“理解數學”視角下的課堂實踐探索

潘慧哲

摘要：數學課堂中“開門見山給出定義，正反辨析幾點注意，例題鞏固大量訓練”的現象依然存在，片面重視應考學科，造成學生對知識的整體結構、蘊含的思想方法認識殘缺不全，問題的根源還是在教師對數學的理解不到位。為了解決這個問題，教師首先得“理解數學”，認識到數學的教學應該回歸數學知識本質、厘清知識網絡、滲透數學思想方法。這樣的課堂以數學的方式育人，使學生在掌握基礎知識的同時，增強上下位知識的聯系，增強全局意識，發展數學思維，培養核心素養.

關鍵詞：理解數學;知識網絡;思想方法

什么是“理解數學”呢？從現代認知心理學的角度分析，首先是讓學習者認識到數學的表象，然后構建心理的表象，再以此為基礎構建新的知識構架，不再堅持已有的認知。真正的數學理解明白結果的獲得固然重要，但更要去探索和思考結果的成因以及過程當中所蘊含的數學思想方法。 數學理解并不是一節課完成的，它是經過長期的積累、重組、建構實現的，屬于動態的發展過程。

如何在平面幾何的教學中理解數學、回歸本質，掌握數學知識及其邏輯聯系，發展數學思維，使學生能夠創造性地思考問題？

一、問題呈現

期末復習階段，學生做了省編教材九年級數學上冊作業本“圓的基本性質”復習題中的這道題目：

已知：如圖在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于點D、E，連結EB，交OD于點F.

（1）求證：OD⊥BE;

（2）若DE= ? ? ?，AB=5，求AE的長.

二、基于“理解數學”的教學

這是一道期末復習階段的課后作業題，第（1）小題的答題情況較好，學生的問題主要集中在第（2）小題。筆者分析了學生的錯因，大部分學生有設元的過程，說明具備了利用方程思想求線段長度的意識，問題是找不到建立等量關系的依據，缺乏對知識的本質認識，沒有建立起與其相關內容的聯系。為了解決上述問題，我分兩個課時進行研究：

第一課時：1.追本溯源，構建知識網絡;

2.例題分析，明確研究方向;

第二課時：1.例題推廣，鞏固研究成果;

2.解法探究，培養數學思維。

這是基于“理解數學”的教學設計，不僅落實了基礎知識，也能幫助學生構建與圓有關的知識構架，培養學生的幾何直觀能力和邏輯思維水平。

三、追本溯源

以錯題為載體，在分析和解決問題的同時引導學生一起整理有關內容，構建如下的知識結構圖：

四、相關思考

我們不難發現，圓有兩個對稱性：軸對稱性和旋轉不變性。垂徑定理是圓的軸對稱性的具體體現和刻畫，其中弦（非直徑）的中點與圓心連線所在的直線不僅是弦的對稱軸，它也是圓的對稱軸，這其實是在圓的背景下進一步研究線段相等和角度相等。所以，教師需要站在幾何學的高度分析垂徑定理在知識體系中的邏輯定位，準確把握其實質，并能夠在課堂教學中揭示其數學思維的基本途徑。

在“圓心角定理”的課時學習中，圓具有旋轉對稱性，把它繞圓心旋轉任意一個角度，所得的圖形都和原來的圖形重合。把這一性質轉化為圓中的幾何元素就是一段弧與另一段弧的相等關系，而每一段弧所對弦是唯一的、所對的圓心角也是唯一的，所以對應的弦相等、圓心角相等。這也說明弧、弦、圓心角之間的內在聯系是圓的旋轉對稱性。然而在“圓周角定理”的課時學習中，一段弧所對的圓周角有無數個，怎么建立起圓周角與弧之間的聯系呢？由于圓心角與所對的弧之間存在一一對應關系，因此可以將問題轉化為同弧所對的圓周角和圓心角之間的關系研究，畢竟角度之間的關系學生要熟悉一些。

因此，垂徑定理和圓心角定理及后面的圓周角定理是本章的核心知識點，所以筆者選取了下面這道例題作為切入點：

例題：如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點，且OC∥BD，AD分別與BC，OC相交于點E，F，則：①AD⊥BD;②∠AOC=∠AEC;③CB平分∠ABD;④AF=DF;⑤BD=2OF;其中一定成立的是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

通過五個結論的探究聚焦了這三個核心知識點，其中，①②是垂徑定理，③是圓心角定理，④⑤是圓周角定理。之后還可以追問是否還有別的結論。

改編：如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點，且點C是弧AD的中點，AD分別與BC，OC相交于點E，F，你能得到哪些結論？

【設計意圖】先出結果再思考為什么？還是先思考為什么再出結論？顯然后者更具有“學的意識”。這樣的改編更開放，對于前段生能夠提升他們的思維發散性，中后段學生也可以說出一些簡單的結論，不同的學生有不同的數學理解，都能有所收獲。教師一定要能夠把知識所承載的數學思維通過精心設計的教學呈現出來，把學生看到的圖形認知、直觀感知轉化為有邏輯關系的理性思維，而不是讓學生幫助老師完成教學，這才是數學理解的內涵。

五、例題推廣

對比兩圖，前者是知識建構，后者更注重思想方法的指導與提升。這樣的一節基于數學理解的復習課既重視基礎的夯實，又有邏輯的培養和思維的提升。隨后筆者設計了這樣一道變式題：

如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是弧AB上兩點，點C是弧AD的中點，AB=10，BC= ? ? ? ?，求BD的長.

例題圖 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?變式圖

【設計意圖】首先，進一步鞏固垂徑定理、圓心角定理、圓周角定理;其次，學生需要理解定理背后的邏輯關系才能有效添加輔助線，體會其中的思想方法，培養數學思維，感受用數量關系來刻畫數學的理性思維。這種數量關系通過幾何知識可以深刻到定量，所以說教師的數學理解直接影響學生的數學理解。

例題是數學學習的重要載體，是學生理解概念、定理、掌握學習方法的主要途徑。通過對例題的深入研究，追根溯源，架構起知識的橋梁，才能讓學生做一道題、通一類題。在方法的梳理過程中去歸納知識、提煉出通性通法，有助于拓展學生思維和逐步提升學生的數學素養。筆者嘗試分析了學生的困難點，那就是不知道該怎么添輔助線。其實，輔助線并不是橫空出世的，必然是由題目中的條件產生的靈感。

輔助線：

圖1：由弧的中點想到垂徑定理，因此連接弧的中點C和圓心O;

圖2：由角平分線和高線想到等腰三角形，于是延長AC和BD得到等腰△ABE;

圖3：由角平分線想到作角兩邊的垂線。

幾何直觀指的是利用圖形來描述和分析問題，把復雜的數學問題變得具體、形象，幫助學生直觀地理解數學，有助于形成問題解決的思路。如果能通過審題、識圖，從條件和結論中聯想到所需的數學概念、定理、基本圖形等，就可以快速地添加出適當的輔助線，從而解決問題。

解法指導：

勾股定理：構造直角三角形、設元、方程、求解，是學生熟悉的方法，學生呈現了3種解法。

解法1：如圖1，易求AC= ? ? ? ，設OM=x，CM=5-x，由勾股定理：AM2=（ ? ? ）2-（5-x）2=52-x2，∴x=3，BD=2OM=6;

解法2：如圖2，易證BE=AB=10，AE= ? ? ? ?，設

BD=x，ED=10-x，由勾股定理：AD2=（ ? ? ? ）2-（10-x）2=

102-x2，∴x=6，BD=6;

解法3：如圖3，易證BF=BH，AH=DF，利用面積法可得CH=4，勾股定理：AH=2，BF=BH=8，BD=BF-DF=8-2=6。

相似：除了借助勾股定理，識別或構造各種基本相似形，利用相似建立方程來求解也是常用路徑。同學們相互補充完善了其他3種解法。

解法4：如圖4，BE=AB=10，AC=CE=CD= ? ? ? ，易證△ECD∽△EBC， ? ? ? = ? ? ? ? ， ∴ED=4，BD=6;

解法5：如圖4，也可以利用△ECD∽△EDA求解;

解法6：如圖5，易證△BCH∽△BAC，得BH=8，AH=2，BF=BH=8，FD=AH=2，BD=6.

六、教學啟示

（一）理解知識的本質

數學教學需要回歸數學的本質，不僅要理解基本概念，對其進行深入研究，挖掘表象背后蘊含的數學規律和思想方法，也需要我們感悟用數學的方式去思考問題，努力追求數學的理性精神。數學教育家張奠宙先生曾經說過：有效開展數學教學的根源是教師對數學本質的把握和理解。

（二）厘清知識的關聯

在數學教學中，對于同一類型的知識我們可以進行橫向比較，尋找它們的共性。當然，數學的學習過程常常是由淺到深、從初級思維到高階思維，各個知識點之間都有著密切的聯系，我們只有基于“事物是普遍聯系的”視角來分析現象才能探尋規律。數學的學習必須從整體和系統的高度來把握知識之間的結構，把看似分散的知識理成一條主線進行分析和比較，厘清其中的聯系，最終實現融會貫通。

（三）挖掘知識的內涵

數學是思維的科學，數學知識是實現數學課程育人功能的支點。所以，數學的學習不僅僅是掌握數學內容，理解內容背后隱藏的思想方法，更加需要改善學生的思維方式，培養理性思維。我們的課堂教學不能將知識停滯在理解的層面，還應該在運用中理解知識的本質，挖掘知識的內涵，促進學生的思維向更高的層級發展。

參考文獻：

[1]章建躍.中學數學課程教材改革的鐘擺：以平面幾何為例[J].數學教學，2014（7）.

[2]俞錫彬.比較：讓數學理解真正發生[J].基礎教育研究，2019（6）.

（責任編輯：韓曉潔）