實驗結果及分析

應用對偶梯度法求解ROF模型實驗結果如下：

實驗1：采用對偶梯度方法處理，去噪效果對比如下圖1所示。

(a)清晰原圖像 (b)噪聲圖像 (c)去噪圖像圖1 ‘lena’去噪效果圖

其中，圖(b)為原圖像(a)加上一個高斯模糊的圖像，模糊參數為10，20；所選的正則化參數為0.05，迭代的次數為201.

實驗2：采用對偶梯度方法處理，去噪效果對比如下圖2所示。

(a)清晰原圖像 (b)噪聲圖像 (c)去噪圖像圖2 ‘camera’去噪效果圖

其中，圖(b)為原圖像(a)加上一個高斯模糊的圖像，模糊參數為10，4，白噪聲的方差為0.01；所選的正則化參數為0.05，迭代的次數為178。

由以上實驗可見：此算法是可行的，對模糊和加噪圖像有一定的復原效果。

4 結束語

本文建構了一個基于對偶梯度法的圖像去噪模型。該模型在全變差正則化方法的框架下，利用圖像的梯度信息構建正則化項，相比于其他的正則項全變差，該正則項采用非二次型來解除平滑性的約束，能夠在恢復圖像平滑區的同時，大量保留真實圖像中的邊緣和輪廓等細節信息，通過消除圖像中梯度變化較大的區域，從而達到去噪的效果。該模型算法在matlab上進行數值仿真實驗，結果顯示：用對偶梯度法可以達到較好的去噪效果。