解三角形中常見的幾種最值問題

李虎鵬

摘 要?在高考中，解三角形是其中的重點考察部分，也是熱點、難點。解題時需要運用各種數(shù)學公式進行解答，還要了解三角形的一些平面性質進行輔助，原本解三角形的題型一般比較靠前，所以難度并不大，但是一旦解三角形與不等式結合之后，從學生的掌握能力來看就并不是很好了。本文就是對解三角形中的幾種最值問題進行總結和思考。

關鍵詞 解三角形;常見;最值問題

中圖分類號：R741.041 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2020）05-0176-01

歷年來，高考都是人們關注的重點對象，對于數(shù)學的提醒研究和總結，都一直是教育界的重點，而解三角形又是高考中的必考題型，自然受到了不少的關注，這類題型本身不難，但是它涉及的知識面廣、靈活性大、綜合性強，特別是加入了不等式之后，很多學生就不能夠熟練掌握了。不僅要對公式特別熟悉，并且還要對平面圖形進行研究，再加上不等式，讓許多學生難以入手。本文將舉例說明幾種常見的解三角形最值問題的題型，使得學生學會這類題型的通式解法，在考場上可以節(jié)約大量的時間。

一、轉換為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性質

在△ABC中，a，b，c分別為內角A、B、C所對應的邊，若a=√3，A=兀/3，則b+c的最大值為多少？

這種問題，首先就是考察學生對于三角形的公式的記憶與運用，教師可以根據(jù)正弦公式或者余弦公式對三角形的邊和角進行轉換，將目標邊的函數(shù)轉換成角的函數(shù)，有現(xiàn)成的公式，就可以直接進行破解。由正弦公式可得：b=2sinB，c=2sinC，那么b+c=2sinB+2sinC，在這里，我們根據(jù)題意，可以知道A=兀/3，因此B+C=2兀/3，可以將B和C轉換，C=2兀/3-B，b+c=2sinB+2sin（2兀/3一B），現(xiàn)在的式子轉變成只剩下了關于角B的式子，利用三角函數(shù)的恒等變化和題意進行化簡，2sinB+2sin（2兀/3一B）=2sinB+2sin（√3/2cosB+2sinB，最后化簡為2√3sin（B+兀/6），再利用三角函數(shù)的單調性和值域進行求解，B∈（0，2兀/3]，2√3sin（B+兀/6）∈（√3，√3/2）。

這樣的題型，已經知道了一個角的度數(shù)，以及這個角的邊長之后，就可以根據(jù)三角形的正、余弦定理對它進行轉換，將里面其他兩條的邊長全部轉換為角的表達方式，之后運用三角函數(shù)的恒等變換為同邊同角，再進行簡化，這需要學生掌握三角形的各個公式，最后再利用三角函數(shù)的單調性和值域求解，這需要學生還要掌握三角函數(shù)的性質，綜合性比較高，但是這種方式比較適合學生的思路。

二、利用基本不等式求解

在△ABC中，內角A、B、C所對應的a、b、c。若a?+b?+ab=1，c=1，求C和△ABC的面積最大值是多少？

這一道題，首先需要通過三角形的余弦定理和三角形的性質求得C的大小，c=1，因此C?=1，a?+b?+ab=1，所以，a?+b?-c?=-ab，余弦公式：cosC=a?+b?-c?/2ab=-ab/2ab=-1/2，這時候我們根據(jù)三角形的性質，知道C大于0小于π，再根據(jù)余弦定理，可以得知C=2π/3，且根據(jù)三角形的定理，a和b肯定是非負數(shù)，因此，（a+b）?≥0，因此，結合題意，可以得知ab≥1/3，且當且僅當a=b的時候，ab最大值為1/3，知道了C的度數(shù)，再根據(jù)三角形的面積公式就可以得出面積最大值為√3/12。

這一道題在解題的時候，就運用到了不等式的解法，這其實需要考察的是學生對于三角函數(shù)公式的掌握與經過轉變，以及對于三角形性質的掌握，重難點就在于利用三角形的性質，求得值域。

三、利用二次函數(shù)的性質求解

已知△ABC中，AB=2，AC=√3BC，求△ABC面積的最大值。

首先可以設BC=x，則△ABC的面積S=1/2AB· AC· sinB=√x?（1-cos?B），根據(jù)余弦公式，可以表示出關于cos?B的關系式為（2-x?）/2x，現(xiàn)在所有的未知數(shù)都可以用x來轉換，最終面積公式S就變成了1/2√-（x?-4）?+12，最大值的話，就一定是（x?-4）?等于0的時候，再根據(jù)三角形的性質，由此可以得出當且僅當x=2時，最大值為√3。

這就是利用二次函數(shù)的方式對三角形的面積最大值求解，重點就在于運用余弦定理和三角函數(shù)性質的掌握列出不等式，根據(jù)三角形的性質和等式的關系上去判斷最大值或者最小值。

四、總結語

解三角形對于學生的綜合能力要求比較高，因此，通過講解之后，學生如果還是處于一知半解的狀態(tài)，就需要多加練習，熟練掌握才是最重要的。這樣的題型萬變不離其宗，只要能夠熟記它的解題公式，再對三角形的平面性質有一定掌握，就能夠面對這些問題了。因此，學生應該重視在公式上的記憶，只要在考試的時候，關于解三角形的余弦定理、正弦定理等等可以馬上在腦海里反應出來，就可以解決很多的時間，剩下的解題思路的練習放在平時多做一些題型的訓練就可以了。解三角形本身難度系數(shù)也不大，只要對知識點能夠熟練、靈活地運用即可。本文只是通過幾個簡單的例子進行解析，希望對此有所幫助。

參考文獻：

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