學生為何如此無助

唐慰康

摘要：教師在教學中，不要留遺憾，不要留后患。每教一個新概念、新定義、定理、公式、法則等，給學生的第一印象就要是準確的、是本質的，讓學生切實把握住其內涵，以區別其他概念。要讓學生切實掌握其內在的獨特性質，別讓非本質屬性掩蓋了本質屬性，真正讓學生運用本質屬性去解題。

關鍵詞：解析幾何題;困惑;啟示

一、題目

過橢圓C： ? ? + ? ? ?=1的右焦點F且傾斜角互補的兩條直線L1、L2，L1交橢圓C于A、B兩點，L2交橢圓C于C、D兩點，求△AFC的面積S的最大值。

此題是某校高三年級一次模擬考試的壓軸題，學生感到無可奈何，中途放棄者多。

二、學生的困惑

學生一看題目，題意非常明白，但求解困難，大部分學生束手無策。仔細審題，△AFC的邊長和高都未知，而要解此題必須求出△ACF的面積表達式，這就存在一個選擇誰作底邊的問題。若選擇邊AF（或CF）作底邊，而熟知的弦長公式：|MN|= ? ?1 + k2

（x1+x2）2 -4x1x2 ? ……又用不上，因為它們都不是曲線的弦長。看來只好選擇邊AC（或BD）作底邊，可以用上弦長公式，于是就設直線AC的方程為y=kx+m，選點F到直線AC的距離d作高來列面積表達式。這個思路是對的，但按這種思路做下去，步驟多，過程冗長，又要消參，又要求最值，多數學生半途而廢，即使個別學生能堅持做下去，也未得出準確的答案，因此此題的得分率極低。到底有沒有簡單一點的解法？有。（注：把按上述思路的解法稱為解法一）

三、一種簡潔的解法

換一個角度進行思考，選擇邊AF作底邊，則有下面簡單一點的“解法二”。

解法二：設A（x1，y1），B（x2，y2），易得F（1，0）

設直線AB的方程為x=ty+1（t>0），代入 ? ? ? +

=1，消去x，得（3t2+4）y2+6ty-9=0，顯然有△>0，則有y1·y2= ? ? ? ? ?……（A），又|AF|= ?1+t2·|y1-0| （注：這是關鍵的一步。也可設直線AB的方程為y=k（x-1）），這時|AF|= ? ?1 + k2 ?·|x1-1|，其實此式可視為公式（1）中的x2=1）。

又因直線AB和CD的傾斜角互補，所以點C與點B關于x軸對稱，則點C的坐標為（x2，-y2），點C到直線AB的距離d= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=

，所以△AFC的面積S= ? |AF|·d= ? ? ?1+t2· ? ? ?|y1|· ? ? ? ? ? ? ? = t|y1y2| ? 。 將（A）式代入，得S= ? ? ? ? ? ? ?=

= ? ? ? ? ? ≤ ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ，當且僅當3t= ? ? ，即t=± ? ? ? ? ，因t>0，故舍去- ? ? ? ? ?，所以△AFC的面積S的最大值為 ? ? ? ? ? ?。這樣的解答不是很簡單嗎？

為什么學生想不到簡單一點的解法，如解法二，而只一味地選用解法一呢？

四、尋覓錯因

筆者認為，這是學生對公式 |MN|= ? 1+k2

（x1+x2）2-4x1x2 ……（1）的理解有誤，誤認為公式只能用于求曲線的弦長（好多資料上命名為弦長公式），誤解了這個公式使用的前提條件是直線與曲線有兩個交點，才導致學生前面的解法只選邊AC作底邊，而不選邊AF（或CF）作底邊。因為邊AF（或CF）都不是橢圓的弦長，用不上弦長公式。

其實，弦長公式是由公式：|MN|= ? ?1+k2·|x1-x2| ……（2）推來的（注：把（2）變為（1）是為了后面解題能用上韋達定理，因為大量的解析題要用上韋達定理）。這兩個公式是等價的，使用的前提條件也是一樣的。顯然，公式（2）使用的前提條件是：只要M、N兩點在某一斜率為K的直線上即可，所以，公式（1）的使用的前提條件也是這樣。

例如：斜率為2的直線L上的M、N兩點的橫坐標分別為-1，3，

則|MN|=______

用公式（2）求得|MN|= ? 1+22|-1-3| =4 ? 5 ?;

用公式（1）求得|MN|= ? 1+22 ? ? ?（-1+3）2-4（-1）×3

=4 ? 5

此例說明公式（1）不是只能求圓錐曲線的弦長。

由于學生對公式（1）的理解有誤，才導致學生解上述題目時，吊死在以邊AC（或BD）為底邊的這棵樹上。

表面看來問題出在學生身上，其實根源還是在教師身上。一方面，老師在教授公式時，沒給學生講清楚公式的本質屬性及使用的前提條件，致使學生產生誤解，認為公式（1）只限于求曲線的弦長。另一方面，老師講公式的應用時，強化了應用公式（1）求弦長的訓練，弱化了求非弦長的訓練或者根本就沒講過求非弦長，致使學生不會用公式去表示|AF|。退一步說，如果老師把學生教活了，不用公式（1）（2），直接運用兩點間的距離公式，也可以求出|AF|的表達式。

還有一種可能的原因，就是教師本身也像學生一樣誤認為公式（1）只能用于求曲線的弦長。

五、一點啟示

教師在教學中，不要留遺憾，不要留后患。每教一個新概念、新定義、定理、公式、法則等，給學生的第一印象就要是準確的、是本質的，讓學生切實把握其內涵，以區別其他概念。教師要讓學生切實掌握數學內在的獨特性質，別讓非本質屬性掩蓋了本質屬性，真正讓學生運用本質屬性去解題。

（責任編輯：奚春皓）