隧道圍巖應力和塑性域的雙剪強度理論的分析

常帥斌，劉小康，邵生俊，李軍琪,3，陳 明

(1.中鐵十二局集團第四工程有限公司， 陜西 西安 710021;2.西安理工大學 巖土工程研究所， 陜西 西安 710048；3.陜西省黃土力學與工程重點實驗室， 陜西 西安 710048)

在巖體中開挖洞室時，由于巖體中存在著初始應力，洞室圍巖的初始應力狀態將會發生變化。圍巖的應力重分布會造成圍巖內各點的剪切作用增大，塑性加載作用引起圍巖塑性變形產生和發展；初始應力場的平衡狀態被破壞，圍巖的壓縮應力減小、剪切應力增大，變形發展可能引起塌拱。開挖洞室的圍巖需要增強支護，在洞內臨空面上施加壓力，抑制圍巖塑性變形的發展，從而使塑性域的圍巖重新達到平衡狀態，維持圍巖的穩定性[1]。

以往，在隧道開挖圍巖壓力和塑性域的分析中，大多采用Mohr-Coulomb強度準則[2-3]為屈服條件，依據大、小主應力表述的Mohr-Coulomb屈服函數判斷圍巖單元體是否處于塑性變形狀態，將隧道橫斷面簡化為平面應力問題，不考慮中主應力的作用。然而，隧洞洞室開挖屬于三維問題，隧道圍巖及其掌子面巖體是否達到塑性流動條件，不僅需要考慮大、小主應力作用，而且需要考慮中主應力的影響。當隧洞開挖完成后，圍巖的應力應變變化可簡化為平面應變問題[4-5]。

雙剪統一強度理論以雙剪應力單元體為統一的物理力學模型，建立了統一強度理論表達式[6]。該理論不僅能夠合理的考慮中主應力對材料的影響，而且還能變換為Mohr-Coulomb強度準則，Mises強度準則，Tresca強度準則，在不同的工程領域得到了廣泛的應用。本文通過采用雙剪統一強度理論推導的平面應變準則[7]，建立了平面應變條件下隧洞圍巖應力表達式及支護壓力與塑性域半徑的關系式。

1 統一強度理論的平面應變準則

統一強度理論由俞茂宏提出[8-9]，考慮任意兩個主應力平面內主剪應力作用雙剪單元體上全部應力分量，以及它們對材料單元破壞的不同影響而建立的一種新的強度理論。在巖土力學工程中，一般采用以壓應力為正、拉應力為負，則統一雙剪強度理論的主應力表達式為：

(1)

(2)

式中:σ1為大主應力；σ2為中主應力；σ3為小主應力；b為反映中主剪應力作用的系數，它與材料的剪切屈服極限τs和拉伸屈服極限σs之間的關系為：

(3)

式中：τs為剪切屈服極限和σs為拉伸屈服極限。

在(1)式中，若采用內摩擦角φ0和黏聚力c0，則材料的拉壓強度比α為：

(4)

(5)

將式(4)、式(5)代入式(1)、式(2)中，可得內摩擦角φ0和黏聚力c0表示的統一雙剪強度理論，它們的數學表達式分別為：

(6)

(7)

平面應變條件下，統一強度雙剪理論考慮了中主應力的影響。大主應力、中主應力和小主應力之間具有如下關系:

σ1≥σ2≥σ3

(8)

為了便于考慮中主應力的影響[9]，引入中主應力參數m，令:

(9)

在平面應變條件下，m的變化范圍為0≤m≤1，對塑性不可壓縮材料，取m=1[10]。

將式(9)代入式(6)、式(7)中化簡可得:

(2+bm+b)sinφ0]=(b+1)c0cosφ0

(10)

上式可寫成σ1和σ3的關系:

(11)

其中：

(12)

(13)

式中:φt、ct是統一雙剪強度理論在一定中主應力參數和中主剪應力參數的內摩擦角與黏聚力，由式(12)、式(13)可以看出，φt、ct與參數m、b相關，考慮了中主應力對材料強度指標的影響。

2 圍巖應力與塑性域的關系

隧道開挖過程中圍巖的應力重分布。隧道內壁臨空面未支撐時，圍巖應力降低為零，使得巖體向洞內產生塑性膨脹變形。這種塑性膨脹變形的結果使得未挖除的圍巖的壓縮應力減小，剪切應力增大，臨近內壁臨空面的巖體處于剪切破壞的崩塌。當圍巖初始各向均等壓縮應力足夠大時，內壁臨空面附近的巖體承受的應力減小，使得臨近的巖體也發生塑性變形，這種塑性變形沿徑向深部圍巖發展，最終在圍巖中形成一個塑性變形松動圈。在塑性圈內，采用彈塑性理論的方法求解圍巖的應力；在塑性圈以外，采用彈性理論的方法求解圍巖應力。需要說明的是在彈塑性交界面處，彈性解答應該與塑性解答相等。

以埋深較大的圓形洞為例，隧道各向承受近似相等的壓縮應力p0，隧洞半徑為r0，塑性圈的半徑為R，徑向應力為σr，環向應力為σt，計算簡圖如圖1所示。

圖1 圓形洞室彈塑性應力計算簡圖

2.1 塑性域內的圍巖應力

根據徑向力的平衡條件可得:

(14)

由于dθ很小，所以sindθ≈dθ，代入上式，化簡可得:

(σt-σr)dr=rdσr

(15)

在平面應變條件下，σ1=σt，σ3=σr，所以式(11)可寫為：

(16)

聯立

(17)

由芬納公式可得:

(18)

式中:φt、ct是統一雙剪強度理論的內摩擦角與黏聚力，r是塑性域內某點的半徑。

2.2 彈性區內圍巖的應力

根據彈性力學理論可知[11-13]，圍巖彈性變形區的應力為:

(19)

其中σr為彈塑性變形區分界上的徑向應力(相當于彈性區對塑性區的作用力)；

p0為靜水應力狀態下巖體的初始應力，即:

p0=γH

(20)

根據彈性區和塑性區交界點處徑向應力相等，聯立(18)和(19)式，可得塑性圈的半徑為:

(21)

或

(22)

式中:pi為襯砌上的圍巖壓力。

若R=r0，即一旦開挖完成，就立即支護圍巖，認為圍巖中沒有發展塑性區域，由式(22)可得襯砌作用于圍巖的壓力為:

pi=p0(1-sinφt)-ctsinφtctgφt

(23)

在地下工程開挖后，總是要隔一段時間襯砌。換言之，就是在還沒有襯砌的情況下計算圍巖應力，那么我們計算隧洞開挖后圍巖應力的大小時取pi=0。則式(21)可寫為：

(24)

3 圍巖應力隨強度參數和中主應力系數變化的分析

由式(18)可知，隧道圍巖應力不僅與次主剪應力系數b有關，而且還與中主應力參數m有關，這與張常光等[14]的研究一致。故取不同的次剪應力系數b和中主應力參數m，可繪出統一雙剪強度理論的內摩擦角φt與黏聚力ct的變化，如圖2所示。

根據圖2可以看出：

(1)m值相同的條件下，φt、ct隨著b值的增大而增大。

(2)b值相同的條件下，φt、ct隨著m值的增大呈減小的變化趨勢。但是，隨著b值的減小，這種減小變化趨勢逐漸減弱。當b=0時，φt、ct不再隨m值的變化而變化。當b=0時，統一雙剪強度理論的內摩擦角φt與黏聚力ct轉化為Mohr-Coulomb強度理論的內摩擦角φ0、黏聚力c0。

圖2 次剪應力系數b和中主應力參數m對φt、ct的影響

某巖質隧洞橫斷面的平面內，初始正交兩向的壓縮應力p0為2.7 MPa，隧洞的半徑r0為3 m，圍巖軸對稱壓縮剪切破壞的內摩擦角φ0為30°，黏聚力c0為1.5 MPa。采用統一雙剪強度理論計算圍巖應力，次主剪應力參數b分別為0.00、0.25、0.50，中主應力參數m分別為0.20、0.25、0.30。計算結果如圖3所示，不同m和b值下的塑性域半徑如表1。

表1 塑性域半徑

由圖3可以看出：

(1) 圍巖徑向應力隨著半徑的增大而增大，而環向應力在塑性域內隨著半徑的增大而增大，在彈性域內隨著半徑的增大成逐漸減小趨勢，最終徑向應力的增大和環向應力減小均趨向初始各向均等壓縮應力。

(2) 在塑性域內，環向應力較徑向應力的增大率大。初始地應力越大，塑性域的主剪應力越大，脆性硬巖巖爆破壞；軟巖的塑性變形發展較大。

(3) 當環向應力和徑向應力條件未滿足平面應變統一強度理論屈服條件時，圍巖即處于彈性狀態。彈性域內的環向應力總是小于塑性域內的最大環向應力，而彈性域內的徑向應力總是大于塑性域內的徑向應力。

(4) 塑性域內，圍巖應力隨著b值得增大而逐漸增大；而在彈性域內，徑向應力σr隨著b值得增大逐漸增大，環向應力σt隨著b值得增大而減小。

(5) 當b=0時，統一雙剪強度理論即簡化為Mohr-Coulomb強度理論。應用平面應變統一雙剪強度理論無支護條件下的塑性域分析途徑，與不考慮中主應力的Fenner公式計算結果比較，考慮中主應力可減小塑性域半徑。

若隧道開挖后，立即支護強襯砌，襯砌結構提供一定的反力，限制圍巖的變形。在無襯砌支護的條件下，隧洞開挖后自由變形，直至塑性區達到穩定，變形不再發展，可得塑性區的半徑。當塑性域半徑發展較大時，易引起圍巖崩塌破壞。一般，隧道開挖后發展一定的變形即做襯砌支護，圍巖變形受到襯砌的約束作用，塑性域的發展變小。當襯砌支護提供不同的反力時，隧道圍巖的塑性域發展半徑不同，圍巖變形趨于穩定。此時彈性域內圍巖的應力沒有達到強度破壞條件。不同襯砌支護壓力條件下，圍巖的塑性域及應力條件變化如圖4所示。隨著支護壓力增大，圍巖的塑性域半徑明顯減小。

圖3 圍巖半徑與圍巖壓力的關系曲線

圖4 不同支護壓力下圍巖應力和半徑的關系(m=0，b=0.5)

4 結 論

(1) 考慮平面應變條件下中主應力的變化范圍，通過引入中主應力參數，將統一強度理論的三維強度準則轉化為平面應變準則，得到了平面應變的統一強度理論表達式。

(2) 應用隧道圍巖的芬納公式，建立了平面應變統一強度理論準則為屈服條件的圍巖應力表達式，以及圍巖支護壓力與塑性域半徑之間的關系式。

(3) 通過平面應變統一強度的內摩擦角和黏聚力與中主應力參數和次主剪應力系數之間的關系，分析了中主應力和次主剪應力系數變化對圍巖應力分布的影響。

(4) 隧道開挖工程中，圍巖壓力越大，襯砌結構內力越大；支護壓力越大，塑性域半徑越小，塑性耗能越小。考慮平面應變中主應力的作用，統一強度理論分析確定圍巖的塑性域半徑減小。可見，應用Mohr-Coulomb強度理論偏于安全。