高階雙曲型Kac-Moody 代數的極小虛根

胡建華，劉靜，許成蘇

（上海理工大學理學院，上海200093）

虛根是不定型Kac-Moody 代數中的一個基本概念，但其結構至今尚未完全弄清楚。雙曲型Kac-Moody 代數是一類特殊的不定型Kac-Moody代數，文獻[1]給出了所有雙曲型廣義Cartan 矩陣的分類，總共分為10 類。雙曲型Kac-Moody 代數的虛根因具有一些特殊的性質而受到關注。文獻[2-6]刻畫了Kac-Moody 代數的極小虛根的某些性質。文獻[7]給出了三階雙曲型Kac-Moody 代數的所有極小虛根。文獻[8]給出了四階雙曲型Kac-Moody 代數的所有極小虛根。本文將在此基礎上，給出n(5 ≤n≤10)階雙曲型Kac-Moody 代數的全部極小虛根。這樣所有雙曲型Kac-Moody代數的極小虛根都被完全刻畫出來。

1 重要定義及性質

現給出極小虛根的定義及極小虛根的基本性質，本文中提到的其他相關定義及符號參見文獻[8-10]。

性質1[3]ɡ(A)的極小虛根的個數是有限的，ɡ(A)是廣義Cartan 矩陣GCMA對應的Kac-Moody代數。

性質5[7]雙曲型Kac-Moody 代數ɡ(A)的Dynkin 圖的每個Aff 型連通子圖確定唯一一個null 的極小虛根。

2 高階雙曲型Kac-Moody 代數的極小虛根

文獻[1]給出了所有雙曲型GCM 的分類，總共有238 類，其中，有35 個嚴格雙曲型，雙曲型GCM 的階不大于10，嚴格雙曲型GCM 的階不大于5?，F給出5～10 階雙曲型GCM 所對應的Kac-Moody 代數的全部極小虛根。

定理1 五階雙曲型Kac-Moody 代數的極小虛根如表1 所示。

表1 Kac-Moody 代數的極小虛根（Ⅰ）Tab.1 Minimal imaginary roots of Kac-Moody algebra（Ⅰ）

圖1 的Dynkin 圖Fig.1 Dynkin diagram of type of

定理2 六階雙曲型Kac-Moody 代數的極小虛根如表2 所示。

表2 Kac-Moody 代數的極小虛根（Ⅱ）Tab.2 Minimal imaginary roots of Kac-Moody algebra（Ⅱ）

的Dynkin 圖如圖2 所示。

圖2 的Dynkin 圖Fig.2 Dynkin diagram of type of

的Cartan 矩陣為

的五階連通真子圖中有Aff 型，支集為{α1,α2,α3,α4,α5}，還有2 個Aff 型，支集分別為{α1,α3,α4,α5,α6}，{α2,α3,α4,α5,α6}，由性質5 可知，它們分別唯一確定一個null 的極小虛根，記為β1=(1,1,2,2,2,0)， β2=(1,0,2,3,4,2)，β3=(0,1,2,3,4,2)。的四階、三階及二階連通真子圖均是Fin 型，不存在極小虛根。

考慮支集為{α1,α2,α3,α4,α5,α6}的極小虛根。

定理3 七階雙曲型Kac-Moody 代數的極小虛根如表3 所示。

表3 Kac-Moody 代數的極小虛根（Ⅲ）Tab.3 Minimal imaginary roots of Kac-Moody algebra（Ⅲ）

的Dynkin 圖如圖3 所示。

圖3 的Dynkin 圖Fig.3 Dynkin diagram of type of

的Cartan 矩陣為

的六階真子圖中有Aff 型，支集為{α2,α3,α4,α5,α6,α7}，由性質5 可知，它唯一確定一個null 的極小虛根，記為β=(0,1,1,2,1,2,1)。的低于六階的真子圖均為Fin 型，不存在極小虛根。

定理4 八階雙曲型Kac-Moody 代數的極小虛根如表4 所示。

表4 Kac-Moody 代數的極小虛根（Ⅳ）Tab.4 Minimal imaginary roots of Kac-Moody algebra（Ⅳ）

定理5 九階雙曲型Kac-Moody 代數的極小虛根如表5 所示。

表5 Kac-Moody 代數的極小虛根（Ⅴ）Tab.5 Minimal imaginary roots of Kac-Moody algebra（Ⅴ）

定理6 十階雙曲型Kac-Moody 代數的極小虛根如表6 所示。

表6 Kac-Moody 代數的極小虛根（Ⅵ）Tab.6 Minimal imaginary roots of Kac-Moody algebra（Ⅵ）

定理4～6 的證明過程與定理1～3 的證明過程類似，這里不再證明。

至此，n(5 ≤n≤10)階雙曲型Kac-Moody 代數的極小虛根已經全部給出，再結合文獻[5, 7-8]，雙曲型Kac-Moody 代數的極小虛根就全部給出了。